第十一章-------曲線回歸教學(xué)文案

1、第十一章 曲線(qxin)回歸第一節(jié) 曲線(qxin)的類型與特點(diǎn)第二節(jié) 曲線(qxin)方程的配置第三節(jié) 多項(xiàng)式回歸第一頁，共36頁。n曲線回歸(curvilinear regression)或非線性回歸(non-linear regression)：兩個變數(shù)(binsh)間呈現(xiàn)曲線關(guān)系的回歸。n曲線回歸分析或非線性回歸分析：以最小二乘法分析曲線關(guān)系資料在數(shù)量變化上的特征和規(guī)律的方法。 第二頁，共36頁。n曲線回歸分析方法的主要內(nèi)容有：n 確定兩個變數(shù)間數(shù)量變化的某種特定的規(guī)則或規(guī)律；n 估計(jì)表示該種曲線關(guān)系特點(diǎn)的一些重要參數(shù)，如回歸參數(shù)、極大值、極小值和漸近值等；n 為生產(chǎn)預(yù)測(yc)或試

2、驗(yàn)控制進(jìn)行內(nèi)插，或在論據(jù)充足時作出理論上的外推。第三頁，共36頁。第一節(jié) 曲線的類型(lixng)與特點(diǎn)n一、指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)曲線n二、對數(shù)函數(shù)曲線n三、冪函數(shù)曲線n四、雙曲函數(shù)曲線n五、S型曲線第四頁，共36頁。一、指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)曲線n指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)方程有兩種形式：n 圖11.1方程 的圖象bxaey xaby 00，ba00，babxaey yx第五頁，共36頁。n二、對數(shù)函數(shù)曲線n對數(shù)函數(shù)方程(fngchng)的一般表達(dá)式為：n 圖11.2 方程(fngchng) =a+blnx 的圖象xbayln0b0byyx第六頁，共36頁。

3、n三、冪函數(shù)曲線(qxin)n冪函數(shù)曲線(qxin)指y是x某次冪的函數(shù)曲線(qxin)，其方程為：n 圖11.3 方程 的圖象baxy 10ba100ba0，0babaxy yyxx第七頁，共36頁。n四、雙曲函數(shù)曲線n雙曲函數(shù)因其屬于(shy)變形雙曲線而得名，其曲線方程一般有以下3種形式：n 圖11.4 方程 的圖象bxaxyxbxaybxay100，ba0，0 bab1bayybxaxy xx第八頁，共36頁。n五、S型曲線nS型曲線主要用于描述(mio sh)動、植物的自然生長過程，故又稱生長曲線。nLogistic曲線方程為： bxaeky1balnk2kak1yx第九頁，共36頁

4、。第二節(jié) 曲線方程(fngchng)的配置n一、曲線回歸分析的一般程序n二、指數(shù)曲線方程(fngchng) 的配置n三、冪函數(shù)曲線方程(fngchng)的配置n四、Logistic曲線方程(fngchng)的配置bxaey 第十頁，共36頁。一、曲線(qxin)回歸分析的一般程序n曲線方程配置(curve fitting)：是指對兩個變數(shù)資料進(jìn)行曲線回歸分析，獲得一個顯著的曲線方程的過程。n由試驗(yàn)數(shù)據(jù)(shj)配置曲線回歸方程，一般包括以下3個基本步驟： 第十一頁，共36頁。n1根據(jù)變數(shù)X 與Y 之間的確切關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)那€類型。n2對選定的曲線類型，在線性化后按最小二乘法原理配置(pizh

5、)直線回歸方程，并作顯著性測驗(yàn)。n3將直線回歸方程轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的曲線回歸方程，并對有關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)作出推斷。 第十二頁，共36頁。表11.1 常用曲線回歸方程的直線(zhxin)化方法第十三頁，共36頁。n應(yīng)用上述程序配置曲線方程時，應(yīng)注意以下3點(diǎn)： n(1) 若同一資料(zlio)有多種不同類型的曲線方程配置，需通過判斷來選擇。統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是離回歸平方和 最小的當(dāng)選。n(2) 若轉(zhuǎn)換無法找出顯著的直線化方程，可采用多項(xiàng)式逼近，n(3) 當(dāng)一些方程無法進(jìn)行直線化轉(zhuǎn)換，可采用最小二乘法擬合。2)(yy第十四頁，共36頁。二、指數(shù)(zhsh)曲線方程 的配置n (111)n兩邊取對數(shù)：n (112)n令 ，

6、可得直線(zhxin)回歸方程：n (113) n若 與x的線性相關(guān)系數(shù)： n (114) bxaey bxaey bxay lnlnbxaylnyxyxyxySSSSSPryyln第十五頁，共36頁。n顯著，就可進(jìn)一步計(jì)算回歸統(tǒng)計(jì)(tngj)數(shù)：n (115)n三、冪函數(shù)曲線方程 的配置n (116) axxyeaxbyaSSSPbln ln/baxy baxy 第十六頁，共36頁。n當(dāng) y 和 x 都大于0時可線性化為：n (117)n若令 ， ，即有線性回歸方程：n (118) n 若線性相關(guān)系數(shù)(xsh)：n (119)xbaylnlnlnyylnxxlnxbaylnxyxyxySSS

7、SSPr第十七頁，共36頁。n顯著(xinzh)，回歸統(tǒng)計(jì)數(shù)：n (1110) n四、Logistic曲線方程的配置n （a、b、k均0） (1111) axxyeaxbyaSSSPbln ln/bxaeky1第十八頁，共36頁。nK 可由兩種方法估計(jì)：n 如果y是累積頻率，則顯然k=100%；n 如果y是生長量或繁殖量，則可取(kq)3對觀察值 （x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入(1111) n 得：)()()(321111321bxbxbxaekyaekyaeky第十九頁，共36頁。n若令 ，解得：n移項(xiàng)(y xin)，取自然對數(shù)得： n 2/ )(312xxx3122

8、3213122)(yyyyyyyyyk2bxayykln)ln( (1113)(1112)第二十頁，共36頁。n令 ，可得直線回歸方程：n (1114)n 和 x 的相關(guān)系數(shù)： n (1115) n回歸統(tǒng)計(jì)(tngj)數(shù) a 和 b 由下式估計(jì)：)ln(yykybxaylnyxyrxyxySSSSSP第二十一頁，共36頁。 axxyeaxbyaSSSPblnln/(1116)第二十二頁，共36頁。第三節(jié) 多項(xiàng)式回歸(hugu)n 一、多項(xiàng)式回歸方程n 二、多項(xiàng)式回歸的假設(shè)(jish)測驗(yàn)第二十三頁，共36頁。一、多項(xiàng)式回歸方程n(一) 多項(xiàng)式回歸(hugu)方程式n多項(xiàng)式回歸(hugu)(po

9、lynomial regression)：當(dāng)兩個變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時，可以使用多項(xiàng)式去逼近。n二次多項(xiàng)式，其方程為：n (1117) 2212xbxbay第二十四頁，共36頁。n 三次(sn c)多項(xiàng)式的方程式為： n (1118) 332213xbxbxbay第二十五頁，共36頁。n多項(xiàng)式方程的一般形式為： n (1119) n(二)多項(xiàng)式方程次數(shù)的初步確定n多項(xiàng)式回歸方程取的次數(shù)：散點(diǎn)所表現(xiàn)的曲線(qxin)趨勢的峰數(shù)谷數(shù)。若散點(diǎn)波動較大或峰谷兩側(cè)不對稱，可再高一次。kkkxbxbxbay221第二十六頁，共36頁。n(三)多項(xiàng)式回歸(hugu)統(tǒng)計(jì)數(shù)的計(jì)算n可采用類似于多元線性回歸

10、(hugu)的方法求解多項(xiàng)式回歸(hugu)的統(tǒng)計(jì)數(shù)。n令 ， ， ，(1119)可化為：n (1120) xx 122xx kkxx kkkxbxbxbay2211第二十七頁，共36頁。n可采用矩陣方法(fngf)求解。即由n和knnnkkknnnkkxxxxxxxxxxxxxxxxxx121112212121121111212221212111111111Xnyyy21Y第二十八頁，共36頁。n求得 、 和( )-1，并由n b=( )-1( )獲得相應(yīng)的多項(xiàng)式回歸統(tǒng)計(jì)(tngj)數(shù)。n(四) 多項(xiàng)式回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤n y 的總平方和 SSy 可分解為回歸和離回歸兩部分： n SSy=

11、Uk+QkXX YX XX XX YX (1121)第二十九頁，共36頁。 k 次多項(xiàng)式的離回歸標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)誤可定義為： 即是多項(xiàng)式回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)誤。 kykkyQSSnUQnSS/)(/)(22Y1YXbYXbYYY1YY1)(，/knQskxxxyk2(1122)(1123) 第三十頁，共36頁。n二、多項(xiàng)式回歸的假設(shè)測驗(yàn)n多項(xiàng)式回歸的假設(shè)測驗(yàn)包括三項(xiàng)內(nèi)容：n總的多項(xiàng)式回歸關(guān)系是否成立？n能否以k-1次多項(xiàng)式代替k次多項(xiàng)式，即是否有必要配到k次式？n在一個k次多項(xiàng)式中，X 的一次分量項(xiàng)、二次分量項(xiàng)、k-1次分量項(xiàng)能否被略去(相應(yīng)的自由度和平方和并入(bn r)誤

12、差)？ 第三十一頁，共36頁。n(一)多項(xiàng)式回歸關(guān)系的假設(shè)測驗(yàn)(cyn)n多項(xiàng)式回歸(Uk)由X的各次分量項(xiàng)的不同所引起，具有： 。n離回歸(Qk)：與X 的不同無，具有 。n n可測驗(yàn)(cyn)多項(xiàng)式回歸關(guān)系的真實(shí)性。 k)1(kn1)(knQkUFkk/(1124)第三十二頁，共36頁。n相關(guān)指數(shù)： ，k 次多項(xiàng)式的回歸平方 n 和占Y總平方和的比率(bl)的平方根值，可用來表示Y與X的多項(xiàng)式的相關(guān)密切程度。n n決定系數(shù)：在Y 的總變異中，可由X 的k 次多項(xiàng)式說明的部分所占的比率(bl)。kxxxyR，2ykxxxySSURk/2，(1125)第三十三頁，共36頁。n(二) k 次多項(xiàng)式必要性的假設(shè)測驗(yàn)n若k次多項(xiàng)式的k次項(xiàng)不顯著，可由（k-1）次方程描述Y 與X 的曲線關(guān)系。 n有必要測驗(yàn)多項(xiàng)式增加一次所用(su yn)去的1個自由度，對于離回歸平方和的減少(或回歸平方和的增加)是否“合