初中幾何輔助線技巧秘籍

1、初中幾何輔助線技巧大全初中幾何輔助線技巧大全一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效

2、，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。注意

3、點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情

4、況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線

5、，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，AB=

6、2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 已知：在ABC中，AB

7、>AC,AD為BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作

8、DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90 ，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3已知：如圖2-5, BAC=CAD,AB>AD，CEAB，AE=（AB+AD）

9、.求證：D+B=180 。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點，F(xiàn)為BC 上的點，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。5 已知：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90 ,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1

10、已知：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從而有BF/

11、AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關(guān)于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接E

12、F分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB例4 如圖，AB>AC, 1=2，求證：ABAC>BDCD。例5 如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCAABECD例6 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三

13、角形。CAB2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACABDC12 3已知CE、AD是ABC的角平分線，B=60°，求證：AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在ABC中，A=90°，AB=AC，BD是ABC的平分線，求證：BC=AB+ADABCD三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

14、對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在BDM中，MB+MD>BD；（2）在CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：A

15、M+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC>BD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角

16、形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點，求證：BDC>BAC。分析：因為BDC與BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E，這時BDC是EDC的外角，BDC>DEC，同理DEC>BAC，BDC>BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時BDF是ABD的外角，BDF>BAD，同理，CDF>CAD，BDF+CDF>BAD+CAD，即：BDC>BAC。注意：利用三角形外角定

17、理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（輔助線作法）1=2（已

18、知）ED=ED（公共邊）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上

19、截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中AN=AC（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）在BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在ABP和AMP中AB=AM（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）ABPAMP（SAS）PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又在

20、PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)AB-AC>PB-PC。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：ADC+B=180º例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知RtABC中，ACB=90°，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1如圖，ABCD，AE、DE分別平分BA

21、D各ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，則SABD=SACD=SABC（

22、因為ABD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因為AD是ABC的中線，所以SACD=SABC=×2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD

23、的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上

24、的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

25、（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中

26、線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD（中點定義）1=5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180°（平角的定義）3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD（輔助線作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊）EDFMDF（SAS）EF=M

27、F（全等三角形對應(yīng)邊相等）在CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至

28、E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線（已知）BD=CD（中線定義）在ACD和EBD中BD=CD（已證）1=2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD。練習(xí)：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點，求AD的取值范圍。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。DMCDEDADBD4，已

29、知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。 ABDCEF5已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC 五 全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連

30、線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之

31、與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小. 3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是B

32、C、DE的中點探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平

33、分，求證：5:如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）（三）、平移變換1.AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.2：如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，

34、AC=，求AE、BE的長.中考應(yīng)用（06北京中考）如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。（五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為C

35、D上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 2：D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證當繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明（圖1

36、）（圖2）（圖3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N

37、邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）六 梯形的輔助線 口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角

38、三角形和矩形。中位線與腰中點連線。（一）、平移1、平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90°，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長. 解：過點D作DEBC交AB于點E. 又ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。解：過點B作BM/AD交CD于點M，在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83

39、=5，所以BC的取值范圍是：54<BC<54，即1<BC<9。2、平移兩腰： 例3如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H，可得EGHEHG=BC=90°則EGH是直角三角形因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點所以3、平移對角線：例4、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積解：如圖，作DEAC，交BC的延長線于E點ABDCEHADBC 四邊形A

40、CED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90°作DHBC于H，則例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：ACBD。解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在ACE中，從而ACCE，于是ACBD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點D作D

41、E/AC，交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。解：延長BA、CD交于點E。在BCE中，B=50°，C=80°。所以E=50°，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例8. 如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你

42、的結(jié)論. 解：四邊形ABCD是等腰梯形. 證明：延長AD、BC相交于點E，如圖所示. ACBD，ADBC，ABBA，DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC，DECE，EDCECD. 而EEABEBAEEDCECD180°，EDCEAB，DCAB. 又AD不平行于BC，四邊形ABCD是等腰梯形. （三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于點E，求證：AD=DE。解：連結(jié)BD，由AD/BC，得ADB=DBE；由BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90&#

43、176;，BD=BD，所以RtBADRtBED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，對角線ACBD，垂足為F，過點F作EF/AB，交AD于點E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點D作DGAB于點G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因為AB=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的長；(

44、2)梯形ABCD的面積ABCDDEDFD解：作AEBC于E，DFBC于F，又ADBC，四邊形AEFD是矩形， EF=AD=3cmAB=DC在RtABE中，B=60°，BE=1cmAB=2BE=2cm，例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因為AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中

45、，AB/DC，O是BC的中點，AOD=90°，求證：ABCD=AD。證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90°，AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：（1）EF/AD；（2）。證：連接DF，并延長交BC于點G，易證AFDCFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線從而EF/BG，且因為AD/BG，所以

46、EF/AD，EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中點，連接AE和BE，求AEB=2CBE。解：分別延長AE與BC ，并交于F點BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(兩直線平行內(nèi)錯角相等) AED=FEC （對頂角相等）DE=EC （E點是CD的中點）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBEABDCEF

47、例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中點，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長AE，與BC延長線交于點FDE=CE，AED=CEF，DAE=FADEFCEAE=EFABBC， BE=AE例17、已知：梯形ABCD中，AD/BC，E為DC中點，EFAB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積解：如圖，過E點作MNAB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點ABCDEFMNDE=EC，ADBCDEMCNE四邊形ABNM是平行四邊形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2【模擬試題】（答

48、題時間：40分鐘）1. 若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為_cm. 2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60°，AD2，BC8，則此等腰梯形的周長為（ ）A. 19B. 20C. 21D. 223. 如圖所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，則梯形ABCD的面積為（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，對角線AC與BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的長. 5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15

49、cm和49cm，求它的腰長. 6. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長. 7. 如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的長.*8. 如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中點，且ADBCCD，則DE與CE有何位置關(guān)系？（2）E是ADC與BCD的角平分線的交點，則DE與CE有何位置關(guān)系？1圓中作輔助線的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（3）若題目中有“直徑”這一條件

50、，可適當選取圓周上的點，連結(jié)此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BDOA于D，經(jīng)常是：如圖1（上）延長BD交圓于C，利用垂徑定理。如圖1（下）延長AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得RtABE。 圖1（上） 圖1（下）（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結(jié)果。（9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對于圓的內(nèi)接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點，BD為AB的延長線，OAB=500，求CBD的度數(shù)。 解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知OA