集合的概念與表示方法_數(shù)學(xué)_自然科學(xué)_專業(yè)資料

1、授課主題集合的概念與表示方法教學(xué)目的1、初步理解集合的含義，了解集合元素的性質(zhì)。2、知道常用數(shù)集及其記法。3. 了解“屬于”關(guān)系的意義。4. 了解有限集、無限集、空集的意義。教學(xué)重點(diǎn)理解集合的元素的性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容h1名數(shù)學(xué)家=10個(gè)師”第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣稱：一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的作用超過10個(gè)師的兵力。你可知這句話的由來嗎？1943年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國限于實(shí)力， 無力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間，德軍的”潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，按數(shù)學(xué)角

2、度來看這一問題，它有一定的規(guī)律。一定數(shù)量的船（如100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個(gè)編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。比如5位同學(xué)放學(xué)都回自己家里，老師要找一位同學(xué)的話，隨便去哪家都行，但若這5位同學(xué)都在其中某一家的話，老師要找?guī)准也拍苷业?，一次找到的可能性只?0%o美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口。結(jié)果奇跡岀現(xiàn)了 ：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)。新知1:集合與元素的概念一般地，稱一定范圍內(nèi)某些確定的.不同的對象的全體構(gòu)成一個(gè)集合(setb集合

3、中的每一個(gè)對 象稱為該集合的元素(element)，簡稱元。集合通常用大括號 或大寫的拉丁字母a,b,c表示，集合的元素常用小寫的拉丁字母來表示。如a、b、c、p、q 例如a=1,3,a,c,a+b注意:(1 )集合是數(shù)學(xué)中原始的、不定義的概念，只作描述.(2 )集合是一個(gè)“整體.(3 )構(gòu)成集合的對象必須是“確定的”且“不同”的例如：指出下列對象是否構(gòu)成集合，如果是，指出該集合的元素。(1 )我國的直轄市；(2 )五中高一(1 )班全體學(xué)生;(3 )較大的數(shù)(4 ) young中的字母；(5 )大于100的數(shù)；(6 )小于0的正數(shù)。新知2:集合元素的特征1. 對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素

4、是確定的，是互異的，是無序的，即集合元素三特征.2、集合相等:構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。例如a=1 , 2 , 3 , b= 3,2,1 則a=b新知3.元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系用“屬于”和“不屬于”表示；(1 )如果。是集合人的元素，就說。屬于4 ,記作化人(2)如果。不是集合a的元素，就說q不屬于人，記作a" (七”的開口方向，不能把a(bǔ)wa倒過來寫.)新知4:常用數(shù)集及其記法 非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作n 在自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合叫做正整數(shù)集，記作m或n+ ;整數(shù)全體構(gòu)成的集合叫做整數(shù)集，記作z 有理數(shù)全體構(gòu)成的集合叫做有理數(shù)集，記作q 實(shí)屬全體構(gòu)成的集合叫做實(shí)數(shù)集

5、，記作r 注意:(1 )自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0(2 )非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作n*或n+q、z、r等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成z* 新知5:集合的分類:按它的元素個(gè)數(shù)多少來分：(i ) 叫做有限集；(ii )叫做無限集；(iii )叫做空集，記為例題解析題型一集合的判斷例1、下面的各組對象能組成集合的是（1 ）正三角形的全體（2 ）血壓很高的人（3 ）鮮艷的顏色（4 ）某校2009級高一新生（5 ）所有數(shù)學(xué)難題（6 ）所有不大于3 ,不小于0的整數(shù)（7 ）充分接近100的全體實(shí)數(shù)例2、下列各組對象不能形成集合的是大于

6、6的所有整數(shù);被3除余2的所有整數(shù)； 高中數(shù)學(xué)的所有難題；1函數(shù)y二-圖象上所有的點(diǎn).x變式訓(xùn)練：下面的各組對象能組成集合的是（1 ）世界上最高的山峰（2）高一數(shù)學(xué)課本中的難題（3 ）中國國旗的顏色（4 ）充分小的負(fù)數(shù)的全體（5 ） book中的字母（6）立方等于本身的實(shí)數(shù)（7）不等式2x-8<13的正整數(shù)解題型二元素與集合之間的關(guān)系例1、用填空(1)3 14q ；(2) v3z ;( 3 ) 0m ； ( 4 )希r ;(5 )兀3.14 ;( 6 ) 0n ;( 7 ) 00 ;例2、a表示720以內(nèi)的所有素?cái)?shù)”組成的集合是則有3_a ,4_a ,7_a , 9_a , 13_a ,

7、 15_a填（w或纟）變式練習(xí)1、a=2,4,8,16,則 4 a , 8 a , 32 a. 填（w或纟）2用“w”或陀”符號填空:（d8_n ;（2）0n ;0）-3z ;（4）72q ;（ 5 ） -14r（6）設(shè)a為所有亞洲國家組成的集合，則中國_a ,美國_a ,印度_a ,英國_a 題型三集合中元素的特性例仁以方程/5兀+6二0和方程宀兀-2二0的解為元素構(gòu)成的集合皿則m中元素的個(gè)數(shù)為（）a、1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)例2、已知集合a是由2,x,x2x三個(gè)元素組成的集合，則x應(yīng)滿足的條件是變式訓(xùn)練：1、由（-1丫 , nen構(gòu)成的集合中含有元素的個(gè)數(shù)為（）a、1個(gè)b、2個(gè)c、0個(gè)

8、 d、無數(shù)個(gè)2、已知集合a是由0 , m , m23m+2三個(gè)元素組成的集合，且2a ,則實(shí)數(shù)m=題型四集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合。若能構(gòu)成集合，則指出它們是有限集、無限集還是空集。中國的所有人口的全體；山東省2008年應(yīng)屆初中畢業(yè)生；數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于1的點(diǎn)；方程x2=0的解的全體；你們班中成績較好的同學(xué)；小于1的正整數(shù)的全體.新知6:集合的表示方法1. 列舉法：把集合中的元素一一列舉岀來，并用花括號“ ”括起來表示集合的方法叫列舉法。如:a=1 , 2 , 3,4 , 5 , b=x2 , 3x+2 , 5y3-x , x?+y2，;說明：仁書寫時(shí)，元素與元素之間用逗號分開

9、；2、一般不必考慮元素之間的順序；3、集合中的元素可以為數(shù)，點(diǎn)，代數(shù)式、文字等；4、列舉法可表示有限元素集，也可以表示無限元素集。當(dāng)元素個(gè)數(shù)比較少時(shí)用列舉法 比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況 下，也可以用列舉法表示。5、對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí)，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能 用省略號，象自然數(shù)集n用列舉法表示為1,2,3,4,5,例仁用列舉法表示下列集合：(1 )小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2 )方程乂 =幽所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(3 )我國現(xiàn)有的直轄市。.例1解答：(1 )設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為力，那么/i = 0

10、 , 1 , 2 , 3,4,5 , 6 , 7 , 8 , 9.由于元素完全相同的兩個(gè)集合相等，而與列舉的順序無關(guān)，因此集合/!可以有不同的列舉 法.例如:/! = 9,8,7,6,5,4,3,2,1 , 0.(2 )設(shè)方程m = x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為3 ,那么8=0 , 1.變式練習(xí)用列舉法表示下列集合：(i)x2 - 4 的一次因式組成的集合.y | y = - x2 - 2x + 3 , xgr,yen.方程x2 + 6x + 9 = 0的解集.(4)(20以內(nèi)的質(zhì)數(shù).g) ( x , y ) | x2 + y2 = 1 , xez,yez. (6)大于 0 小于 3 的整數(shù).(

11、7) xer | x2 + 5x - 14 = 0.(8) ( x , y ) | xgn，且 1<x<4 , y - 2x = 0.(9) (x,y) |x + y = 6, xgn , yen.2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法。方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。一般格式：xea p(x) 其中"代表元素，a是集合，p是集合a的一個(gè)特征性質(zhì)。.如:x|x-3>2 , (x,y)|y=x2+1 , x|直角三角形,.;說明: 描述法表示集合時(shí)

12、，應(yīng)特別注意集合的代表元素，如(x,y)ly = x2-l yy = x2-l不同. 只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如xlx>l , xx = 3k,kz.集合的已包含“所有”的意思，例如：整數(shù),即代表整數(shù)集z ,所以不必寫全體整數(shù).下列寫法實(shí)數(shù)集 , r也是錯(cuò)誤的.例z用描述法表示下列集合:方程2x + y = 5的解集.小于10的所有非負(fù)整數(shù)的集合.方程ax + by = 0 ( ab*0 )的解.大于3的全體偶數(shù)組成的集合.平面直角坐標(biāo)系中第ii、iii象限點(diǎn)的集合.x + v = 1 x-y=1的解的集合.(7) 1 ,3,5,7, .說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)

13、該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。變式練習(xí)用描述法表示下列集合:毎農(nóng)老應(yīng)違者陣慰倉己. 冴栄系莖往第x軸上所有點(diǎn)的集合.非負(fù)偶數(shù).能被3整除的整數(shù).3、veen （韋恩）圖集合的表示除了上述兩種方法以外，還有韋恩圖法，即寸閉的曲線,用它的內(nèi)部來a表示任意一個(gè)集合a個(gè)集合，如下圖所示:3,9,27表示3, 9, 271.集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.1874年康托爾提出“集合'的概念：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集 合，其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托

14、爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提 出集合論思想的那一天定為集合論誕生日2、所謂質(zhì)數(shù)或稱素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，除了本身和1以外并沒有任何其他因子。例如2 , 3,5,7是質(zhì)數(shù)，而4,6,8,9則不是，后者稱為合成數(shù)或合數(shù)。從這個(gè)觀點(diǎn)可將整數(shù)分為 兩種，一種叫質(zhì)數(shù)，一種叫合成數(shù)。除了 1和它本身兩個(gè)約數(shù)外，還有其它約數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)1 把能夠整除某一個(gè)數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)數(shù)的約數(shù)。幾個(gè)數(shù)所公有的約數(shù)叫這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。2.幾個(gè)數(shù)所公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)（零除外）叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。1. 下列元素與集合的關(guān)系中正確

15、的是()d.-3.2qa.-eb.2g%gr|a>v3c.|-3|n*2. 給出下列四個(gè)命題：(1)很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；集合yy=與集合化力尸乂畀是同一個(gè)集合；(3) 1,-,-,- ,0.5這些數(shù)字組成的集合有5個(gè)元素;2 42集合(xm»0,x,*r是指第二象限或第四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合.以上命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(a.o b.1c.2d.33. 下列集合中表示同一集合的是()a. m=(3,2),n=2,3)b. m=3,2,n=(2,3)c. m二化加卅尸1,n二劉卅尸1d. m=1,2,n=2,14. 已知xwn,則方程/ +兀-2 = 0的解集為（）a.a|a=-

16、2b. a|a=1 或 a=-2 c. a|a=1d.05. 已知集合m二/77wn|8/77wn,則集合m中元素個(gè)數(shù)是（）a.6b.7c.8d.9二、填空題6用符號隹”或“百'填空:0n,v5n, v16n.7. 用列舉法表示,-2<a<2,zgz為.8. 用描述法表示集合“方程02卅3二0的解集”為9. 集合ra>3與集合"a3是否表示同一集合？10. 已知集合p=a|2<a<xgn,b知集合p中恰有3個(gè)元素，則整數(shù)a=(附加題)下列對象能否組成集合：數(shù)組仁3、5、7;(2)到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn)；滿足3x-2>x+3的全體實(shí)數(shù)；(4) 所有直角三角形；(5) 美國nba的著名籃球明星；(6) 所有絕對值等于