高考物理解題方法指導(dǎo)之極值問題

1、高考物理解題方法指導(dǎo)之極值問題i綜述求解極值問題的方法可分為物理方法和數(shù)學(xué)方法.物理方法包括:(1 )利用臨界條件求極值；(2 )利 用問題的邊界條件求極值；(3 )利用矢量圖求極值;(4 )用圖像法求極值.數(shù)學(xué)方法包括:(1 )用三角函 數(shù)求極值;(2 )用二次方程的判別式求極值;(3 )用不等式的性質(zhì)求極值;(4 )利用二次函數(shù)極值公式求 極值.一般而言，物理方法直觀、形象，對構(gòu)建模型及動態(tài)分析等能力要求較高，而用數(shù)學(xué)方法求極值思 路嚴(yán)謹(jǐn)，對數(shù)學(xué)能力要求較高.多數(shù)極值問題，并不直接了當(dāng)?shù)匕褬O值或臨界值作為題設(shè)條件給出，而是隱含在題目中，要求學(xué)生在 對物理概念、規(guī)律全面理解的基礎(chǔ)上，仔細(xì)審題

2、，深入細(xì)致地分析問題，將隱含的題設(shè)條件極值挖掘 出來，把極值問題變成解題的中間環(huán)節(jié)互動探究例1、如圖所示，重為g的物體放在水平而上，物體與水平而間的動摩擦 因數(shù)為“二館/3,物體做勻速直線運(yùn)動.求牽引力f的最小值和方向角.例2、從車站開岀的汽車作勻加速運(yùn)動，它開出一段時間后，突然發(fā)現(xiàn)有乘客未上車，于是立即制動 做勻減速運(yùn)動，結(jié)果汽車從開動到停下來共用時20s,前進(jìn)了 50m,求這過程中汽車達(dá)到的最人速度.例3、已知直角三介形底邊長恒為4當(dāng)斜邊與底邊所成夾角為多大時，物體沿此光滑斜邊由i掙止 從頂端滑到底端所用時間最短？例4、如圖所示，一個質(zhì)量為m的小物塊以初速度n)=10m/s沿光滑 地面滑行

3、，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上，并由高臺上飛出當(dāng) 高臺的高度力為多人時，小物塊飛行的水平距離$最人？這個距離是多 少？ (g 取 lom/s?)例5、一輕繩一端固定在。點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平伸直，然后無初速度的釋放, 從小球開始運(yùn)動玄到輕繩到達(dá)豎肓位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最人值？r例6例6、如圖所示，己知定值電阻電源內(nèi)阻廠，滑動變阻器的最 人阻值為r （r>r+c,當(dāng)滑動變阻器連入電路的電阻/?x多人時，在 變阻器上消耗的功率授大？例7、如圖所示，均勻?qū)Ь€制成金屬圓環(huán)，垂肓磁場方向放在磁感為厶其電阻為 為心q，它以x x x x例7l例8應(yīng)強(qiáng)

4、度為b的勻強(qiáng)磁場中，圓環(huán)總電阻為r.另冇一直導(dǎo)線0p長 rop，一端處于圓壞圓心，一端與圓環(huán)相連接，金屬轉(zhuǎn)柄0q的電阻 的轉(zhuǎn)速沿圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動，問0p中電流強(qiáng)度的最小值是多少？例8、如圖所示是顯像管中電子束運(yùn)動的示意圖，設(shè)加速電場 兩極間的電勢差為“，勻強(qiáng)磁場區(qū)域的寬度為l,要使電子束從磁 場飛出時，在圖小所示不超過120。范圍內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)（即上下各偏轉(zhuǎn)不 超過60。），求磁感應(yīng)強(qiáng)度b的變化范圍（設(shè)磁場方向垂直丁紙面向里 時，磁感應(yīng)強(qiáng)度為正值）？p例9、如圖所示，寬為厶的金屬導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng) 磁場中，磁場方向豎直向卞.電源電動勢為e,內(nèi)阻為八不計其他電阻和 一切摩擦，求開關(guān)k閉合后，金

5、屬棒pq速度多人時，安培力的功率最人？ 最大值是多少？例10 一個質(zhì)量為m的電子與一個靜止的質(zhì)量為m的原子發(fā)生正碰，例9碰后原了獲得一定速度，并冇一定的能量e被貯存在這個原子內(nèi)部.求電了必須具有的最小初動能是多少？ 課堂反饋反饋1、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s?的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車.汽車從路口開動后，在追上自行 車z前過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？此時距離是多少？反饋2、如圖所示的電路中,電源的電動勢e=12v,郵且r=0.5q,夕ri=2q,r2=3q,滑動變阻器r3=5q.求滑動變阻器的滑動頭p滑到什么位置，電路中的

6、伏 特計的示數(shù)侑最大值?最人值是多少？反饋2 達(dá)標(biāo)測試1、某物體從靜止開始沿宜線運(yùn)動，當(dāng)停止運(yùn)動時，位移為厶 若運(yùn)動屮加速度人小只能是?；蚴橇?那么此過程的最大速度是多大？最短時間為多少？a2、某屮學(xué)舉辦了一次別開生面的“物理體育比賽”，比賽中有個項目：運(yùn)動員從如圖所示的a點起跑，到mn槽線上抱起一個實心球，然后跑到b點.比賽時，誰用的時間最少準(zhǔn)勝試問運(yùn)動員比賽時，應(yīng)沿著什么路線跑 最好？m eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee n達(dá)標(biāo)23、一條寬為l的河流通，水流速度為”，船在靜水劃行速度為v,若v<u,則它的航行方向如何，才能使它到達(dá)對岸時向下游行駛的距離最小?4、如圖

7、所示，一輛四分z闘弧小車停在粗糙水平地面上，質(zhì)量為皿的小 球從靜止開始由車頂無摩擦滑卜若小車始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，試分析： 運(yùn)動到什么位置吋，地而對小車的摩擦力最大？最大值是多少？當(dāng)小球tt17達(dá)標(biāo)45、如圖所示，光滑軌道豎直放置，半圓部分半徑為在水平 軌道上停著一個質(zhì)量為a/=0.99kg的木塊，-顆質(zhì)量為說=0.01 kg的 子彈，以vo=4oom/s的水平速度射入木塊屮，然后-起運(yùn)動到軌道 最高點水平拋出，試分析：當(dāng)圓半徑人多人時，平拋的水平位移是 授大？ r授大值為多少？八、inonvo達(dá)標(biāo)9達(dá)標(biāo)56、一架升飛機(jī)，從地面上勻加速垂宜飛行到高度h的天空，如果加速度。和每秒消耗的汕量y之間 的

8、關(guān)系是y = ka + n (jl>0, n>0),應(yīng)當(dāng)選擇怎樣的加速度，才能使這飛機(jī)上升到高度h時耗汕量最低.7、如圖所示，己知電流表內(nèi)阻忽略不計，電源電動勢e=10v,內(nèi)阻r= 1q,£ rro=r=4q,其屮/?為滑動變阻器的最人值.當(dāng)滑動片p從最左端滑到最右端r。的過程屮，電流表的最小值是多少?最人值是多少?電流表的示數(shù)將怎樣變化？ 8、如圖所示，ab、cd是兩條足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩條導(dǎo) 軌間的距離為乙 導(dǎo)軌平面與水平面的夾角是0,在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)部冇 垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為3.在導(dǎo)軌的ac端 連接一個阻值為r的電阻，一根垂直于導(dǎo)軌

9、放置的金屬棒”，質(zhì)量為加, 從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑.已知gb與導(dǎo)軌間的滑動摩擦系數(shù)為“，導(dǎo)軌和 金屬棒的電阻不計，求”棒的最大速度.9、如圖所示，頂角為2的光滑圓錐，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為儀方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，現(xiàn)有 一個質(zhì)量為?，帶電量為+g的小球，沿圓錐而在水平而作勻速圓周運(yùn)動，求小球作圓周運(yùn)動的軌道半徑.10、如圖所示，一束寬為d的平行光，由紅、藍(lán)兩種色光組成，入射到一 塊上、下表面平行的玻璃磚，其入射角為i,玻璃對紅、藍(lán)光的折射率分別為山 和血，則要想從下底而得到兩束單色光，玻璃磚的厚度l至少為多大？11、如圖所示，水平傳送帶水平段長/=6m,兩皮帶輪直徑d均為0.2m,距地面高與傳送

10、帶 等高的光滑水平臺上有一小物塊以v0=5m/s的初速度滑上傳送帶，物塊與傳送帶z間的動摩擦因數(shù) “=0.2.求：（1）若傳送帶靜止，物塊滑到右端后做平拋運(yùn)動的水平距離s（）等于多少？（2）當(dāng)皮帶輪勻速轉(zhuǎn)動，且角速度為®吋，物體做平拋運(yùn)動的水平位 移為$,以不同角速度做上述實驗，得到一組對 應(yīng)的血和s值.設(shè)皮帶輪順時針轉(zhuǎn)動時0,逆時 針轉(zhuǎn)動時x 0,試畫出平拋距離s隨co變化的曲線.專題十一，課吋2解析例1解析：物體的受力圖如圖.建立坐標(biāo)系，有：fcos0 - “n=0 fsin&+n-g = 0得 f=/ig / （c（）s+“sin）令 tang二“,則 cos"

11、; + “sin宀 j1 +cos(-卩)f= j】+ / cos (& _ 0 )當(dāng)歸。時，cos（弘°）取極人值1, f有最小值.佇g(shù)fmin=、卜十八=g/2,心忡=怎,（p=30°,歸30°解法二、將四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，用圖象法求解.將n與f合成為一全反力r. tan(p=f/n=. nj見n變化會一個起f變、尺變 但r的方向是不變的物 體處于平衡狀態(tài)，r、f、g的合力必為0,三力構(gòu)成-封閉三角形.由圖可知，當(dāng)f乖總于r時，f最小.此時，=arctan(l/a/3)=30°, fmin=gsin0=g/2例2解析：設(shè)最人速度為仏，即加

12、速階段的末速度為f，畫出其速度時 間圖彖如右圖所示，圖線與/軸圍成的而積等于位移.即：5 = x r x vm , 50 =丄 x 20 x vm , vin=5m/s.例3解析：設(shè)斜面傾角為0吋，斜面長為s,物體受力如圖所示,由圖知bs =cos&由勻變速運(yùn)動規(guī)律得：2*亦.山牛頓第二定律得:聯(lián)立式解得:可見，在90°>0>0°內(nèi),當(dāng)2 0=90。，& = 45。時,sin2&有最大值,有最小值.例4解析：設(shè)小物塊從曲面頂部的高臺飛岀的瞬間的速度為v,1 ° 1 mv7. = mv2 ° 2ill機(jī)械能守恒定律,2+

13、 mgh(1)例5解析：當(dāng)小球運(yùn)動到繩與豎直方向成&角的c時,p=mg vcosa=mgvsin3小球從水平位置到圖中c位置時，機(jī)械能守恒冇：mglcos 0 mv2重力的功率為:解可得：p = mgq2glcososn0令 y=cos&sin 0 y = cossin2 0 = (2cos2 sin4 0)(2cos2 6 sin2 0 sin2 0)又 t 2cos2 + sin2 0 + sin? 0 = 2(sin2 + cos2 0) = 2根據(jù)基木不等式a + b + c> 3$ abc，定和求積知:3當(dāng)且僅當(dāng)2cos20 = sin2, y有最大值 ill

14、2cos2 0 = 1 - cos2 3 得:cos0 = 結(jié)論：當(dāng)cos0 = 時°，y及功率p冇授大值.3例6解析：設(shè)變阻器連入電路的為心（0<rxg 由閉合電路歐姆定律冇:=£ 一 i（r + r j =iu（廠+尺）2+ rx + 2（廠 + /?）/ 2 / 2欲使厶有最大值，只有（r + /?l）+rx要有最小值，當(dāng)" + '）=r<時rxrx2即 r = r 4- &時f &為最小,rx故pre4（廠+ &）例7解析：感應(yīng)電動勢£ =丄oqcob =丄l32mb = n7il3b , /?

15、6;q相當(dāng)于電源的內(nèi)阻，當(dāng)q轉(zhuǎn)至環(huán)的中點，即q點與p點關(guān)于0的對稱點時，（則q點平分r, rqa=rqbr）,電路的總電阻最大，此吋o(jì)p中電流強(qiáng)度最小.根據(jù) 閉合電路歐姆定律，0p中電流強(qiáng)度最小值為：entiljb7 min =j =j roq +roproq +roprop例8解析：根據(jù)題意，電子向上偏轉(zhuǎn)時最人偏轉(zhuǎn)角為60%則電子在磁場中做圓周運(yùn)動的最小半徑7為詵,電了在電場中加速冇亠如=竺，電子在洛侖茲m力作用下，作勻速圓周運(yùn)動，2片當(dāng)"卸，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最犬值numz警所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化范圍思丄業(yè)亦丄啟巴l 2e l 2e60°lf - r v例9解析：開關(guān)閉合后，電

16、路中的電流1=,金屬棒受到的安r培力為f - rl vf = bil = bl(),可見，f與v是線性關(guān)系，作出fvr圖線如圖，根據(jù)直角三角形內(nèi)接矩形的性質(zhì)，當(dāng)金屈棒pq的速度u二e/2bl rif f f時，安培力的功率最大，最大值為匕飛了礦石例1()解析：設(shè)電了碰前的速度為3,碰后的速度為5,靜止的原子被碰后的速度為5由動量守il宀f 土= m ui + m小、怛定律有112(1)1 ? 1-21-mui =-mui +-mu2 + e由能屋守恒有222(2)論訕-u)由(1)式解出2 一 m 代入(2)丄m vi =丄mui2 +丄阿嚴(yán)s 一+£ 可得：222m整理 nj得：(

17、m+m)mu 1 2n?u i °1 +(m-m)mu /+2me=0i因電子碰后的速度必為實數(shù)，所以此方程的判別式b2-4ac>0即4加4。】4(m+n?)加加°】 +2me>0丄mu> m+me根據(jù)上式整理可得：2m所以電了必須具有的最小的初動能是m反饋1解析：經(jīng)過吋間/后，自行車做勻速運(yùn)動，其位移為g =w,1 。汽車做勻加速運(yùn)動，其位移為：=-at ,-2兩車相距為：a12,3 2a5 = st = vt at = 6/ t，1 - 2 2rb當(dāng)一 2廠_6小亠-4ac-b20-62:c / “、=2s時山冇最大值，幾=6m.2x(3/2)w,4a

18、4x(-3/2)反饋2解析：設(shè)dp間電阻為兀，外電路總電阻為乩 則(2 +兀)(8 兀)下面用四種方法先求解rmax-(/?)+ x)(/?2 + r3 兀) r、+ rj + r3方法一：用頂點坐標(biāo)法求解.拋物線方程nj表示為y=ax2+bx+c,(2 + x)(8 x)io+ 6x +1610,設(shè) y = -x2+6x+16,當(dāng)x=_b2a=3 時，/?max=-(3)2+6x3 + 1610=25q.方法二：用配方法求解.(2 + x)(8 x)io%2 + 6% + 16 -(x-3)+2510 = 10,即 x=3q 時，/?max= 2.5 q.也可以用上面公式（a+嘰=（2 +

19、x）（8 - %）2=25,r _(。+嘰乂_2 5qnmax0一厶»乙方法三：用判別式法求解2 /r=,則有-x2+6x+16-10/? = 0, a= b2-4ac = 36-4(-1)(16-10/?)>0,即：100-40/?>0, /?<2.5q,即 /?max=2.5q.方法四：用均值定理法求解10r =心 + "）（8,設(shè) a = 2+x； b = 8-x,當(dāng) a = b 日寸，即 2+x = 8-x,10即 x = 3q 時，心ax= (2 + 3)©-3) =25q.以上用四種方法求出尺nax = 2.5q,下邊求伏特計的最大讀

20、數(shù).fmax7nun=-=4a, uinak= e- /minr = 10v,即變阻器的滑動頭p滑到心的小點2.5q處，伏特計有最 + r人值，最人值為10v.達(dá)標(biāo)1解析：根據(jù)題意，只有滿足如圖所示的-t圖象所圍的而積 等于位移的值，才有最大速度和最短時問.從圖象可知，在l 一定時，（即 5，aoat2=5aobct3=）» va=vmax>vb， t2=tmin<t3f 所以卩吶=心£ =。（篤一刁），t2=2 t),得:乂因為 £ = |vmaxr2v maxt t2 t3vmax達(dá)標(biāo)2解析：沿adb路線好.達(dá)標(biāo)3解析：如圖所示，以水流速度矢量u的

21、箭頭端為圓心，以船的劃行 速度卩的大小為半徑，作一圓周，分析可知，船航行的可能方向都由0指向圓 上的點，在w的情況下，當(dāng)船航行的方向恰好與圓相切(圖中0p)時，到 達(dá)對岸向下游行駛的距離最小，此時船的劃行速度u垂直于船航行方向(0p).當(dāng)sin 0 = v/u ,即=arcsin (v/w)時船到達(dá)對岸時向卜-游行駛的距離最小.達(dá)標(biāo)4解析：設(shè)閲弧半徑為當(dāng)小球運(yùn)動到重力7g與半徑夾角為&時，速度為卩，根據(jù)機(jī)械能守恒 定律和牛頓第二定律有：1 .mv -加g/?cos&v2n -mgcos0 = m 3解得小球?qū)π≤嚨膲毫椋簄=3mgcos0,其水平分量為：nx=3加gsin&a

22、mp;cos歸mg sin 20 ,2根據(jù)平衡條件，地面對小車的靜摩擦力水平向右，33大小為:仁n 一加gsin20,當(dāng)sin2" 1,即0 = 45。時,地面對小車的靜摩擦力最大，其值為說產(chǎn)_/ng 達(dá)標(biāo)5解析：子彈與木塊發(fā)生碰撞的過程，動量守恒，設(shè)共同速度為可，則-1yi所以 v|=v0= 4m/s；m + m設(shè)在軌道最高點平拋時物塊的速度為”2, rti于軌道光滑，故機(jī)械能守恒：1 7 1 ?(m + m)vj2 = 2(/n + m)gr + (/n + m)石所以 v2=yl(m + mv -4(m +m)sr/(m + m) = j16-40r則平拋后的位移 s =呵=4

23、 j r? + 0.4/?,當(dāng) r= = 0.2m 時，5max=0.8m.2a達(dá)標(biāo)6解析：設(shè)加速度為a,時間為tf則h=at2/2, t=2h /ci，總耗汕y=yt= (ka+n) v2h /a =(k邁不 i2h la ),當(dāng)a = n/k時，最低耗油量為2 j2hkn .達(dá)標(biāo)7解析：設(shè)滑動變阻器滑片p左端的電阻為r左，通過電流表的電流為兒，通過層的電流為&由并聯(lián)電路可知° =r&<4 r°e,山歐姆定律得：,尺總+廠f即/二:r 并 + （r r片：）+ r=a d，l=io+l= /a（門+1）孕+ 4-乩+1他4 + /?左民把代入式整理得

24、/a=40_40-疋左+5/?左+20 _（&.上尸+26.25ze£當(dāng) r = 2.5q 時，/a 有極小值 /amin= 1.52a.26.5當(dāng)求電流表的最大值時，就盂考慮r的取值范圍是“冇界”的.當(dāng)左=0時，即由式得lap.a= =20 2a.40當(dāng) r左=r=4q 時，由式得/ap在匕= = 1.67 （a）._42+5x4 + 20由此可得，電流表先從2a減小到1.52a,然后再增加到1.67a.所以電流表的最人值是2a,其變化 是先減小后增人.o2 t2達(dá)標(biāo)8解析:在卜'滑過程中,ab受重力mg,支捋j n= tngcoso,摩擦u仁屮ngcoso,安培力f=.沿r導(dǎo)軌平面有：wgsinb刃g(shù)eos。b2l2v-marb? lv當(dāng)a=0時，ab速度到達(dá)最人，msino -“加geos。- = 0 r解得：umax =噸(sinp “ cosp)b2l3達(dá)標(biāo)9解析：小球在運(yùn)動時將受重力加g,圓錐面對球的彈力m及洛侖茲力/的作用.設(shè)小球作勻速 圓周運(yùn)動的軌道半徑為/?，速率為v，正交分解得u2 qu b- n cos6 = m rnsin6-mg= 0qb v + mgctgo = 0 解得r因為v有實數(shù)解，山從4（心0,勺m(-qb)2 -4 mgctgo