橢圓定義及應(yīng)用

1、一、橢圓第一個(gè)定義的應(yīng)用1.1橢圓的第一個(gè)定義平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2，和一個(gè)定長(zhǎng) 2a。若動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)2a，且兩個(gè)定點(diǎn)距離 |F 1 F2|<2a. 則動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓。兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2 稱為橢圓的焦點(diǎn)。由此定義得出非常重要的等式，其中 P 為橢圓上一個(gè)點(diǎn)。 此等式既表明作為橢圓這個(gè)點(diǎn)的軌跡的來源，也說明橢圓上每一個(gè)具有的共同性質(zhì)。即橢圓上每一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng) 2a . 在有關(guān)橢圓的問題中，若題設(shè)中含有有關(guān)橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的信息， 首先考慮的就是能否用上這個(gè)關(guān)系式。1.2應(yīng)用舉例例 1.已知點(diǎn) F1( 3,0) , F2 (3,0) ,

2、 有 PF1PF2 6, 則 P點(diǎn)的軌跡是.例 2. 求證以橢圓(a>b>0)上任意一點(diǎn) P 的焦半徑為直徑畫圓，這個(gè)圓必與圓相切 .解評(píng)：此題若用一般方法解或用橢圓參數(shù)方程解答， 計(jì)算量都很大， 解題過程冗長(zhǎng)，屬于中檔題。我們?nèi)糇プ?PF2 為一個(gè)圓直徑， PF1 為另一個(gè)圓半徑的 2 倍，用公式，很容易得出正確解答。例 3. F 1、F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 是橢圓上一點(diǎn)，求的面積 .24解評(píng)： 題設(shè)中有橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)間距離的信息，即可試探是否能用解決例 4.P 是橢圓 x2y 21 上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn) , F 1、F2 是橢圓的左、右焦點(diǎn) ,4520若則 PF1P

3、F2的值為( )A.65B.2 5C.15D.2 533例 5.在圓 C: ( x1)2y225 內(nèi)有一點(diǎn) A(1,0) ,Q 為圓 C上一點(diǎn) ,AQ 的垂直平分線線段 CQ的交點(diǎn)為 M,求 M點(diǎn)的軌跡方程 .練 : 一動(dòng)圓與圓 o1： x2+y 2+6x+5=0 外切 ,同時(shí)與 o2： x2+y 2_ 6x _ 91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。例 6. 已知定點(diǎn) A（ 2，3 ）,點(diǎn) F 為橢圓 x2y21 的右焦點(diǎn)， 點(diǎn) M 在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，1612求| AM| | MF |的最小值與最大值。例 7. 設(shè) P 是直線 x-y+9=0 上一點(diǎn)，過 P 點(diǎn)的

4、橢圓以 F1 (-3 ，0) 和 F2（3，0）為焦點(diǎn)，試求 P 點(diǎn)在什么位置時(shí)， 所求橢圓的長(zhǎng)軸最短， 并寫出具有最短長(zhǎng)軸的橢圓的方程。解評(píng)：（ 1）轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想，此題把求長(zhǎng)軸最短值轉(zhuǎn)化為求的最小值，再轉(zhuǎn)化為求F1 關(guān)于直線 x-y+9=0 的對(duì)稱點(diǎn)。這樣做后，思路清晰，條理分明，計(jì)算簡(jiǎn)捷。二、橢圓第二個(gè)定義的應(yīng)用2.1 橢圓的第二個(gè)定義（課本 P78）點(diǎn) M 與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)， 定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù) e 是橢圓的離心率。2.2應(yīng)用舉例例 1. 橢圓焦點(diǎn)F1（-c ，0），F(xiàn)2（c ，0），離心

5、率M是橢圓上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x0，求M點(diǎn)的兩個(gè)焦半徑|MF1|和 |MF2|之長(zhǎng) .解： 過 M 作右準(zhǔn)線的垂線MM 2，則根據(jù)橢圓第二定義同理可得解評(píng)（ 1）解析幾何中很容易求出平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)，因此橢圓上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離易求，某點(diǎn)的焦半徑結(jié)果易見。題設(shè)中若有某點(diǎn)的焦半徑信息，用第二定義解題可得事半功倍之效。（ 2）此題的結(jié)果，與第二定義等式都可作為公式加以應(yīng)用。例 2.橢圓上一點(diǎn)P 到左準(zhǔn)線的距離等于2，求P 到右焦點(diǎn)距離。解：解評(píng) 此題使用了橢圓的兩個(gè)定義.例 3. 已知定點(diǎn) A（ 2， 3 ）, 點(diǎn) F 為橢圓 x2y21的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓1612M上移動(dòng)時(shí)，求 | AM| 2| MF |的最小值。三、同步檢測(cè)1. 橢圓上一點(diǎn)P 到左、右兩焦點(diǎn)距離之比為1：3，則P 到左準(zhǔn)線的距離是（）A.5B.15C.D.2. 短軸長(zhǎng)為，離心率為的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 和F2 .過 F1 作直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.24B.12C.6D.33. 已知橢圓上一點(diǎn)P 到右焦點(diǎn)的距離為b，則P 到左準(zhǔn)線的距離是（ ）4. 已知橢圓的焦點(diǎn) F1（-1 ，0），F(xiàn)2（ 1，0），P是橢圓上的一點(diǎn)， 且|F 1F2 | 是 |PF2|與 |P F 1| 的等差中項(xiàng)，則該橢圓的方程是（）5.P 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)