實(shí)驗(yàn)五 MATLAB符號(hào)計(jì)算

1、實(shí)驗(yàn)5 MATLAB符號(hào)計(jì)算 一、目的和要求（1） 熟練掌握MATLAB符號(hào)表達(dá)式的創(chuàng)建。（2） 熟練掌握符號(hào)表達(dá)式的代數(shù)運(yùn)算。（3） 掌握符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)和替換。（4） 熟練掌握符號(hào)微積分。（5） 掌握符號(hào)積分變換。（6） 熟悉符號(hào)方程的求解。（7） 熟悉拉氏變換和z變換。二、內(nèi)容和步驟1、符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式的創(chuàng)建(1) 使用 sym( )創(chuàng)建 輸入以下命令，觀察 Workspace 中 A、B、f是什么類型的數(shù)據(jù)，占用多少字節(jié)的內(nèi)存空間。 >>A=sym('1') %符號(hào)常量 >>B=sym('x') %符號(hào)變量 >

2、>f=sym('2*x2+3*y-1') %符號(hào)表達(dá)式 >>clear >>f1=sym('1+2') %有單引號(hào)，表示字符串 >>f2=sym(1+2) %無(wú)單引號(hào) >>f3=sym('2*x+3') >>f4=sym(2*x+3) %為什么會(huì)出錯(cuò) 原因：未定義符號(hào)變量“x”>>x=1 >>f4=sym(2*x+3) 通過(guò)看 MATLAB 的幫助可知，sym( )的參數(shù)可以是字符串或數(shù)值類型，無(wú)論是哪種類型都會(huì)生成符號(hào)類型數(shù)據(jù)。 (2) 使用 syms 創(chuàng)

3、建 >>clear >>syms x y z %注意觀察x,y,z都是什么類型的，它們的內(nèi)容是什么 >>x,y,z>>f1=x2+2*x+1 >>f2=exp(y)+exp(z)2 >>f3=f1+f2 通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)，知道生成符號(hào)表達(dá)式的第二種方法：由符號(hào)類型的變量經(jīng)過(guò)運(yùn)算(加減乘除等)得到。又如： >>f1=sym('x2+y +sin(2)') >>syms x y >>f2=x2+y+sin(2) >>x=sym('2') , y=sym

4、('1') >>f3=x2+y+sin(2) >>y=sym('w') >>f4=x2+y+sin(2) 2、符號(hào)矩陣創(chuàng)建 >>syms a1 a2 a3 a4 >>A=a1 a2;a3 a4 >>A(1),A(3) 或者 >>B=sym(' b1 b2 ;b3 b4 ') >>c1=sym('sin(x) ') >>c2=sym('x2') >>c3=sym('3*y+z') &

5、gt;>c4=sym('3 ') >>C=c1 c2; c3 c4 3、自由變量的確定。使用findsym確定符號(hào)表達(dá)式的自由變量。4、用常數(shù)替換符號(hào)變量。用行向量替換，使符號(hào)對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)樾邢蛄俊６紴殡p精度型數(shù)值。5、符號(hào)算術(shù)運(yùn)算 （1）符號(hào)表達(dá)式加和減（2） 符號(hào)量相乘、相除 符號(hào)量相乘運(yùn)算和數(shù)值量相乘一樣，分成矩陣乘和數(shù)組乘。 >>a=sym(5);b=sym(7); >>c1=a*b >>c2=a/b >>a=sym(5);B=sym(3 4 5); >>C1=a*B, C2=aB >>

6、;syms a b >>A=5 a;b 3; B=2*a b;2*b a; >>C1=A*B, C2=A.*B >>C3=AB, C4=A./B （3）符號(hào)數(shù)值任意精度控制和運(yùn)算 任意精度的 VPA 運(yùn)算可以使用命令 digits(設(shè)定默認(rèn)的精度)和 vpa(對(duì)指定對(duì)象以新的精度進(jìn)行計(jì)算)來(lái)實(shí)現(xiàn)。>>a=sym('2*sqrt(5)+pi') >>b=sym(2*sqrt(5)+pi) >>digits >>vpa(a) >>digits(15) >>vpa(a) >

7、;>c1=vpa(a,56) >>c2=vpa(b,56) 注意：觀察 c1 和 c2 的數(shù)據(jù)類型，c1 和 c2 是否相等。6、符號(hào)表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換 1）求反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。 用finverse函數(shù)求、的反函數(shù)。 用compose函數(shù)求解、的復(fù)合函數(shù)。2）符號(hào)表達(dá)式與多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換。用函數(shù)sym2poly和poly2sym實(shí)現(xiàn)符號(hào)表達(dá)式與多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換。>>clear>>syms x>>f=x2+3*x+23）符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)主要包括表達(dá)式美化(pretty)、合并同類項(xiàng)(collect)、多項(xiàng)式展開(kāi)(expand)、因式分解(

8、factor)、化簡(jiǎn)(simple 或 simplify)等函數(shù)。 合并同類項(xiàng)(collect)。分別按x的同冪項(xiàng)和e指數(shù)同冪項(xiàng)合并表達(dá)式：>>syms x t; f=(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); >>f1=collect(f) >>f2=collect(f,exp(-t) 對(duì)顯示格式加以美化(pretty)。針對(duì)上例，用格式美化函數(shù)可以使顯示出的格式更符合數(shù)學(xué)書(shū)寫(xiě)習(xí)慣。>>pretty(f1) >>pretty(f2) 注意：與直接輸出的 f1 和 f2 對(duì)比。 多項(xiàng)式展開(kāi)(expand)。展開(kāi) (x-1

9、)12 成 x 不同冪次的多項(xiàng)式。 >>clear all >>syms x; >>f=(x-1)12; >>pretty(expand(f) 因式分解(factor)。將表達(dá)式 x121作因式分解。 >>clear all >> syms x; f=x12-1; >>pretty(factor(f) 化簡(jiǎn)(simple 或 simplify)。 將函數(shù) 化簡(jiǎn)。>>clear all, syms x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); >>g1=simple(f) &

10、gt;>g2=simplify(f) horner函數(shù)，給出符號(hào)表達(dá)式的嵌套形式。 horner(f) >>clear all >>syms x; >>f=(x-1)3+3*x-1; >>horner(f) 7、符號(hào)極限、符號(hào)積分與微分 (1) 求極限函數(shù)的調(diào)用格式 limit(F,x,a) %返回符號(hào)對(duì)象F當(dāng)xa時(shí)的極限 limit(F,a) %返回符號(hào)對(duì)象F當(dāng)獨(dú)立變量*a時(shí)的極限 limit(F) %返回符號(hào)對(duì)象F當(dāng)獨(dú)立變量0(a=0)時(shí)的極限 limit(F,x,a,right) %返回符號(hào)對(duì)象F當(dāng)xa時(shí)的右極限 limit(F,x,

11、a,left) %返回符號(hào)對(duì)象F當(dāng)xa時(shí)的左極限 limit(F,x,inf) %返回符號(hào)表達(dá)式F當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)的極限例：>>clear; >>syms x;  %說(shuō)明x為符號(hào)變量>>limit(sin(1/x),x,0)>>clear; >>syms n;>>limit(1+1/n)n,n,inf)(2) 求積分函數(shù)的調(diào)用格式 int(F) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分 int(F,v) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于指定變量v的不定積分 int(F,a,b) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于默認(rèn)變量的從a到b的定積分 int

12、(F,v,a,b) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于指定變量v的從a到b的定積分 (3) 求微分函數(shù)的調(diào)用格式 diff(F) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于默認(rèn)變量的微分 diff(F,v) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于指定變量v的微分 diff(F,n) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于默認(rèn)變量的n次微分，n為自然數(shù)1、2、3 diff(F, v,n) %求符號(hào)對(duì)象F關(guān)于指定變量v的n次微分 例：已知,求的微分.>> f=sym('a*x2+b*x+c') %定義函數(shù)表達(dá)式f =a*x2+b*x+c>> diff(f) %對(duì)默認(rèn)變量求一階微分ans =2*a*x+b>> diff(f,&

13、#39;a') %對(duì)符號(hào)變量求一階微分ans =x2 >> diff(f,'x',2) %對(duì)符號(hào)變量求二階微分ans =2*a>> diff(f,3) %對(duì)默認(rèn)變量求三階微分ans =08、符號(hào)級(jí)數(shù)a) symsum函數(shù)語(yǔ)法：symsum(s,x,a,b)%計(jì)算表達(dá)式s的級(jí)數(shù)和說(shuō)明：x為自變量，x省略則默認(rèn)為對(duì)自由變量求和；s為符號(hào)表達(dá)式；a,b為參數(shù)x的取值范圍?！纠壳蠹?jí)數(shù)和1+x+x2+xk+的和。syms x ks1=symsum(1/x2, 1,10) %計(jì)算級(jí)數(shù)的前10項(xiàng)和s2=symsum(1/k2,1,inf) %計(jì)算級(jí)數(shù)和s3=

14、symsum(xk,'k',0,inf) %計(jì)算對(duì)k為自變量的級(jí)數(shù)和b) taylor函數(shù)語(yǔ)法：taylor (F,x,n) %求泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)說(shuō)明：x為自變量，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式；對(duì)F進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)至n項(xiàng)，參數(shù)n省略則默認(rèn)展開(kāi)前5項(xiàng)。【例】求ex的泰勒展開(kāi)式為：。 syms xs1=taylor(exp(x),8) %展開(kāi)前8項(xiàng)s2=taylor(exp(x) %默認(rèn)展開(kāi)前5項(xiàng)9、符號(hào)積分變換a) 傅里葉(Fourier)變換及其反變換fourier變換和反變換可以利用積分函數(shù)int來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以直接使用fourier或ifourier函數(shù)實(shí)現(xiàn)。1. fourier變換語(yǔ)法：Ff

15、ourier(f,t ,w) %求時(shí)域函數(shù)f(t)的fourier變換F說(shuō)明：返回結(jié)果F是符號(hào)變量w的函數(shù)，當(dāng)參數(shù)w省略，默認(rèn)返回結(jié)果為w的函數(shù)；f為t的函數(shù)，當(dāng)參數(shù)t省略，默認(rèn)自由變量為x。2. fourier反變換語(yǔ)法：f=ifourier (F) %求頻域函數(shù)F的fourier反變換f(t)f=ifourier (F,w,t) 說(shuō)明：ifourier函數(shù)的用法與fourier函數(shù)相同?！纠坑?jì)算f(t)= 的fourier變換F以及F的fourier反變換。syms t wF=fourier(1/t,t,w) %fourier變換 f=ifourier(F,t) %fourier反變換

16、f=ifourier(F) %fourier反變換默認(rèn)x為自變量 b) 拉普拉斯(Laplace)變換及其反變換1. Laplace變換語(yǔ)法：F=laplace(f,t,s) %求時(shí)域函數(shù)f的Laplace變換F說(shuō)明：返回結(jié)果F為s的函數(shù)，當(dāng)參數(shù)s省略，返回結(jié)果F默認(rèn)為's'的函數(shù)；f為t的函數(shù)，當(dāng)參數(shù)t省略，默認(rèn)自由變量為't'?！纠壳髎in(at)和階躍函數(shù)的Laplace變換。 syms a t s F1=laplace(sin(a*t),t,s) %求sinat的Laplace變換 F1 =a/(s2+a2) F2=laplace(sym('H

17、eaviside(t)') %求階躍函數(shù)的Laplace變換 F2 =1/s 2. Laplace反變換語(yǔ)法：filaplace(F,s,t)%求F的Laplace反變換f【例】求和1的Laplace反變換。 syms s a t f1=ilaplace(1/(s+a),s,t) %求1/s+a的Laplace反變換 f1 =exp(-a*t) f2=ilaplace(1,s,t) %求1的Laplace反變換是脈沖函數(shù) f2 =Dirac(t) 10、 符號(hào)方程的求解 (1) 常規(guī)方程求解函數(shù)的調(diào)用格式 g = solve(eq) %求方程(或表達(dá)式或字串)eq關(guān)于默認(rèn)變量的解 g

18、= solve(eq,var) %求方程(或表達(dá)式或字串)eq關(guān)于指定變量var的解 g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn) %求方程(或表達(dá)式或字串)組eq1,eq2,.,eqn關(guān)于指定變量組var1,var2,.,varn的解 (2) 常微分方程求解 求解常微分方程的函數(shù)是 dsolve。應(yīng)用此函數(shù)可以求得常微分方程(組)的通解，以及給定邊界條件(或初始條件)后的特解。 常微分方程求解函數(shù)的調(diào)用格式： r = dsolve('eq1,eq2,.','cond1,cond2,.', 'v') r =

19、dsolve('eq1','eq2',.,'cond1','cond2',.,'v')說(shuō)明： 以上兩式均可給出方程 eq1、eq2 .對(duì)應(yīng)初始條件 cond1、cond2 .之下的以 v作為解變量的各微分方程的解。 常微分方程解的默認(rèn)變量為 t。 第二式中最多可接受的輸入式是 12 個(gè)。 微分方程的表達(dá)方法。在用MATLAB求解常微分方程時(shí)， 用大寫(xiě)字母Dy表示微分符號(hào)，用D2y表示，依次類推。 邊界條件以類似于 y(a) = b 或 Dy(a) = b 的等式給出。其中 y為因變量，a、b 為常數(shù)。如果初始條件給

20、得不夠，求出的解則為含有 C1、C2 等待定常數(shù)的通解。例：對(duì)方程組進(jìn)行求解。例： 解方程組當(dāng)時(shí)，求微分方程組的解。11、 符號(hào)函數(shù)的圖形繪制 ezplot(F,xmin,xmax,fig) %畫(huà)符號(hào)表達(dá)式的圖形說(shuō)明：F是將要畫(huà)的符號(hào)函數(shù)；xmin,xmax是繪圖的自變量范圍，省略時(shí)默認(rèn)值為2，2；fig是指定的圖形窗口，省略時(shí)默認(rèn)為當(dāng)前圖形窗口?！纠慨?huà)出y(x)特解的圖形，如圖3.2所示。y =sym('-1/3*x3+1/3*x4') ezplot(y) ezplot(y,0,100) %繪制符號(hào)函數(shù)y在0,100中的圖形 【例】用ezplot3繪制三維符號(hào)表達(dá)式曲線。x

21、=sym('sin(t)');z=sym('t');y=sym('cos(t)');ezplot3(x,y,z,0,10*pi,'animate') %繪制t在0,10*pi范圍的三維曲線 三、練習(xí)：1. 創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式：。 （用三種方式分別創(chuàng)建）>> f=sym('a*x3+b*x2+c*x+d')f =a*x3+b*x2+c*x+d>> x=sym('x');>> a=sym('a');>> b=sym('b');&

22、gt;> c=sym('c');>> d=sym('d');>> f=a*x3+b*x2+c*x+df =a*x3 + b*x2 + c*x + d>> syms x a b c d>> f=a*x3+b*x2+c*x+df =a*x3 + b*x2 + c*x + d2. 創(chuàng)建符號(hào)矩陣。>> A=sym('a*cos(x)+b*sin(y) 10+20;a*x2+b*y2+c*z2 sqrt(t2+1)')A = a*cos(x)+b*sin(y), 10+20 a*x2+b*y

23、2+c*z2, sqrt(t2+1)3. 已知表達(dá)式，計(jì)算當(dāng)時(shí)的值；計(jì)算與的復(fù)合函數(shù)，、的逆函數(shù)。%與的復(fù)合函數(shù)>> f=sym('1-sin(x)2');>> g=sym('2*x+1');>> compose(f,g)ans =1 - sin(2*x + 1)2%、的逆函數(shù)>> finverse(f)ans =asin(1 - x)(1/2)>> finverse(g)ans =x/2 - 1/24. 符號(hào)函數(shù)，分別對(duì)、進(jìn)行微分，對(duì)趨向于1求極限，并計(jì)算對(duì)的二次、三次微分，用findsym得出符號(hào)變

24、量。>> f=sym('a*x3+b*y2+c*y+d')>> diff(f,'x') %對(duì)x求一階微分ans =3*a*x2>> diff(f,'y') %對(duì)y求一階微分ans =c + 2*b*y>> diff(f,'c') %對(duì)c求一階微分ans =y>> diff(f,'d') %對(duì)d求一階微分ans =1>>diff(f,'x',2) %對(duì)x求二階微分ans =6*a*x>> diff(f,'x',3) %對(duì)x求三階微分ans =6*a>> findsym(f) %對(duì)f符號(hào)變量ans =a,b,c,d,x,y>> limit(f,'y',1) %求y趨向于1時(shí)f的極限ans =a*x3