畢業(yè)論文--淺談數(shù)學(xué)中的有限與無(wú)限

1、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文淺談數(shù)學(xué)中的有限與無(wú)限finite and infinite in college mathematics姓 名：王蓮學(xué)學(xué) 號(hào)：0907019116學(xué) 院科學(xué)技術(shù)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師：黃大富（教授） 完成時(shí)間：2013年4月20日淺談數(shù)學(xué)中的有限與無(wú)限王蓮學(xué)【摘要】數(shù)學(xué)屮有限和無(wú)限的關(guān)系體現(xiàn)了哲學(xué)中的辯證關(guān)系，本文將從具體的 實(shí)例談起如：定積分、數(shù)列極限公式、球表面積和體積公式的推導(dǎo)及結(jié)合率和分 配率的使用。再將數(shù)學(xué)中的有限與無(wú)限從哲學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)體現(xiàn)，首先，本文討論了 數(shù)學(xué)屮有限與無(wú)限的聯(lián)系：無(wú)限是有限的基礎(chǔ)，無(wú)限是由有限構(gòu)成的；有限由無(wú)

2、 限組成；無(wú)限是有限的延仲。有限與無(wú)限雖密不可分，但它們也有質(zhì)的區(qū)別。其次，將會(huì)寫(xiě)到離了有限的超限數(shù)，如：就部分和整體來(lái)說(shuō)，對(duì)于超限數(shù)，部分 可以等于整體；就運(yùn)算法則來(lái)說(shuō)，超限數(shù)的運(yùn)算法則與有限數(shù)的運(yùn)算法則是不同 的；就與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系來(lái)說(shuō)，超限數(shù)也是與有限數(shù)不同的?！娟P(guān)鍵詞】有限；無(wú)限；聯(lián)系；區(qū)別；超限數(shù)finite and infinite in college mathematicswang lian xueabstract the mathematics of finite and infinite relations reflects the dialectical relationsh

3、ip of philosophyjn this paper we will start from the concrete examples such as: integral, sequence limit formula derivation, ball surface area and volume formula and collection rate and the use of rate.the mathematics of finite and infinite will be reflected from a view of philosophical point.first

4、of all, this paper discusses the mathematics of finite and infinite connection:infinity is the foundation of finity, and infinity is composed of finity;infinity is the extension of unity .the finity and the infinity are inseparable, but they also have a qualitative difference.secondly, we will write

5、 the transfinite number which if far away form finity,for exaple:on the part and the whole, ,the part can be equal to the whole for the transfinite numbers in terms of the part and the whole; transfinite number's algorithm is different from limited number's in terms of algorithm; transfinite

6、 number is different with finite number in terms of the relationship with reality too.【key words limited; unlimited; relation; difference; transfinite number目錄刖片11.例談數(shù)式中有限與無(wú)限2§1.1定積分2§1.2數(shù)列極限的公式2§1.3球表而積、體積公式的推導(dǎo)2§1.4結(jié)合律和分配律的使用 32無(wú)限與有限的聯(lián)系4§2.1無(wú)限是有限的基礎(chǔ)4§2.2無(wú)限是由有限構(gòu)成的4§

7、;2.3有限由無(wú)限組成5§2.4無(wú)限是有限的延仲6§ 2. 4. 1數(shù)學(xué)歸納法6§ 2. 4. 2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)73有限與無(wú)限的區(qū)別74離了有限的超限數(shù)8§4.1就部分和整體來(lái)說(shuō)，對(duì)于超限數(shù)，部分口 j以等于整體9§4.2就運(yùn)算法則來(lái)說(shuō),超限數(shù)的運(yùn)算法則與有限數(shù)的運(yùn)算法則是不同的9§4.3就與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系來(lái)說(shuō)，超限數(shù)也是與有限數(shù)不同的95小結(jié)11參考文獻(xiàn)12-xx.a 刖吞有這樣一個(gè)故事,據(jù)說(shuō)出口杰出的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)希爾伯特之口。一天夜里已經(jīng) 很晚了，一個(gè)人走進(jìn)一家旅館想要住店。店主冋答說(shuō)：“對(duì)不起，我們沒(méi)有任何空 房間，但是讓我看一下，或許我們

8、能為您找到一個(gè)房間。”然后店主離開(kāi)了他的桌 子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且請(qǐng)他們換一換房間：1號(hào)房間的房客搬 到2號(hào)房間,2號(hào)房間的房客搬到3號(hào)房間，依次類推，直到每位房客都從 一個(gè)房間搬到下一個(gè)房間為止。令這位遲來(lái)者感到吃驚的是，1號(hào)房間竟然被空 岀來(lái)。他很高興地搬進(jìn)去,然后安頓下來(lái)過(guò)夜。但是,一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題使 他無(wú)法入睡：為什么僅僅通過(guò)讓房客從一個(gè)房間搬到另一個(gè)房間,第一個(gè)房間就 空出來(lái)了呢？這所旅館一定是希爾伯特的旅館，它是城里一個(gè)據(jù)認(rèn)為有無(wú)數(shù)個(gè) 房間的旅館！這個(gè)故事說(shuō)明了無(wú)限是作為有限的對(duì)立面而存在的,有限與無(wú)限有質(zhì)的區(qū) 別。貝爾指出，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家己經(jīng)認(rèn)識(shí)到，“沒(méi)有一

9、個(gè)一致的數(shù)學(xué)無(wú)限理論， 就沒(méi)有無(wú)理數(shù)理論；沒(méi)有無(wú)理數(shù)理論，就沒(méi)有與我們現(xiàn)在所有的即便稍許相似的、 任何形式的數(shù)學(xué)分析；沒(méi)有數(shù)學(xué)分析，像現(xiàn)在人部分?jǐn)?shù)學(xué)包括兒何和人部分應(yīng)用數(shù)學(xué)就不再存在了。”可見(jiàn),無(wú)限在數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，甚至可以說(shuō)它是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?！白怨乓詠?lái)，沒(méi)仃別的問(wèn)題像無(wú)限這樣深深地激動(dòng)過(guò)人的情緒，沒(méi)有別的想 法像它這樣富有成效地?zé)òl(fā)過(guò)人的精神。同時(shí)，也沒(méi)有別的概念像它這樣迫切需 要澄清”1.例談數(shù)式中有限與無(wú)限§1.1定積分看看牛頓和萊布尼茨發(fā)展的積分，它們均來(lái)源于求曲多邊形的面積方法大 致為：分割、近似求和、取極限.這里的分割是-種動(dòng)態(tài)無(wú)限的過(guò)程.在保證最 大區(qū)間長(zhǎng)度

10、趨于零的條件下，分割而成的區(qū)間數(shù)目趨于無(wú)窮.從有限個(gè)矩形到無(wú)限塊和，利用積分可以計(jì)算不規(guī)則圖形面積.例如：求由 函數(shù)/(x),直線2d, x = b,y = o所i韋i成的曲邊梯形的而積。步驟如下：將區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間xx(1gs)，每個(gè)區(qū)間上任 取一點(diǎn)以/($.)作為矩形的高，求川皿個(gè)矩形的面積并求和：2邸廣卿工1/(爲(wèi)0廠兀§1.2數(shù)列極限的公式數(shù)列極限是極限的重要基礎(chǔ)知識(shí)，其運(yùn)算法則必須滿足：若lima”存在及 h-»colim仇存在,貝ljlim(d” +b”)存在,一目 lim(a“ +bj=lima“ +limb”“toon->oon>oo”

11、一>oonx»(|i1、例如：lim - + - + + -如何計(jì)算?“xi n nn j /個(gè)按照有限的計(jì)算法則,( 1 1) lim + + + n n n)vv'"個(gè)=lim + lim + + lim =0jqn>oon>oo 卅'、 _yv川個(gè)顯然這個(gè)例題的結(jié)論是錯(cuò)的，所以不能用有限個(gè)的運(yùn)算法則來(lái)替代無(wú)限的運(yùn)算此處有限 和無(wú)限是無(wú)法統(tǒng)一于一個(gè)運(yùn)算法則中.數(shù)學(xué)極限公式中蘊(yùn)含的無(wú)限思想，體現(xiàn)了 無(wú)限是有限的延伸，但有限到無(wú)限是引起“質(zhì)變”的。§1.3球表面積、體積公式的推導(dǎo)球的表面積、體積公式推導(dǎo)也是一種無(wú)線分割思想的運(yùn)用0

12、如圖一所不,2v = 2ek =! = 1ri+ + (/i 1)21nr s如圖2,將球分割成/!份四棱錐，其體積v =工丄二丄工a$ =/=i 3”3<=1由上述球的體積公式，得:5 = w§1.4結(jié)合律和分配律的使用人家都知道q + (b + c)=(d+b) + c,這在有限相加的世界里似乎沒(méi)什么問(wèn) 題.然而在無(wú)限相加的世界里，若把這種結(jié)合律再看成是正確的，那你就會(huì)鑄成 大錯(cuò)，不妨看下式如何計(jì)算：z = l + (-1)+1 + (-1)+1 +，假如數(shù)的加法可以任意結(jié)合，那么： z = l + (_l)+l+二l + o + o + = l,好像不錯(cuò)，注意還可以這樣用

13、結(jié)合律： "1 + (-1)+1 + (-1)+= 0 + 0 +=0,也沒(méi)有問(wèn)題，這是推出的結(jié)論：0 = z = l 就有大問(wèn)題了，原因何在呢？解釋并不困難：結(jié)合律和分配律并不像人們通常認(rèn)為的那樣永遠(yuǎn)正確，它們 在有限數(shù)學(xué)中的確是正確的，但在無(wú)限數(shù)學(xué)中就不是沒(méi)有任何條件的正確無(wú) 誤.所以說(shuō)，有限到無(wú)限畢竟是引起了 “質(zhì)變”。2無(wú)限與有限的聯(lián)系§2.1無(wú)限是有限的基礎(chǔ)自然數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，但沒(méi)有最后一個(gè)，設(shè)想如果確實(shí)存在這種數(shù)，例如10000, 那我們不但得忽略比10000大的任何數(shù)，而結(jié)果超過(guò)10000的所有計(jì)算(例如 9999+2或3000+8000)都變得“不合法”，換句

14、話說(shuō),通常的計(jì)算技巧必須拋棄， 數(shù)字計(jì)算的整個(gè)系統(tǒng)我們熟悉的計(jì)算規(guī)則，將會(huì)像一個(gè)用紙牌搭成的紙房子那樣倒塌。所幸的是悄況并非如此，我們總是把計(jì)數(shù)數(shù)的無(wú)限性當(dāng)作一個(gè)公理, 即當(dāng)作一個(gè)其實(shí)效性可被認(rèn)為理所當(dāng)然的語(yǔ)句，如果以一種更正規(guī)的方式敘述， 該公理可表述為：每個(gè)自然數(shù)n都有一個(gè)后繼數(shù)n+1?？梢?jiàn)，有限的運(yùn)算是建立在 無(wú)限的基礎(chǔ)保證之上的，無(wú)限就像一個(gè)個(gè)無(wú)孔不入的微塵充滿在大氣屮，不論喜 歡不喜歡它,它都存在且?guī)椭?。在幾何學(xué)中十分重要的“直線”概念，也是以類似假定為基礎(chǔ)的:我們能夠在 兩個(gè)方向上無(wú)限地延長(zhǎng)直線至少在原理上如此。在同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，我們是說(shuō)它們永遠(yuǎn)不相交，沒(méi)有交點(diǎn)?！捌叫?/p>

15、”和“相交”沒(méi)有無(wú)限作基礎(chǔ), 很難說(shuō)清楚，更難理解。甚至在像概率這樣看起來(lái)“有限的”數(shù)學(xué)分支中，無(wú)限的概念也起著一種微 妙的作用：當(dāng)我們擲十次硬幣時(shí)，可能會(huì)得到五次“正面”和五次“反面”，或者 六次“正面”和四次“反面”，或者得到其它結(jié)果，但是當(dāng)我們說(shuō)到“正面”或“反 而”的概率相等時(shí)，我們心照不宣地假定：當(dāng)擲幣的次數(shù)無(wú)限多時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生相等 的結(jié)果。§2.2無(wú)限是由有限構(gòu)成的自然數(shù)無(wú)限多，但任何一個(gè)門(mén)然數(shù)卻都是有限的。由一切有限的門(mén)然數(shù)構(gòu)成 一個(gè)無(wú)限的自然數(shù)集合，這看來(lái)矛盾，但實(shí)際上正是如此?，F(xiàn)代的人誰(shuí)也不會(huì)妄言 自然數(shù)有限多，但同樣誰(shuí)也舉不出一個(gè)無(wú)限的自然數(shù)。但這無(wú)限的現(xiàn)實(shí)世界卻是

16、 由一個(gè)個(gè)具體的、有限的物質(zhì)世界構(gòu)成的，與z相應(yīng)的任何一個(gè)自然數(shù)都是有限 的。再如調(diào)和級(jí)數(shù)工丄是發(fā)散的，但它的任何一部分和都是有限的，只是當(dāng) nn->oo時(shí),部分和才超過(guò)任何一個(gè)指定的數(shù)，其它發(fā)散級(jí)數(shù)通常也是如此。正是因?yàn)闊o(wú)限是曲有限構(gòu)成的，所以人們才可以通過(guò)有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限。分析 數(shù)學(xué)中各種收斂性，正是通過(guò)有限（部分和）來(lái)判斷有限（收斂）或無(wú)限（發(fā)散）的, 這就是說(shuō)，無(wú)限純粹是有限構(gòu)成的，哲學(xué)無(wú)限如此,數(shù)學(xué)無(wú)限也是如此。在一定條 件下，有限可以轉(zhuǎn)化為無(wú)限,這里所說(shuō)的一定條件，在數(shù)學(xué)中是由嚴(yán)格的收斂性判 則規(guī)定的。如“一尺z極，h取其半，萬(wàn)世不竭”。說(shuō)的是，一尺z長(zhǎng)的短棍，今h取其一 半，

17、明日再取其剩余的一半,，依次下去，這是一個(gè)無(wú)限的過(guò)程。但把所有“其 半”加在一起，岡好就是原來(lái)的那個(gè)“一尺z極”。無(wú)限的“萬(wàn)世不竭”的東西 恰好與有限的“一尺之極”相當(dāng)，在這里,無(wú)限與有限的差別就消失了，也就是說(shuō), 無(wú)限已轉(zhuǎn)化為有限了。用數(shù)學(xué)中的級(jí)數(shù)公式工*=1表示,恰如其分地反應(yīng)這一 辯證關(guān)系。§ 2. 3有限由無(wú)限組成有限范i韋i內(nèi)封閉無(wú)限。如在數(shù)軸上o與1 z間的有限長(zhǎng)度上有無(wú)限多個(gè)點(diǎn), 甚至不知為什么對(duì)這樣的概念難以理解，但無(wú)論什么情況下，都是無(wú)限封閉在有 限里。乂如在正五角形、正方形等圖形中，可以作出無(wú)限多個(gè)與其自身相似的圖 形。也就是說(shuō)可以將無(wú)限封閉在這種正五角形、正方形

18、中（如圖1和圖2）。圖1正五角形圖2正方形有限表示了無(wú)限。對(duì)于一般分?jǐn)?shù)（分母為2、5及其自乘除外）而言，把它改寫(xiě) 為小數(shù)后變成無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而平方根數(shù)一般情況下也可用無(wú)限非循環(huán)小數(shù)表 22223335圓周率仝，生，竺等有限數(shù)可作為近似值表示，但實(shí)際卻是無(wú)限非循環(huán)771113小數(shù),可用其它無(wú)限小數(shù)表示的數(shù)很多。圓周率兀和自然對(duì)數(shù)的底e是無(wú)序數(shù)字排列的無(wú)限小數(shù)，但其近似值可以 用完美的分?jǐn)?shù)和表示。圓周率（萊布尼茨公式）：1 41=x = x2 321） + -3丿1111141x =17 x =1r t 入=1r "1r 入=1r 1t 十22 322332232332232532232

19、5*+丄厶d+-+."二4 x 1 + + _ 1+3579h自然對(duì)數(shù)的底 e二1 +丄+丄+丄+二lim/iy1+-1!2!3!（n）習(xí)慣上，人們總認(rèn)為，無(wú)限比有限大，比有限多，無(wú)限應(yīng)包含有限，無(wú)限由有限組 成。然而，現(xiàn)在我們知道,這種看法并不總是正確的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，使我們看 到有限屮的無(wú)限,有限與無(wú)限的這種新的聯(lián)系，是由數(shù)學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用的。§ 2.4無(wú)限是有限的延伸實(shí)際上，我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)屮就已經(jīng)接觸到無(wú)限了，前面提到的門(mén)然數(shù)、直線就 是兩個(gè)很好的實(shí)例。§2.4.1數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中，我們?nèi)绾斡捎邢捱M(jìn)入到無(wú)限，得到普遍的定理呢?是通過(guò)數(shù)學(xué)歸納 法。通常將

20、數(shù)學(xué)歸納法陳述如下：若一個(gè)命題“（”），當(dāng)n = l時(shí)成立。假定該命題當(dāng)n二k時(shí)成立的情況下，能證明當(dāng)n二k+1時(shí)也成立。那么就可以 斷言這個(gè)命題對(duì)于所有的自然數(shù)都成立。例如，在自然數(shù)序列中，考察連續(xù)自然數(shù)的平方和: 2lx（l + l）x（2xl + l）1 66f+ 232 i4-3h3 + dx（2x3 + l）f + 22 = 5 = "（2 + l）x（2x2 + l）66我們發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)序列前一個(gè),二個(gè)，,n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和等于這+22+32+42 = 30 = 4x（4+1（2x4+1） r + 22 + 32 + 42 + 5750=5x（5 + l）x（2x5

21、+ l）個(gè)和中加數(shù)個(gè)數(shù)n與卄1、2n+l的乘積的六分之一，即.22 r2271x（72+ 1）x（2x/? + l）1 +2 +3 + =y但這僅是一個(gè)猜想而已，對(duì)所有的口然數(shù)都成立么？若不成立,舉反例即可； 若成立必須作進(jìn)一步證明。用自然數(shù)-個(gè)一個(gè)地驗(yàn)算是不行的，因?yàn)樽匀粩?shù)有無(wú) 數(shù)多個(gè)，無(wú)論我們用了多少個(gè)自然數(shù)，也無(wú)法得到對(duì)于一切口然數(shù)都成立的普遍 定理。這時(shí)就必須采用數(shù)學(xué)歸納法。這種數(shù)學(xué)歸納法也叫“將棋一個(gè)壓一個(gè)橫倒 論證法”或“多米諾骨牌橫倒論證法”。這是因?yàn)樽畛醯囊粋€(gè)骨牌滑倒下去后， 后面的骨牌就跟著一個(gè)壓一個(gè)無(wú)限地倒下去。龐加勒在講到數(shù)學(xué)歸納法的作用時(shí)指岀：“棋手能預(yù)料四五步棋，不管

22、他多么 非凡，他也只能準(zhǔn)備有限步棋，假使把他的本領(lǐng)用于算術(shù)，他也不能憑借單一的直 覺(jué)直接洞察算術(shù)的普遍原理，為了獲得最普遍的定理，他也不得不借助于遞推原 理，因?yàn)檫@是能使我們從有限向無(wú)限延伸的工具?！比绻覀儾荒軓挠邢拮呦驘o(wú)限, 證明一個(gè)定理對(duì)一切自然數(shù)都成立，就得不到普遍定理。§2.4.2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)我們知道景物的照片與實(shí)際景物在一些方面有所不同：例如，一個(gè)圓可能會(huì) 像一個(gè)橢圓，正方形可能會(huì)像一個(gè)梯形，一對(duì)平行線好像在地平線上匯合在一起。 正是這個(gè)問(wèn)題。在16世紀(jì)產(chǎn)生了一個(gè)數(shù)學(xué)分支射影兒何學(xué)。引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線，使數(shù)學(xué)屮的某些定理顯得更簡(jiǎn)單、對(duì)稱和美觀，尤以笛沙格定理 及其逆定理

23、有特色。總之，包含無(wú)限多個(gè)自然數(shù)的集合和無(wú)窮遠(yuǎn)元索,都是從有限個(gè)自然數(shù)，從有 限個(gè)元素中來(lái)的，是從有限中外推得到的。曲這種外推，我們不僅得到了新的外數(shù) 學(xué)實(shí)體，而且得到數(shù)學(xué)上很重耍的數(shù)學(xué)歸納法和對(duì)偶原理。在這里,數(shù)學(xué)家用巧妙 的數(shù)學(xué)方法，把有限與無(wú)限聯(lián)系在一起一一有限如何進(jìn)入到無(wú)限，具體地展現(xiàn)在 人們面前。3有限與無(wú)限的區(qū)別有限和無(wú)限是對(duì)立的、有區(qū)別的，有限集和無(wú)限集的性質(zhì)有質(zhì)的不同。如一 個(gè)有限集和它的任何一個(gè)真子集都無(wú)法建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如:設(shè)a = a,a2.an ，b = a29a3，-9an是a的子集，不妨設(shè)b中元素勺與 a中的元素a】對(duì)應(yīng)，他與對(duì)應(yīng)，%與對(duì)應(yīng)，貝ia中元素色在b中

24、沒(méi)有 元素與它對(duì)應(yīng)。如果b的元素繼續(xù)減少，a中將出現(xiàn)更多元素在b屮沒(méi)有元素與z 對(duì)應(yīng)。無(wú)限集則可以與它的一個(gè)真子集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如：同二1,2,3,， 2二2,4,2仏一個(gè)有限的良序數(shù)集，自然數(shù)集的一個(gè)有限數(shù)集必然有最大數(shù)和最小數(shù)，但 是無(wú)限的良序數(shù)集則沒(méi)有這種性質(zhì)，實(shí)數(shù)集就沒(méi)有最人數(shù)也沒(méi)有最小數(shù)。數(shù)學(xué)中有這樣的符號(hào)：務(wù)，a29，d“與坷,a29，an,，它們差別相 當(dāng)尢 既表現(xiàn)在量上，乂表現(xiàn)在質(zhì)上。而當(dāng)4 +勺+=a +勺+匕+時(shí), 質(zhì)與屋的差別的兩方面便統(tǒng)一起來(lái)了。在有限數(shù)學(xué)中正確的規(guī)則、法規(guī),對(duì)于無(wú)限數(shù)學(xué)就不管用了。女口：1）任何有限集合的元素都可以排列（共有n!種排列法a為集合中

25、元素的個(gè) 數(shù)）o但并非任何無(wú)窮集合的元素都可以排列，如無(wú)理數(shù)集、超越數(shù)集及一切含這 類數(shù)的數(shù)集的元素是不可排列的。2）任何有限個(gè)數(shù)的集合都有最小數(shù)和最大數(shù)，但對(duì)于無(wú)限數(shù)集卻不一定，如 開(kāi)集（0, 1）屮就無(wú)最大數(shù)和最小數(shù)。3）有限個(gè)數(shù)或函數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律和分配律；但對(duì)于無(wú)窮 的級(jí)數(shù)卻不能無(wú)條件地運(yùn)用這些運(yùn)算律，只有級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂時(shí),才具有項(xiàng)的可 交換性，也只有級(jí)數(shù)在收斂時(shí)才能對(duì)其運(yùn)用項(xiàng)的結(jié)合律和乘法的分配律。再如, 對(duì)可積和可微函數(shù)關(guān)系，下列兩個(gè)公式：在有限和無(wú)限的情況下其正確性就大不同。在有限的情況下公式絕對(duì)成立, 當(dāng)無(wú)窮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)，公式才正確。有限和無(wú)限密切相聯(lián)系，

26、沒(méi)有有限 也就沒(méi)有無(wú)限，沒(méi)有無(wú)限也就沒(méi)有有限。無(wú)限性不能完全被證明或者被完全實(shí)現(xiàn), 不是因?yàn)闊o(wú)限性不存在，而是如果無(wú)限性一旦得到實(shí)現(xiàn)，那它就不再成為無(wú)限， 而變成有限，若所有的無(wú)限都變成有限，無(wú)限就不存在了，因此有限也就不存在 to由于有限是存在的，所以無(wú)限是不能完全實(shí)現(xiàn)的。4離了有限的超限數(shù)盡管有限與無(wú)限古人早己提及，但真止在數(shù)學(xué)界關(guān)于有限與無(wú)限打開(kāi)“潘多 拉”盒子的是德國(guó)奇才康托爾（1845-1918）,于1871年發(fā)表了稱為無(wú)限數(shù)學(xué)的“集 合論”?？低袪柕恼摂嗍且詢蓚€(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)的：集合的概念和一一對(duì) 應(yīng)的概念?？低袪柊鸭系脑貍€(gè)數(shù)叫做基數(shù)，有限集合的基數(shù)是自然數(shù)，無(wú)限集 合的

27、基數(shù)是超限數(shù)。康托爾進(jìn)一步論證了無(wú)理數(shù)集、實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的,但它們 z間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是說(shuō)有比自然數(shù)集更大的集合，有更大的超限數(shù)。 超限數(shù)與有限數(shù)完全不同,有天壤z別。§ 4.1就部分和整體來(lái)說(shuō)，對(duì)于超限數(shù)，部分可以等于整體奇數(shù)集、偶數(shù)集是自然數(shù)集的一部分但它們能與自然數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 表明與自然數(shù)集一樣大。無(wú)理數(shù)集明明只是實(shí)數(shù)集的一部分，但已經(jīng)證明，無(wú)理數(shù) 集合對(duì)等于實(shí)數(shù)集合?？傊?，在無(wú)限集合里，部分可以和全體對(duì)等,這與我們的常 識(shí)是如此的不相容,高斯在1831年給舒馬赫的信中，以十分堅(jiān)決的口吻表明了 a 己的見(jiàn)解:“我必須最強(qiáng)烈地反對(duì)你使用無(wú)限人作為菜種完善的東西

28、，因?yàn)檫@在數(shù) 學(xué)上是從來(lái)不允許的。無(wú)限大只不過(guò)是一種講話方式，意味著一種極限，當(dāng)允許某 些比率無(wú)限增人時(shí)，一些特定比率可以任意地逼近該極限柯西同樣不承認(rèn)該無(wú) 限集合的存在。§4.2就運(yùn)算法則來(lái)說(shuō)，超限數(shù)的運(yùn)算法則與有限數(shù)的運(yùn)算法則是 不同的我們已經(jīng)知道自然數(shù)集合的基數(shù)是超限數(shù)，是最小的超限數(shù)，康托爾用一個(gè) 希們來(lái)字母弘表示，讀作阿列夫零。1 +,k + 心=如，他 + % =如，2 x /10 =n() xn() = n(),耳)+ q)+ + %)=q), (n0)2=n(), (n()m = n(這種運(yùn)算是古怪的，是有限數(shù)學(xué)沒(méi)有的。這就是希爾伯特的故事答案,他說(shuō)明 了下面真理：即可數(shù)集加上一個(gè)或n個(gè)元素仍是可數(shù)集；加上可數(shù)個(gè)元素仍是可 數(shù)集。§4.3就與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系來(lái)說(shuō)，超限數(shù)也是與有限數(shù)不同的一個(gè)有限數(shù)，無(wú)論它有多人，我們總可以找到它的現(xiàn)實(shí)背景，它與現(xiàn)實(shí)的聯(lián) 系。然而,我們確找不到超限數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景，以及它與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。希爾伯特說(shuō)： “在現(xiàn)實(shí)中找不到無(wú)限。它既不存在于自然界，也沒(méi)有理論思維提供合理的基 礎(chǔ)”我們可以看出，超限數(shù)與有限數(shù)在各個(gè)方面都是完全不同的，沒(méi)有任何相似 z處，也沒(méi)有任何聯(lián)系，