基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

1、內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 i目目 錄錄1 引言 .12 數(shù)字濾波器概述 .22.1 數(shù)字濾波器的基本概念 .22.2 數(shù)字濾波器的發(fā)展概況 .22.3 數(shù)字濾波器的分類 .32.4 數(shù)字濾波器的設(shè)計 .42.4.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法 .42.4.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟 .42.4.3 數(shù)字濾波器的性能要求 .53 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計.73.1 IIR 數(shù)字濾波器簡介.73.2 IIR 數(shù)字濾波器主要技術(shù)指標.73.3 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法.83.3.1 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計方法簡述.83.3.2 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器.92.3.3 雙線性變換法設(shè)計

2、IIR 數(shù)字濾波器.104 IIR 數(shù)字濾波器的 MATLAB 實現(xiàn).144.1 MATLAB 簡介.144.2 IIR 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計法.144.2.1 IIR 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計法的一般步驟.144.2.2 利用典型設(shè)計法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器.144.3 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法.184.3.1 方法概述 .184.3.2 利用直接設(shè)計發(fā)設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器.184.4 FDATool 設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器.214.4.1 FDATool 工具箱的介紹及使用.214.4.2 利用 FDATool 設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器.214.5 SIMULINK 仿真 IIR

3、 數(shù)字濾波器.23內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 ii4.5.1 SIMULINK 仿真概述.234.5.2 SIMULINK 仿真實例.244.6 本章總結(jié) .25參考文獻 .26致謝 .27內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 iii摘 要 隨著信息時代的不斷發(fā)展，信號的處理顯得越來越重要。由于大部分信號中都含有其它噪音，因此大多的信號分析都是在濾波器的基礎(chǔ)之上進行研究的，而數(shù)字濾波器的濾波過程是通過算法來實現(xiàn)的，而且能實現(xiàn)模擬濾波器不能完成的特殊功能。根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，數(shù)字濾波器可分為 IIR 數(shù)字濾波器和 FIR 數(shù)字濾波器兩類。其中 IIR 數(shù)字濾波器具有低階次、高效率、占用存儲單元少、并

4、且對模擬濾波器的部分優(yōu)良特性還可以有所保留的特點，所以它在諸多方面都有比較廣泛的應(yīng)用。本文先對數(shù)字濾波器的發(fā)展背景、概念、類別和設(shè)計性能的要求進行了簡要的敘述。其次又介紹了兩種 IIR 數(shù)字濾波器常見的設(shè)計方法，然后進一步通過 MATLAB 編程的方式來實現(xiàn)了具體的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計，再通過 FDATool 工具箱以直接填入預(yù)設(shè)濾波器參數(shù)的方式快速得到了所需的 IIR 數(shù)字濾波器。最后通過在 Simulink 中導(dǎo)入FDATool 所設(shè)定濾波器的方式進行了整個濾波過程的仿真。 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：IIR 數(shù)字濾波器；MATLAB；FDATool；Simulink內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 i

5、vAbstractSignal processing is becoming more and more important with the continuous development of the information age . Since most of the signal contain other noise, the signal analysis are studied based on the filter, and the filtering process of digital filter is achieved by the algorithm, and can

6、 realize the analog filter can not be completed special function. According to its time-domain impulse response function characteristics, the digital filter can be divided into IIR digital filters and FIR digital filter.IIR digital filter which has low times,high efficiency,taking up less memory uni

7、t, and is part of the excellent characteristics of the analog filter can also have reservations about the characteristics, so in many respects it has a relatively wide range of applications. This paper are briefly described about the background, concepts,categories,and design performance requirement

8、s of the digital filter at first. And secondly describes two design method about IIR digital filter, and then further to achieve a specific IIR digital filter through MATLAB,then quickly get the required IIR digital filter by fill the predetermined parameters into FDATool. Finally, to complete the w

9、hole filtering simulation process in Simulink by importing setting data of the FDATool into Simulink.Key words: IIR; digital filter; MATLAB; FDATool; Simulink內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 v 內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 11 引言隨著科學(xué)技術(shù)的進步和經(jīng)濟的不斷發(fā)展，人們對信息的需求量越來越大，而數(shù)字信號處理作為與之聯(lián)系非常緊密的一門學(xué)科，因此也顯得越來越重要。目前，在圖像語音、工業(yè)制造、醫(yī)療、軍事、航空航天等多個技術(shù)領(lǐng)域都大量的涉及到了數(shù)字信號

10、的處理。數(shù)字信號處理中一個非常重要的技術(shù)就是數(shù)字濾波。所謂數(shù)字濾波，就是指輸入的數(shù)字信號經(jīng)過某些特定的數(shù)字運算關(guān)系之后轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號輸出的一個過程。這個過程當(dāng)中，所謂的特定運算關(guān)系通俗來講就是對有用的信號起到一個加強的作用，而對其余沒用的信號（比如干擾信號）起一個削弱的作用。根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，數(shù)字濾波器可分為 IIR 數(shù)字濾波器和 FIR 數(shù)字濾波器兩類。相對于 FIR 數(shù)字濾波器，IIR 數(shù)字濾波器雖然存在相位的非線性問題，但在相同的性能指標下，實現(xiàn) IIR 數(shù)字濾波器的階次更低，因此在相位要求不高的時候，對于同一性能指標使用 IIR 數(shù)字濾波器可以占用更小的存儲單元，而且工作量

11、也較小，因而具有更好的經(jīng)濟效益和更大的應(yīng)用范圍。MATLAB 是 mathworks 公司（美國）發(fā)布的主要針對算法開發(fā)、科學(xué)計算、數(shù)據(jù)可視化與數(shù)據(jù)分析以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境，MATLAB 即矩陣實驗室的英文縮寫，它通過在一個操作簡便的視窗環(huán)境中集成了矩陣運算、動態(tài)系統(tǒng)的建模與仿真、數(shù)據(jù)分析等很多強大的功能，使得眾多領(lǐng)域的專業(yè)問題也能在它的幫助下得以簡化和解決，可以說 MATLAB 在現(xiàn)今眾多的計算軟件當(dāng)中有著舉足輕重的地位。通過 MATLAB來設(shè)計各種常見濾波器，不僅操作直觀快速，可以去繁雜的編程過程，而且還能夠更加直觀的對相應(yīng)參數(shù)作出調(diào)整，從而更深入的了解濾波器的特性，同時也可

12、以將設(shè)計的濾波器導(dǎo)入 Simulink 進行仿真，讓我們以更高的效率得到想要的結(jié)果。因此我們有必要在工作原理及優(yōu)化方法等方面對濾波器進行更深入的研究，設(shè)計并研發(fā)性能更加優(yōu)良的濾波器系統(tǒng)，這不僅能為其它相關(guān)領(lǐng)域提供必要的技術(shù)支持，而且還具有很重要的現(xiàn)實意義。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 22 數(shù)字濾波器概述2.1 數(shù)字濾波器的基本概念濾波器的本質(zhì)就是對輸入的信號通過特定運算處理之后對頻率起到一個選擇作用的電路。它能夠讓不需要的頻率成分（比如干擾信號）被大幅削弱，而讓特定成分的頻率無障礙通過。數(shù)字濾波器其實就是一種算法，使輸入的數(shù)字離散信號通過特定的數(shù)字運算和處理后，按照預(yù)定的要求保留和過濾相應(yīng)的頻率

13、成分，再輸出所需的數(shù)字信號。與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器具有諸多優(yōu)點，因而更加實用。差分方程和卷積可用來給數(shù)字濾波器系統(tǒng)提供相應(yīng)的運算和處理規(guī)則，描述輸入與輸出信號的關(guān)系，使濾波器按照這樣的運算規(guī)則處理輸入的數(shù)字信號。時域離散系統(tǒng)的頻域特性如下： （1）(e)X(e)H(e)jjjY上式中為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)，為數(shù)字濾波器的輸入信號的頻譜特(e)jH(e)jX性，為輸出信號的頻譜特性。是由 通過濾波變換后得到的1。(e)jY(e)(e)jjXH(e)jX因此，要想得到滿足性能要求的濾波器，必須根據(jù)輸入信號的頻譜特點和信號處理的方向，確定適當(dāng)?shù)?，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。(e)jH2.2 數(shù)

14、字濾波器的發(fā)展概況雖然最初的數(shù)字濾波器在某些技術(shù)領(lǐng)域得到了一些應(yīng)用，但由于當(dāng)時科技水平的受限以及各種條件的束縛，使得數(shù)字濾波器的發(fā)展停滯不前。隨著上個世紀中后期科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)字信號處理開始與各種新興的技術(shù)和產(chǎn)業(yè)相結(jié)合，計算機輔助設(shè)計的方法也得到了應(yīng)用。通常來講，通過典型設(shè)計的方法來實現(xiàn)數(shù)字濾波，因為不同頻帶間幅度響應(yīng)是突變的，因此實現(xiàn)起來比較困難，而要實現(xiàn)時域或者是頻域的最優(yōu)逼近，我們則可以采用計算機輔助設(shè)計的方法。這樣，數(shù)字濾波器所能研究內(nèi)容更加多樣，應(yīng)用范圍也更為廣泛。 由于科學(xué)技術(shù)的不斷進步，原有的模擬信號處理中的分立元件逐步被大規(guī)模甚至是超大規(guī)模集成電路和電子計算機的廣泛應(yīng)用所

15、替換，同時也證實了數(shù)字技術(shù)與計算機技內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 3術(shù)相結(jié)合的必要性以及優(yōu)越性。特別是隨著微機技術(shù)與位處理器的蓬勃發(fā)展，更加能促使各種數(shù)字設(shè)備朝著智能化、小型化以及人性化的好的方向發(fā)展。目前，包括數(shù)字濾波在內(nèi)的各種數(shù)字技術(shù)正已快速的步伐向前發(fā)展，同時也能不斷滿足我們的生活需要，提高人們生活水平的幸福指數(shù)。2.3 數(shù)字濾波器的分類按照其信號頻段的不同，數(shù)字濾波器可以分為：高通濾波器、帶通濾波器、低通濾波器和帶阻濾波器2。其各自幅頻特性如圖（1）所示。低通濾波器容許低頻段的信號或直流分量通過，高頻段被抑制；高通濾波器抑制直流或低頻分量，容許高頻段信號通過；帶通濾波器只允許某一個頻率段的

16、信號通過，頻率段之外的其余頻率的信號被抑制；帶阻濾波器抑制某一頻率段的信號，而頻率段之外的信號允許通過。圖圖1 各種理想濾波器的幅頻特性各種理想濾波器的幅頻特性根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，數(shù)字濾波器可分為： IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器3。IIR數(shù)字濾波器的特點是：不能夠得到嚴格的線性相位，設(shè)計時有現(xiàn)成的模型和公式，在設(shè)計相同階數(shù)的濾波器時會取得更好的濾波效果，因此在相位要求不高的情況下具有更大的經(jīng)濟效益。 內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 42.4 數(shù)字濾波器的設(shè)計2.4.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法數(shù)字濾波器是一個處理離散信號的離散系統(tǒng)。一個數(shù)字濾波器可用系統(tǒng)函數(shù)表示為： （2）01( )

17、( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z直接公式（2）可得出表示輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程： （3）01(n)(n i)(n i)NNiiiiya xb y由公式（3）可以知道，一個數(shù)字濾波器是由三類基本運算單元組成的，包括乘法器、加法器和延時器4。我們可以通過方框圖和信號流圖這兩種不同的方法來表示這些基本運算單元，因而也可以用這兩種方法來表示示波器的結(jié)構(gòu)。如圖（2）所示。用方框圖表示（見圖 2 左）比較直觀和形象，而用信號流圖表示（見圖 2 右）則更加簡便快捷。單位延時相加1zaa方框圖表示法信號流圖表示法乘常數(shù)圖圖2 基本運算的方框圖表示及流圖表示基本運算的方框圖

18、表示及流圖表示1z內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 52.4.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計四個步驟: （1）按要求確定濾波器的性能參數(shù)；（2）通過一個離散的因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)函數(shù)去無限逼近預(yù)定的性能參數(shù)； （3）通過確定適當(dāng)?shù)倪\算結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)處理方式及恰當(dāng)?shù)淖珠L去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)；（4）通過計算機軟、硬件的方法或者是相應(yīng)配套工具去完成數(shù)字濾波器的設(shè)計。2.4.3 數(shù)字濾波器的性能要求 選頻濾波器的頻率響應(yīng)為： （4）()(e)(e)jjjHHe上式中，、分別為濾波器的相頻響應(yīng)和幅頻響應(yīng)。反映的是濾波器的( )(e)jH( )延時情況，而則反映的是衰減情況。(e)jH通常情況下，一般利用

19、幅頻特性的容許誤差來反映濾波器的性能。以低通濾波器為例，如下圖(圖3)所示()()()jjjjH eH ee內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 6圖圖 3 理想低通濾波器逼近的誤差容限理想低通濾波器逼近的誤差容限在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)所允許的誤差應(yīng)在 0的范圍內(nèi)波動，即1 , （5）11(e)1jHp在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)所允許的誤差應(yīng)在 0的范圍內(nèi)波動，即2 , （6）2(e)jHs其中，、分別是通帶和阻帶的數(shù)字域截止頻率。ps雖然給出了和，但在具體設(shè)計濾波器時所給定的技術(shù)指標中還大量涉及到這兩12個參量4：通帶最大衰減和阻帶最小衰減。，的定義分別為psps （7）201(e )10lg20lg(e)20lg

20、(1)(e)ppjjpjHHH （8）202(e )10lg20lg(e)20lg(e)ssjjsjHHH 式中，假設(shè)已被歸一化了。例如，在處滿足，則0(e )jH(e)jHp(e)0.707pjH；在處滿足，則。3pdB(e)0.001sjH60sdB當(dāng)然，亦可以給定時域響應(yīng)的逼近要求或者是相位的逼近要求。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 7內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 83 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計3.1 IIR 數(shù)字濾波器簡介現(xiàn)今，數(shù)字濾波作為一門極其重要的技術(shù)在眾多的領(lǐng)域都得以廣泛的應(yīng)用，因而數(shù)字濾波器同樣在這些領(lǐng)域中有著舉足輕重的地位。IIR數(shù)字濾波器具有如下特點：（1）IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函

21、數(shù)能夠?qū)懗煞忾]函數(shù)的形式。 （2）IIR數(shù)字濾波器由于結(jié)構(gòu)（存在反饋環(huán)路）和運算方法上的特殊性，誤差被逐漸放大，因此某些時候會出現(xiàn)微弱的寄生震蕩。（3）IIR 數(shù)字濾波器在由于在設(shè)計時能夠借助已有的模擬原型濾波器，且有現(xiàn)成的公式和圖表可查。因此設(shè)計的工作量比較小且對軟硬件的要求不高。（4）IIR 數(shù)字濾波器難以得到嚴格的線性相位，對相位有較高要求的時候，需加相位校準器件，增加了結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。 3.2 IIR 數(shù)字濾波器主要技術(shù)指標對于數(shù)字濾波器的設(shè)計，都應(yīng)該最先明確數(shù)字濾波器的性能要求及參數(shù)指標，然后把數(shù)字指標轉(zhuǎn)化為相應(yīng)模擬濾波器的參數(shù)指標，最后再將模擬濾波器通過一定的映射關(guān)系轉(zhuǎn)換為所需的數(shù)字

22、濾波器。數(shù)字濾波器的主要指標為：（1）頻率特征參數(shù)通帶截止頻率，位于過渡帶與通帶的邊界點。阻帶截止頻率/ 2ppf，位于過渡帶與阻帶的邊界點。轉(zhuǎn)折頻率，即信號功率衰減到/2rrf/2ccf約為 3時的頻率。dB（2）增益和衰減濾波器的增益在通帶內(nèi)并不是定值。對于帶通、低通和高通濾波器，通帶增益通常都是其角頻率趨于某一特定值時的增益。帶阻濾波器的衰減為增益的倒數(shù)。（3）阻尼系數(shù)與品質(zhì)因數(shù)阻尼系數(shù)是表示濾波器中能量衰減的重要指標，用來表征角頻率為的信號受濾內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 9波器的阻尼作用。品質(zhì)因數(shù)為的倒數(shù)。Q（4）靈敏度濾波電路由多種不同原件組成，各個原件參數(shù)的變動都會對濾波器性能產(chǎn)生影

23、響。當(dāng)濾波器的某一個性能指標對另一個性能指標變動的靈敏度定義為，即yxyxs （9）yxdy ysdx x此處的靈敏度與電路容錯限度和穩(wěn)定性成反比關(guān)系。3.3 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法3.3.1 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計方法簡述現(xiàn)階段設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器最常見的方法就是通過模擬原型濾波器的方法來進行設(shè)計，這種方法不僅方便快速，而且技術(shù)也比較成熟。IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟如下：（1）把數(shù)字濾波器的參數(shù)指標通過特定的規(guī)則變換為模擬濾波器的參數(shù)指標；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器；(s)H（3）如設(shè)計的是數(shù)字低通濾波器，則直接將經(jīng)過特定的規(guī)則變換為即可。(s)HH(z)如果設(shè)

24、計的是其余三類數(shù)字濾波器，則還需要將之轉(zhuǎn)換為低通濾波器的參數(shù)指標，再按第（2）步完成相應(yīng)低通模擬濾波器的設(shè)計，最后轉(zhuǎn)換為。見（圖 4） (s)HH(z)模擬濾波器技術(shù)指標數(shù)字濾波器技術(shù)指標數(shù)字濾波器(z)H模擬濾波器(s)aH模擬濾波器設(shè)計方法g( ) (Z)Sf圖圖 4 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟流程圖數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟流程圖內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 103.3.2 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器（1）設(shè)計原理脈沖響應(yīng)不變法就是對模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)進行等間隔抽樣，使模仿(n)h，且恰好等于的采樣值4。滿足=，其中 T 是采樣周期。 (t)ah(n)h(t)ahh(n)(nT

25、)ah若設(shè)定是的拉普拉斯變換，為的 Z 變換，通過模擬信號的拉普(s)aH(t)ah(z)H(n)h拉斯變換與采樣序列的 z 變換關(guān)系可得： （10）12(z)|(sk)sTaz ekHHjTT通過上式可知，脈沖響應(yīng)不變法簡單來說就是將 平面映射到了平面。即 s 平szsTze面到 z 平面的標準映射關(guān)系式。如圖（5）所示j3/ T/ T-3/ T-/ Too-11jImzRezZS圖圖 5 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系由公式（10）知，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)所對應(yīng)的關(guān)系式為 （11）12(e)(j)jakkHHTT通過上式不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)字濾波器的頻響與模

26、擬濾波器的頻響存在一個周期延拓的關(guān)系。如同我們對采樣定理的認識一樣，僅有在頻響限帶且在折疊頻率范圍內(nèi)的時候，即 （12）(j)0aH 22s 內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 11才可以使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而不呈現(xiàn)混疊失真的現(xiàn)象，即 （13）1(e)(j)jaHHTT然而，現(xiàn)實當(dāng)中的模擬濾波器除了通帶和阻帶之外，都還有一個過渡帶，也就是說一般不會出現(xiàn)嚴格限帶的情況，因此會出現(xiàn)混疊失真。如圖（6）所示，此時數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)就與原模擬濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生了差異，而出現(xiàn)了一定的混疊失真。通過圖（6）還可以看出，可以通過增大采樣頻率的方法來避免這一混疊失真現(xiàn)象。sf-3-2

27、-)j (aHoo-23T)(ejHT2TTT2-圖圖 6 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象（2）脈沖響應(yīng)不變法的特點 通過上述討論我們已經(jīng)知道，這種映射方法最大的缺陷就是頻響會出現(xiàn)混疊失真。因此僅有在模擬濾波器是限帶的情況時，采用脈沖響應(yīng)不變法才會比較合適，而其余情況利用該方法設(shè)計濾波器一般都不是最優(yōu)選擇。脈沖響應(yīng)不變法由于其設(shè)計方法的原因，使得時域逼近性能效果很好，且還與呈現(xiàn)出線性關(guān)系，即。所以線性相位T 的模擬濾波器通過這種方法變換后也能得到線性相位的數(shù)字濾波器。2.3.3 雙線性變換法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器（1）設(shè)計原理內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 12雙線性

28、變換法為避免出現(xiàn) 到的多值變換。通過壓縮頻率的方式將整個 平面的szs頻率壓縮到了平面的一條橫帶中（） 。然后進一步利用把所得到的橫1sTT1s tze帶映射到平面上去。通過這樣的變換方法后，由于在 與建立了單值映射的關(guān)系，zsz因此也就避免了頻響混疊失真的出現(xiàn)。 、間映射關(guān)系如圖（7）所示。s1sz為實現(xiàn)的變換過程，可利用以下變換關(guān)系：1ss （14）12tan()2TT 上式中,仍是采樣間隔。當(dāng)按變化時，的變化軌跡T10TT（）恰好遍及整個軸。可將上式寫成0 j （15）111/2/2/2/22jTj TjTjTeejT ee 把式（15）延拓到整個 和平面，令，可得 s1sjs 11js

29、 （16）111111/2/21/2/2222 1()()21s Ts Ts ts Ts Ts tsTeeesthT eeTTe再將平面利用以下映射關(guān)系變換到平面1sz （17）1s tze可以得到 與間的單值運算關(guān)系sz （18）112 11zsTz （19）212212TssTzTssT式（18）與式（19）是 與間的單值運算關(guān)系，這就是雙線性變換。 sz式（18）與式（19）的映射關(guān)系確實與變換應(yīng)滿足的條件相符合。即首先,把代入式（16）可得jze （20）2 12tan()j12jjesjTeT 即把 的對應(yīng)于平面的單位圓。再將代入式（19） ，得sjzsj 22jTzjT （21）因

30、而得到 22222()2()TzT（22）內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 13由此看出，當(dāng)時，；當(dāng)時，。即 的左半平面對應(yīng)于的單位圓01z 01z sz內(nèi)， 的虛軸對應(yīng)于的單位圓上，而 的右半平面對應(yīng)于的單位圓外。所以通過雙線szsz性變換后不會改變?yōu)V波器的穩(wěn)定性。（2）雙線性變換法的特點與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換法因為避免了 與之間多值映射，所以它最sz大的好處就在于不會出現(xiàn)頻響的混疊失真。通過以上論述，與間的關(guān)系可重寫如下： （23）2tan()2T 通過可以發(fā)現(xiàn)，與呈非線性的正切關(guān)系，見圖（8）所示?？梢灾?，在（或者是）的時候，與近似于線性關(guān)系。但不論怎樣變化，所對應(yīng)0 0數(shù)字域的角頻

31、率始終不會超過，也就是說通過這種方式避免了頻響的混疊失真4。o-11ZjImzRez/ Tj11-/ TS1Sjoo圖圖 7 雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 14圖圖 8 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系雙線性變換法的頻率變換關(guān)系通過圖（8）還可以看到，這種方法雖然避免了頻響的混疊現(xiàn)象，但頻率間的線性關(guān)系卻收到了嚴重影響5。這也就致使了頻響為非分段常數(shù)型的模擬濾波器通過這樣的變化后的頻響會出現(xiàn)畸變，如圖（9）所示ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH圖圖 9 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雖

32、然分段常數(shù)型濾波器可以采用這種變換方法，但是變換之后每個分段的邊界頻率還是會產(chǎn)生一定的畸變，這就需要我們事先通過對模擬頻率的預(yù)畸變來加以修正，使變換后的頻率剛好是我們所需的頻率。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 154 IIR 數(shù)字濾波器的 MATLAB 實現(xiàn)4.1 MATLAB 簡介MATLAB 是由美國新墨西哥州的 mathworks 公司開發(fā)的是一款功能非常強大的數(shù)學(xué)軟件。mathworks 公司成立于上個世紀 80 年代，通過 10 年的迅速成長，到上個世紀90 年代，它所開發(fā)的 MATLAB 軟件已在全球同類軟件中占有非常重要的地位，主要適用于各類建模仿真以及各類運算等方面。MATLAB 的

33、應(yīng)用覆蓋到眾多的科學(xué)領(lǐng)域。而且它附加的工具箱功能非常強大，不僅拓寬了 MATLAB 的應(yīng)用范圍，也解決了諸多領(lǐng)域內(nèi)的專業(yè)難題。 4.2 IIR 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計法4.2.1 IIR 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計法的一般步驟（1）根據(jù)所設(shè)定濾波器類型和設(shè)計方法的差異，首先對濾波器性能指標中的頻率指標（數(shù)字截止頻率）進行變換，得到模擬頻率指標，然后將它作為模擬濾波器原型設(shè)計的參數(shù)指標；（2）設(shè)計原型低通模擬濾波器；（3）將所設(shè)計的原型濾波器變換為各類模擬濾波器；（4）將所設(shè)計的模擬濾波器通過離散化處理得到 IIR 數(shù)字濾波器。在 IIR 濾波器設(shè)計的過程中，通常給出數(shù)字和模擬兩類設(shè)計指標。需要注意的是

34、， MATLAB 工具函數(shù)一般采用歸一化頻率，和的取值范圍為，所以要對數(shù)字ps01:頻率進行轉(zhuǎn)換。4.2.2 利用典型設(shè)計法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計要求：利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個低通數(shù)字濾波器，讓其特性逼Butterworth近一個模擬濾波器的如下參數(shù)指標。通帶截止頻率，通Butterworth21800/prad s 帶允許最大波紋；阻帶邊界頻率為,阻帶最小衰減2pRdB23500/srad s 內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 16；采樣頻率。若輸入信號為,其中18sRdB20000sFHz12(t)sin20.6cos2xf tf t，。試對比原信號與濾波處理后的輸出信號。11200fHz

35、24800fHz首先介紹下這里可能涉及到的幾種函數(shù)的調(diào)用方式：（1）Z, P, K = buttap(N)設(shè)計模擬低通原型濾波器。為濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零點，為極點，ButterworthZP為濾波器增益。K（2）N ,Wc = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs， s)計算模擬濾波器的階數(shù)以及截止頻率。、和為實際ButterworthN3dBcpsc角頻率。 （3）B, A = butter(N, Wc, ftype)計算階數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母系數(shù)向量。NButterworth（4）B, A = butter(N, Wc, ftype， s)計算階模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分

36、母系數(shù)向量。NButterworth其設(shè)計程序如下：Wp=1800*2*pi ;Ws=3500*2*pi; %濾波器截止頻率Rp=2;Rs=18; %通帶波紋和阻帶衰減Fs=20000; %采樣頻率 Nn=128; %調(diào)用 freqz 所用的頻率點數(shù)N, Wn =buttord (Wp,Ws,Rp, Rs,s);%計算模擬濾波器的最小階數(shù) z,p,k =buttap (N) ;Bap, Aap=zp2tf (z, p,k); %將系統(tǒng)函數(shù)由零點極點形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式b, a=lp2lp (Bap, Aap, Wn) ; %進行頻率轉(zhuǎn)換bz, az =impinvar (b, a, Fs)

37、; %運用脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)figure (1)H, f=freqz (bz, az, Nn, Fs) ; %求解數(shù)字濾波器的幅頻特性和相頻特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅/dB);grid on; subplot (2,1,2),plot(f, 180/pi*unwrap(angle(H)內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 17xlabel(頻率/Hz);ylabel(相位/o);grid on;figure (2)f1=1200 ;f2=4800; %輸入信號的頻率 N=100; %數(shù)據(jù)長

38、度dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt;%采樣間隔和時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.6*cos(2*pi*f2*t); subplot(2,1,1);plot(t,x);title(輸入信號) y=filtfilt(bz,az,x) ;y1=filter(bz,az,x) ; subplot(2,1,2)plot(t,y,t,y1,r:)title (輸出信號),xlabel (時間 /s)legend ( filtfilt, filter);程序的運行結(jié)果如圖（10）和圖（11）所示。由圖（10）可知，在小于處1800Hz的衰減小于,而大于處衰減大于,符合設(shè)計要求。濾波

39、器對含有2dB3500Hz18dB和頻率成分的信號進行了濾波，濾除了的信號。由圖（11）還1200Hz4800Hz4800Hz可以看出，利用 filtfilt 函數(shù),輸出的信號（藍色實線）與輸入的信號相位1200Hz1200Hz一致。而運用 filter 函數(shù)濾波后（紅色虛線）有一些延遲，改變了信號的形狀。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 18010002000300040005000600070008000900010000-60-40-20020一 一 /Hz一 一 /dB010002000300040005000600070008000900010000-400-300-200-1000一 一

40、/Hz一 一 /o圖圖 10 設(shè)計濾波器的頻率特性設(shè)計濾波器的頻率特性 幅頻特性幅頻特性(上上)相頻特性相頻特性(下下)00.511.522.533.544.55x 10-3-2-1012一 一 一 一00.511.522.533.544.55x 10-3-1012一 一 一 一一 一 /s filtfiltfilter圖圖 11 濾波器的輸入和輸出信號濾波器的輸入和輸出信號內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 194.3 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法4.3.1 方法概述由于經(jīng)典設(shè)計法實用性較小，僅對四類常見的濾波器較為實用，而對于一般形狀的濾波器設(shè)計是無法實現(xiàn)的。所以當(dāng)設(shè)計的 IIR 濾波器頻響較為復(fù)

41、雜時，我們可使設(shè)計濾波器的頻率特性通過最小二乘法來逼近預(yù)想的頻率特性來完成濾波器的設(shè)計，這種方法稱為 IIR 濾波器的直接設(shè)計法6。通過直接設(shè)計法的設(shè)計函數(shù)為： （24）b,ayulewalk(n,f,m)這里，為濾波器的階數(shù)，為給定的歸一化頻率點向量，取值為，的第一nf01:f個頻率點必須是 0,最后一個頻率點必須為 1。其中 1 對應(yīng)于 Nyquist 頻率。在使用濾波器時，根據(jù)數(shù)據(jù)釆樣頻率確定數(shù)字濾波器的通帶和阻帶在對此信號濾波的頻率范圍。必須是遞增的。為與相對應(yīng)的理想幅值響應(yīng)向量，且必須與有同樣的維數(shù)。fmff和分別是所設(shè)計濾波器的分子和分母向量。下式為 IIR 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的形

42、式ba （25）11(z)(1)b(2)z(n 1)z(z)(z)(1)a(2)z(m 1)znmBbbHAaa4.3.2 利用直接設(shè)計發(fā)設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計要求：用直接法設(shè)計一個 15 階的幅頻響應(yīng)值如下的多頻帶數(shù)字濾波器， ,。假設(shè)一個信號0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1f 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1m ，其中，。試對比原信號與濾波處理后12(t)sin20.6cos2xf tf t15fHz218fHz的輸出信號。其設(shè)計程序如下： Order=15; %濾波器的階數(shù)f=0:0.1:1; %歸一化頻率點m=1 1 1 1

43、 0 0 1 1 1 0 1; %幅度點b, a=yulewalk(Order,f,m);%設(shè)計濾波器內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 20h, w=freqz(b, a, 128) ; %計算 128 個點的頻率特性figure (1)plot(f,m,b-,w/pi,abs(h),r:) %繪制理想濾波器和設(shè)計濾波器的幅頻特性xlabel ( 歸一化頻率 );ylabel(振幅);title(利用 yulewalk 方法設(shè)計 IIR 濾波器);legend (理想特性,實際設(shè)計,1) ; %給定圖例 figure (2)Fs =50; %信號釆樣頻率fl=5;f2=18; %信號的頻率成分N=10

44、0; %數(shù)據(jù)點數(shù)dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt; %時間序列 x=sin(2*pi*fl*t)+0.6*cos (2*pi*f2*t) ; %輸入信號 subplot (2,1,1),plot(t,x),title(輸入信號) y=filtfilt (b, a, x) ; %對信號進行濾波subplot (2,1,2), plot (t, y) %繪制輸出信號xlabel(時間/s);title(輸出信號)程序運行結(jié)果見圖（12）和圖（13） 。由圖（12）可見，設(shè)計濾波器的幅頻響應(yīng)與理想濾波器的頻率響應(yīng)非常接近。當(dāng)濾波器輸入 5Hz 和 18Hz 的以 50Hz 采樣頻率采樣的

45、信號后，輸入信號的歸一化頻率分別為 5/(50/2)=0.21和 18/(50/2)=0.75，由圖（12）可見，0.2 和 0.75 均在通帶范圍內(nèi)，因此這兩個頻率的信號能夠無障礙地通過該數(shù)字濾波器，輸入與輸出信號也應(yīng)該相同，圖（13）正好反映了這樣的特性。 1信號處理工具箱中經(jīng)常使用的是 nyquist 頻率，它被定義為采樣頻率的一半，在濾波器的階數(shù)選擇和設(shè)計中的截止頻率均使用 nyquist 頻率進行歸一化處理。 因此此處 nyquist 應(yīng)為 25Hz。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 2100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.4 一

46、一 一 一 一一 一一 一 yulewalk一 一 一 一 IIR一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一圖圖 12 所設(shè)計濾波器與理想濾波器的幅頻特性所設(shè)計濾波器與理想濾波器的幅頻特性00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1012一 一 一 一00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1012一 一 /s一 一 一 一圖圖 13 所設(shè)計濾波器的輸入和輸出信號所設(shè)計濾波器的輸入和輸出信號內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計 224.4 FDATool 設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器4.4.1 FDATool 工具箱的介紹及使用FDATool(Filter Design&a

47、mp;Analysis Tool)是 MATLAB 信號處理工具箱中專用于濾波器設(shè)計和分析的工具。通過 FDATool 設(shè)計濾波器不僅運用極其廣泛，且設(shè)計簡單，運用靈活。FDATool 界面由上下兩大塊組成，上半界面中包含 Current Filter Information 和Filter Specifications 兩部分，其中 Current Filter Information 為狀態(tài)欄，F(xiàn)ilter Specifications 用來顯示所設(shè)計濾波器的各種特性。下半界面為濾波器各種參數(shù)的設(shè)置。包括 Response Type(類型)、Design Method（設(shè)計方法）、Filt

48、er Order（階數(shù)）、Frequency Specifications （頻率設(shè)置）以及 Magnitude Specifications（衰減情況）。Design Method 用來確定濾波器設(shè)計的方法。Filter Order 用于設(shè)定濾波器階數(shù)。Frequency Specifications 可以設(shè)定濾波器各種不同頻率參數(shù)，比如截止頻率，采樣頻率。具體的設(shè)定由所設(shè)計濾波器的類型以及參數(shù)決定。Magnitude Specifications 能夠設(shè)定濾波器通帶和阻帶的幅值衰減情況7。 4.4.2 利用 FDATool 設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計要求：模擬切比雪夫 I 型濾波器設(shè)計數(shù)字高通濾波器，具體講述如何通過FDATool 界面來設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的方法。設(shè)計一個數(shù)字低通切比雪夫 I 型濾波器。阻帶截止頻率為，通帶截止頻率為，通帶允許最大波紋，阻帶應(yīng)達到600Hz800Hz1dB最小衰減為，。60dB2000sfHz了解設(shè)計的性能參數(shù)后，就可以在 FDATool 界面中一一設(shè)定濾波器各項參數(shù)，設(shè)定完成后，點擊 Design Filter 即可得到我們所需的濾波器，直接看到濾波器的幅頻響應(yīng)。然后通過 Analysis 選項還可看到其它參數(shù)曲線。設(shè)計完后可保存結(jié)果，封裝為highfilter.fda 文件。下圖（