2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.1.3函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案新人教B版必修1

1、2.1.3函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判斷簡單函數(shù)單調(diào)性的方法2 能用文字語言和數(shù)學(xué)符號語言描述增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性等概念，能準(zhǔn)確理解這些定義的本質(zhì)特點.戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)聾挑戰(zhàn)亙我點點落實_知識鏈接1.x2-2x+ 2= (x 1)2+ 1 0;22. 當(dāng)x 2 時，x 3x+ 2= (x 1)(x 2) 0;3. 函數(shù)y=x2 3x+ 2 的對稱軸為x= |.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1. 增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間M?A如果取區(qū)間M中的任意兩個值 *,X2，改 變量 x=X2X1 0,則當(dāng)y=f(X2) f(X 0 時，就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是增函

2、 數(shù)，當(dāng)y=f(X2)f(X1)v0 時，就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù).2. 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間.戸課堂講義全 車點難點.亍個擊破_要點一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明1例 1 求證：函數(shù)f(x) =-2在 (0,+)上是減函數(shù)，在(一30)上是增函數(shù).X證明 對于任意的X1,X2(3,0)，且X10,有 y=f(X2) f(X1) =j p2 12 2X1X2X1X2X1+X2=2 2= .X1X2X1X222TX1X20,：X1X20,X1+X20. y=f(X2) f(X1)0.1函數(shù)f

3、(X)=二在(3,0)上是增函數(shù).X3對于任意的Xi,X2 (0,+S)，且XiX2,2 2/ 0Xi0,X2+Xi0,XiX20.f(Xi) f(X2)0，即f(xi)f(X2).1函數(shù)f(X) =X2在 (0，+m)上是減函數(shù)z.規(guī)律方法 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟如下：取值：設(shè)Xi,X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且XiXi i ,X2Xi 0 , (Xi+ i)(X2+ i) 0,因此f(Xi) f(X2) 0，即f(Xi) f(X2),所以f(X)在(一 i,+8)上為減函數(shù) 要點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 2 畫出函數(shù)y= X2+ 2|x| + i 的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間r 2x+ 2

4、x+ i,x0,解2x2x+1,xv0,規(guī)律方法 i作出函數(shù)的圖象，禾U用圖形的直觀性能快速判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但要注意圖象一定要畫準(zhǔn)確2. 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在求解的過程中不要忽略了函數(shù)的定義域有f(Xi) f(X2)=X2XiX2+Xi22XiX2則f(Xi)f(X2)=X-q-2 X2X2+ iX2XiXi + X2 + 函數(shù)的大致圖象如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為(R,i,0,i，單調(diào)減區(qū)間為(一 i,0),(i,即y=x+ 2,X0,x+12+2,xv0.43. 個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“U”連接兩個單調(diào)區(qū)間，而要用5“和”或“，”連接x3,xw1,跟蹤演

5、練 2作出函數(shù)f(x) = 1由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為要點三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用x例 3 已知函數(shù)f(x) = =,x 2,5.xI(1) 判斷該函數(shù)在區(qū)間2,5上的單調(diào)性，并給予證明；(2) 求該函數(shù)在區(qū)間2,5上的最大值與最小值x解(1)f(x)= 在區(qū)間2,5上是減函數(shù).證明如下:x一 1任意取X1,x2 2,5且X1VX2,X2X1X1X2f(X2) f(X1) =X2 1X1 1X2X1 1/2wX1VX2W5, X1X2V0,X210,X110./f(X2)f(X1)V0, f(X2)Vf(X1).xf(x) = -一在區(qū)間2,5上是減函數(shù).XIx由(1)可知f(X)= 在區(qū)

6、間2,5上是遞減的，故任意的x 2,5均有X 1f(5)wf(x)wf(2),f(X)max=f=2_ 1 =2,55f(x)min=f(5)=.5 1 4的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一x一3,x1xw1,2+3,x1的圖象如圖所示(R,1和(1,2;單調(diào)遞增區(qū)間為(2 ,+).則f(x1)=角f(X2)=X2X216規(guī)律方法(1)運用函數(shù)單調(diào)性求最值是求解函數(shù)最值問題的重要方法，特別是當(dāng)函數(shù)圖象 不好作或作不出來時，單調(diào)性幾乎成為首選方法(2)函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系1若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上是減函數(shù)，則f(x)在a,b上的最大值為f(a),最小值為f(b).2若函數(shù)在閉區(qū)間a，b上是增函數(shù)，

7、則f(x)在a，b上的最大值為f(b)，最小值為f(a).跟蹤演練 3 已知y=f(x)在定義域(1,1)上是減函數(shù)，且f(1 a)f(2a 1)，則實數(shù)a的取值范圍為_ .2答案(0, 3)11 a1, 解析由題意可知12a 11,解得 0a1.又f(x)在(1,1)上是減函數(shù)，且f(1 a)2a 1，即a.2由可知，0a0,則必有ab( )A. 函數(shù)f(x)先增后減B.f(x)是 R 上的增函數(shù)C. 函數(shù)f(x)先減后增D. 函數(shù)f(x)是 R 上的減函數(shù)答案 Bf af b解析 由0 知，當(dāng)ab時，f(a)f(b)；當(dāng)ab時，f(a)f(2a)B.f(a)f(a 2)D.f(6)f(a)

8、答案 C解析 因為函數(shù)f(x)是增函數(shù)，且a+ 3a 2,所以f(a+ 3)f(a 2).4. 函數(shù)y=f(x)在 R 上為增函數(shù)，且f(2n)f( m+ 9)，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(8,3)B.(0, +8)C.(3, +8)D.(8,3)u(3, +8)答案 C解析 因為函數(shù)y=f(x)在 R 上為增函數(shù)，且f(2n)f( m+ 9)，所以 2mm+ 9, 即卩n3.5. 如圖所示為函數(shù)y=f(x) ,x 4,7的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 _.答案 1.5,3和5,6解析 由圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為1.5,3和5,6.課堂那結(jié)-11. 對函數(shù)單調(diào)性的理解(1)單調(diào)性是與“區(qū)

9、間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的 單調(diào)性.單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的X1、X2有以下幾個特征：一是任意性，即任意取X1,X2, “任意”二字絕不能丟掉，證明單調(diào)性時更不可隨意以兩個特 殊值替換；二是有大小，通常規(guī)定X1X2；三是屬于同一個單調(diào)區(qū)間.(3) 單調(diào)性能使自變量取值之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系正逆互推，即由f(x)是增(減)函數(shù)且f(X1)f(X2)?X1X2).(4) 并不是所有函數(shù)都具有單調(diào)性.若一個函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個區(qū)間上不存在單調(diào)性.2. 單調(diào)性的證明方法證明f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性應(yīng)按以下步驟：(1)設(shè)元：設(shè)X1,X2D且X1X2； (2)作差：將 函數(shù)值f(X1)與f(X2)作差；(3)變形：將上述差式(因式分解、配方等)變形；(4)判號：對上 述變形的結(jié)果的正、負(fù)加以判斷；(5)定論：對f(X)的單調(diào)性作出結(jié)論.其中變形為難點，8變