淺談如何用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式

1、    淺談如何用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式    周群摘 要：概率論是數(shù)學(xué)的重要分支，有著自己的概念及其方法，內(nèi)容豐富，在社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)及管理科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，其證明方法較多，但通過(guò)不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應(yīng)用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式，以望對(duì)后期不等式證明提供參考。關(guān)鍵詞：概率論 數(shù)學(xué)不等式 證明 分析：g424 ：a ：1674-098x（2014）02（c）-0247-01概率論是建立在微積分基礎(chǔ)之上的，沒(méi)有微積分的推動(dòng)，也難以使概率論形成獨(dú)立的一門學(xué)科。隨著概率論研究的不斷推進(jìn)，在各個(gè)領(lǐng)

2、域均有所應(yīng)用。不等式證明是高等數(shù)學(xué)較為常見(jiàn)的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)者來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)。在證明不等式過(guò)程中，采用新穎的方法及獨(dú)特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統(tǒng)的微積分難以證明，而利用概率論時(shí)可從不等式的特點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)及概率論性質(zhì)出發(fā)，可達(dá)到證明不等式的目的。1 概率論在數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它表示一個(gè)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個(gè)數(shù)是0到1之間的實(shí)數(shù)，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的量度，隨機(jī)事件就是表示在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。一次實(shí)驗(yàn)中包含了所有可能出現(xiàn)結(jié)果，其中的每一個(gè)結(jié)果就叫做一個(gè)基本事件。概率論和我們的生活息息相關(guān)，例如人們預(yù)測(cè)股票市

3、場(chǎng)的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實(shí)際例子。概率有幾種不同的描述性定義。1.1 統(tǒng)計(jì)定義在同樣的條件下重復(fù)做n次試驗(yàn)，表示在次試驗(yàn)中事件所發(fā)生的次數(shù)，隨著的逐漸增大，在某個(gè)固定的數(shù)值附近出現(xiàn)的次數(shù)也越來(lái)越多，頻數(shù)越來(lái)越高，數(shù)值通常被稱為事件在該條件下發(fā)生的概率，記為。從統(tǒng)計(jì)定義可以看出數(shù)值就是事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。總是處于0和1之間，從統(tǒng)計(jì)定義中可以發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：對(duì)任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。1.2 數(shù)學(xué)定義假定試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果的個(gè)數(shù)總和為，其中的每一個(gè)都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，當(dāng)這個(gè)實(shí)數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)條件時(shí)，即（1）；（2）；（

4、3）當(dāng)每二個(gè)都互不相容時(shí)，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。概率論的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應(yīng)用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會(huì)遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時(shí)概率論中的思想也包含了對(duì)于非等式問(wèn)題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關(guān)應(yīng)用。針對(duì)不同的不等式問(wèn)題，需要構(gòu)造不同的概率模型。例如對(duì)二項(xiàng)分布的研究就是一個(gè)明顯的例證。概率論早已用到了現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，把概率論的思想和方法和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)

5、合起來(lái)，進(jìn)一步加深了高等數(shù)學(xué)和概率論知識(shí)間的聯(lián)系，提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。概率論的發(fā)展反過(guò)來(lái)也促進(jìn)了其他數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，尤其在為解決具體問(wèn)題中提供了簡(jiǎn)單、有效的方法；實(shí)踐證明通過(guò)用概率的性質(zhì)、定理和公式對(duì)一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。2 典型例題分析通過(guò)以上不等式的證明，可以看到在對(duì)不同類型的不等式進(jìn)行證明時(shí)，要注意構(gòu)建相應(yīng)不同的概率模型，再利用相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行證明，可以使不等式的證明簡(jiǎn)單起來(lái)。3 結(jié)語(yǔ)不等式證明過(guò)程中應(yīng)遇到具體問(wèn)題具體分析，對(duì)同樣不等式的證明往往需要應(yīng)用到不同的方法。因此，要熟悉高等數(shù)學(xué)和概率論的知識(shí)，在解題的過(guò)程中多總結(jié)、多思考，靈活運(yùn)用各種解題技巧，

6、進(jìn)而提高解題效率。參考文獻(xiàn)1 崔小兵.概率論中不同條件下的jensen不等式及應(yīng)用j.南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，9（9）：22-24.2 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應(yīng)用j.太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（6）：476-479.endprint摘 要：概率論是數(shù)學(xué)的重要分支，有著自己的概念及其方法，內(nèi)容豐富，在社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)及管理科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，其證明方法較多，但通過(guò)不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應(yīng)用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式，以望對(duì)后期不等式證明提供參考。關(guān)鍵詞：概率論 數(shù)學(xué)不等式 證明 分析：g424 ：a ：167

7、4-098x（2014）02（c）-0247-01概率論是建立在微積分基礎(chǔ)之上的，沒(méi)有微積分的推動(dòng)，也難以使概率論形成獨(dú)立的一門學(xué)科。隨著概率論研究的不斷推進(jìn)，在各個(gè)領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式證明是高等數(shù)學(xué)較為常見(jiàn)的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)者來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)。在證明不等式過(guò)程中，采用新穎的方法及獨(dú)特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統(tǒng)的微積分難以證明，而利用概率論時(shí)可從不等式的特點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)及概率論性質(zhì)出發(fā)，可達(dá)到證明不等式的目的。1 概率論在數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它表示一個(gè)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個(gè)數(shù)是0到1之間的實(shí)數(shù)，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的量度，隨機(jī)

8、事件就是表示在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。一次實(shí)驗(yàn)中包含了所有可能出現(xiàn)結(jié)果，其中的每一個(gè)結(jié)果就叫做一個(gè)基本事件。概率論和我們的生活息息相關(guān)，例如人們預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實(shí)際例子。概率有幾種不同的描述性定義。1.1 統(tǒng)計(jì)定義在同樣的條件下重復(fù)做n次試驗(yàn)，表示在次試驗(yàn)中事件所發(fā)生的次數(shù)，隨著的逐漸增大，在某個(gè)固定的數(shù)值附近出現(xiàn)的次數(shù)也越來(lái)越多，頻數(shù)越來(lái)越高，數(shù)值通常被稱為事件在該條件下發(fā)生的概率，記為。從統(tǒng)計(jì)定義可以看出數(shù)值就是事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)?？偸翘幱?和1之間，從統(tǒng)計(jì)定義中可以發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：對(duì)任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為

9、0，必然事件的概率為1。1.2 數(shù)學(xué)定義假定試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果的個(gè)數(shù)總和為，其中的每一個(gè)都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，當(dāng)這個(gè)實(shí)數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)條件時(shí)，即（1）；（2）；（3）當(dāng)每二個(gè)都互不相容時(shí)，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。概率論的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應(yīng)用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會(huì)遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時(shí)概率論中的思想也包含了對(duì)于非等式問(wèn)題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關(guān)應(yīng)用。針對(duì)不同的不等式

10、問(wèn)題，需要構(gòu)造不同的概率模型。例如對(duì)二項(xiàng)分布的研究就是一個(gè)明顯的例證。概率論早已用到了現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，把概率論的思想和方法和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步加深了高等數(shù)學(xué)和概率論知識(shí)間的聯(lián)系，提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。概率論的發(fā)展反過(guò)來(lái)也促進(jìn)了其他數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，尤其在為解決具體問(wèn)題中提供了簡(jiǎn)單、有效的方法；實(shí)踐證明通過(guò)用概率的性質(zhì)、定理和公式對(duì)一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。2 典型例題分析通過(guò)以上不等式的證明，可以看到在對(duì)不同類型的不等式進(jìn)行證明時(shí)，要注意構(gòu)建相應(yīng)不同的概率模型，再利用相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行證明，可以使不等式的證明簡(jiǎn)單起來(lái)。3 結(jié)語(yǔ)不等

11、式證明過(guò)程中應(yīng)遇到具體問(wèn)題具體分析，對(duì)同樣不等式的證明往往需要應(yīng)用到不同的方法。因此，要熟悉高等數(shù)學(xué)和概率論的知識(shí)，在解題的過(guò)程中多總結(jié)、多思考，靈活運(yùn)用各種解題技巧，進(jìn)而提高解題效率。參考文獻(xiàn)1 崔小兵.概率論中不同條件下的jensen不等式及應(yīng)用j.南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，9（9）：22-24.2 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應(yīng)用j.太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（6）：476-479.endprint摘 要：概率論是數(shù)學(xué)的重要分支，有著自己的概念及其方法，內(nèi)容豐富，在社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)及管理科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，其證明方法較多，但通過(guò)不

12、同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應(yīng)用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式，以望對(duì)后期不等式證明提供參考。關(guān)鍵詞：概率論 數(shù)學(xué)不等式 證明 分析：g424 ：a ：1674-098x（2014）02（c）-0247-01概率論是建立在微積分基礎(chǔ)之上的，沒(méi)有微積分的推動(dòng)，也難以使概率論形成獨(dú)立的一門學(xué)科。隨著概率論研究的不斷推進(jìn)，在各個(gè)領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式證明是高等數(shù)學(xué)較為常見(jiàn)的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)者來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)。在證明不等式過(guò)程中，采用新穎的方法及獨(dú)特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統(tǒng)的微積分難以證明，而利用概率論時(shí)可從不等式的特點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)及概率論性質(zhì)出發(fā)，可達(dá)到證明不等式的目

13、的。1 概率論在數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它表示一個(gè)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個(gè)數(shù)是0到1之間的實(shí)數(shù)，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的量度，隨機(jī)事件就是表示在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。一次實(shí)驗(yàn)中包含了所有可能出現(xiàn)結(jié)果，其中的每一個(gè)結(jié)果就叫做一個(gè)基本事件。概率論和我們的生活息息相關(guān)，例如人們預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實(shí)際例子。概率有幾種不同的描述性定義。1.1 統(tǒng)計(jì)定義在同樣的條件下重復(fù)做n次試驗(yàn)，表示在次試驗(yàn)中事件所發(fā)生的次數(shù)，隨著的逐漸增大，在某個(gè)固定的數(shù)值附近出現(xiàn)的次數(shù)也越來(lái)越多，頻數(shù)越來(lái)越高，數(shù)值通常被稱為事件在該條件下發(fā)生

14、的概率，記為。從統(tǒng)計(jì)定義可以看出數(shù)值就是事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)?？偸翘幱?和1之間，從統(tǒng)計(jì)定義中可以發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：對(duì)任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。1.2 數(shù)學(xué)定義假定試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果的個(gè)數(shù)總和為，其中的每一個(gè)都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，當(dāng)這個(gè)實(shí)數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)條件時(shí)，即（1）；（2）；（3）當(dāng)每二個(gè)都互不相容時(shí)，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。概率論的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應(yīng)用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會(huì)遇到很大的困難，但是由于概率

15、和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時(shí)概率論中的思想也包含了對(duì)于非等式問(wèn)題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關(guān)應(yīng)用。針對(duì)不同的不等式問(wèn)題，需要構(gòu)造不同的概率模型。例如對(duì)二項(xiàng)分布的研究就是一個(gè)明顯的例證。概率論早已用到了現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，把概率論的思想和方法和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步加深了高等數(shù)學(xué)和概率論知識(shí)間的聯(lián)系，提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。概率論的發(fā)展反過(guò)來(lái)也促進(jìn)了其他數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，尤其在為解決具體問(wèn)題中提供了簡(jiǎn)單、有效的方法；實(shí)踐證明通過(guò)用概率的性質(zhì)、定理和公式對(duì)一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。2 典型例題分析通過(guò)以上不等式的證明，可以看到在對(duì)不同類型的不等式進(jìn)行證明時(shí)，要注意構(gòu)建相應(yīng)不同的概率模型，再利用相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行證明，可以使不等式的