一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系各種類型題及訓(xùn)練講解學(xué)習(xí)

1、精品文檔一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1:已知關(guān)于*的方程（1）I有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于卞的方程（2） “ 一二二；-沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)上取什么整數(shù)時(shí)， 方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的；的取值范圍中篩選符合條件的 -<的整數(shù)值。解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，1 -丨二" 3. :13解得4 ;方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，A 一 :1解得-；1131 U £1 f 于是，同時(shí)滿足方程（1），（ 2）條件的匸的取值范圍是其中，二的整數(shù)值有或-當(dāng)二時(shí)，方程（1）為' - - - L ,

2、無(wú)整數(shù)根；當(dāng)"I時(shí)，方程（1）為I二'L ,有整數(shù)根。解得：J 八-所以，使方程（1）有整數(shù)根的；的整數(shù)值是一1?？偨Y(jié)：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定 二的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出一1 ,這也正是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。例1:不解方程，判別方程-二-二-兩根的符號(hào)。分析：對(duì)于r? -r,- 1 '".來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式厶，但只能用于判定根的存在與否， 若 判定根的正負(fù)，則需要確定心門或-+ -的正負(fù)情況。因此解

3、答此題的關(guān)鍵是： 既要求出判別式的值，又要確定；2或1 +一的正負(fù)情況。解：'.，=一4X 2X ( 7) = 65>0.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為匸三，1兩巾=T c/- v 0原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根?？偨Y(jié)：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合 起來(lái)進(jìn)行確定，另外由于本題中?-?V0,所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘 若兀>0,仍需考慮I十-的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例2：已知方程-的一個(gè)根為2,求另一個(gè)根及w的值。分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根

4、的定義，把代入原方程，先求出吩的值，再通過(guò)解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與 系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及 円的值。解法一：把上一-代入原方程，得：2"2 +加-帥 + T = 0即v -譏二 一.解得 一-:當(dāng)山 -時(shí)，原方程均可化為：廣:工一 ,.|解得：'二方程J-:的另一個(gè)根為4,聊的值為3或一1解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為=,根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：再十h之二( - 6)二6 心，心 二期 一 2燒+刁 ? .上_ ,.把 石二”代入-，可得：匚 '把、'代入'，可得：存-2胞十5二8 ,即，：匚；一解得"，1 一二 -

5、方程-的另一個(gè)根為4, w的值為3或一1?？偨Y(jié)：比較起來(lái)，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來(lái)較為簡(jiǎn)單。例3：已知方程"'! '有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21,求喇的值。分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大 21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于喇的方程，即可求得w的值。解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， -:i_ - I I I, '解這個(gè)不等式，得ww0設(shè)方程兩根為:'門貝y兀+碼=.賀卒-2) 工冷二聊十卻.丄一 . _ 1J -/叮：:- J I -:整理得：;-:- -解得：'"I' J -又；加蘭0 ,.朋二

6、一1總結(jié)：當(dāng)求出- l_-后，還需注意隱含條件;,應(yīng)舍去不合題意的- .7 0四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例5:已知十、心是關(guān)于弋的一元二次方程I '： -1 '丨- |的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)"和心能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的 乜：的取值范圍; 若不能同號(hào)，請(qǐng)總結(jié)理由，解：因?yàn)殛P(guān)于卞的一元二次方程1 |： : 1 '，J'- 有兩個(gè)非零實(shí)數(shù) 根，.貝卩有-1 _' 1 :：- : : - ' F 又；門、心是方程-H： - "1-的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得:可+勺=一（翊一 1） 工1叼丄滬

7、-4假設(shè)補(bǔ)、心同號(hào)，貝U有兩種可能:（1）、” 二 （2） :1 ' 1可 <0若X】弋0小6,則有：心乜沁；即有：（醮1） < 01 °解這個(gè)不等式組，得-】時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。z, > 0若兀1沁，乜：0 ,則有：習(xí)花>°(魄-1) > 0m2 > 0即有：14解這個(gè)不等式組，得叱”：I ；<m < 又T二，當(dāng) 二時(shí)，兩根能同號(hào)總結(jié)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題的重要工具。 知識(shí)

8、的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng) 新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知門、是方程丨:的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求廠-的值。分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求 根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。解法一：由于匸是方程的實(shí)數(shù)根，所以；'''設(shè)應(yīng)+呼，應(yīng)4卻+加與*斗2/3-5相加，得：=(Of3 + 用)+ 2(a+ P) 4- ajB- 5-丨-(變形目的是構(gòu)造二I匚和二)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：分 + 0=-2-5于是，得：M != (-2)2 + 2

9、(-2) - (-5) -5-4-445-5-0一；一十二，=0解法二：由于門、；是方程./:的實(shí)數(shù)根，.-I，二:I ：-： !.' I ": - : I ： - I總結(jié)：既要熟悉問(wèn)題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解法，是解 題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí), 如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn) 的作用。這類問(wèn)題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力， 多年來(lái)一直受到命題老師的青睞。七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程 叮 宀二1

10、 - r 和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為門時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于 門和喇的 二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。解：設(shè)兩方程的相同根為沒(méi)，根據(jù)根的意義，有 .二 x 二 I J :cP - （了啊 +1） w 1 引旳+7 = 0兩式相減，得J |:;I_曲二一一當(dāng).-:時(shí)，1 ,方程的判別式A 二（一旳尸 _4（饒+ 5）二（一丄-4（-1 + 5） = - <066353方程無(wú)實(shí)數(shù)解當(dāng)E + 一亠:時(shí)，有實(shí)數(shù)解2（6朋+ ）卡的相乘積為代入原方程，得-!- I譏,于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根總結(jié)：（

11、1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì) 二一 1-的討論和判別式的作用，常常（5 + 用）（17搐 + 了）= 1x124= 1736除了犯有默認(rèn)1-1的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解:當(dāng) 1=0 時(shí)，£；，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根（杭+ 5）'二（-1 十？二（；=的相乘積為：（2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問(wèn)題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件:Aj =一 4（W2 + 5J = 一 4刑 一 20 MO且-: - -.- 另外還應(yīng)注意：求得的汪的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義?！境脽岽蜩F】、填空題:1如果關(guān)于忙的方程-!-的兩根之差為2,那么4、已知%、V是方程-

12、：-】的兩個(gè)根，那么：；7（兀l+1）d=馬一陀卜。5、已知關(guān)于茫的一元二次方程 y:.的兩根為廠和心，且工+工2 = 2，則擁=;（&十也）'* =。6、 如果關(guān)于工的一元二次方程I J： ' 1的一個(gè)根是，那么另一 個(gè)根是，的值為。7、 已知是A' '1-的一根，則另一根為 ，-:的值為。8 個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是 v -和 ，那么這個(gè)一元二次方程 為：。二、求值題：1、已知是方程-二工1的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。2、已知匸、二-是方程-的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。3、已知匚，是方程二宀 -的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求.I

13、 的值。4、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。5、已知關(guān)于x的方程 *-的兩根滿足關(guān)系式 一 I ，求汽：的值及方程的兩個(gè)根。6、 已知方程-:和- l：- Jl'兒有一個(gè)相同的根，求咗的 值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題：1實(shí)數(shù)匕在什么范圍取值時(shí)，方程.-有正的實(shí)數(shù)根？+和jw3 = 02、已知關(guān)于二的一元二次方程1（1）求證：無(wú)論®取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根門、七滿足、亠一 - +，求巴的值。a1x bn mn 03、 若；：；，關(guān)于t的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，m求的值。4、 是否存在實(shí)數(shù)使關(guān)于工的方程wm&

14、amp;a；的兩個(gè)實(shí)根勺也，滿足乃 2，如果存在，試求出所有滿足條件的比的值，如果不存在， 請(qǐng)總結(jié)理由。5、已知關(guān)于工的一元二次方程一； ' -（;；八）的兩實(shí)數(shù)1 1m - + 根為二W，若 I I，求比的值。6、實(shí)數(shù)吃、址分別滿足方程"八，：宀-1和二”、，求代數(shù)式答案與提示:一、填空題:1、提示:宀小乂，解得:< =2提示：I I ，由韋達(dá)定理得:X】_儒+ 1解得： j，代入-<-檢驗(yàn)，有意義，-。113十二3、 提示：由于韋達(dá)定理得：一一二'，二 一，U 上 ',罰+也 ？3忍31=-擁二一 t =1，-：！，解得： -。74、提示：由韋

15、達(dá)定理得：'"廣二，1亠，1-耳 工 _由1，-1 -一可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種情況：設(shè)廠>0,6 v0,則 fei_ g兀巧I二並花=J(兀叼丫 = J彳十垠2可込二右二2 ；設(shè)丙 v0,弋>0,則'.<1|；_< I。5、提示：由韋達(dá)定理得:幡三一2 .為陀=?(町十陽(yáng)盧心=(-2)? = -8 o6、 提示：設(shè)- 1''，由韋達(dá)定理得：，=二1二卞，.-;J：: - . -，解得：-_.,二匚二戈_匸 1 I - 7 ，即.v :7、提示：設(shè)心二 八，由韋達(dá)定理得：二一 -1:,: 、- '.二 _ ： -1.

16、 .: - J -&提示：設(shè)所求的一元二次方程為;-，那么,兩.花二g ,.三（24&）+2- J&） =4，即g =-4 ； g = （2 + &）2-品三-2 ；.設(shè)所求的一元二次方程為：廣丨工-二、求值題：3_11、提示：由韋達(dá)定理得：' 一：，一 I ,上I: 1 '<匸_ 1 加詛 Q b_ 13 M陰（碑+花尸-級(jí)碼廠一評(píng)W +_2 _12提示：由韋達(dá)定理得：“'I ,一1 ,. <（現(xiàn)+碼（碼+可尸一 4刊愁-4x(-1) = 、2 813、提示：由韋達(dá)定理得:擰+卅擰二（心心）弋才+梓）二（疋無(wú)尸輻+吃）0（

17、+擰-碼碼）=E 碼尸山+眄）（再+為尸一九陽(yáng)33 -QQ(-25 (-)(-)2-3x(-2) = -4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為八廠,于是有，_, I',因此此；匸可看作方程片 廠 _的兩根，即-一，- 一，所以可得 方程:十廠 、，解得：,匕- 宀，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別 是i；卜。用一 15、提示：由韋達(dá)定理得（可-審二1嚴(yán)1 一嚴(yán)+1“匕二1，戈2，化簡(jiǎn)得：滬“伽11二o ；解得：腸嚴(yán)11,叫=1;以下分兩種情況:利_1 _亍當(dāng)： 時(shí)，'中'二，組成方程組:(I);解這個(gè)方程組得:當(dāng)二-時(shí),一 一亠，組成方程組:精品文檔兀+ 兀二一1(1)' 1 .- Q解這

18、個(gè)方程組得：L乃二T，于是可6、提示：設(shè)-"'-和'"- 1相同的根為 得方程組：直'十a(chǎn)tn-+4=0;扌-亦-2)0；+得小十位 6=0，解這個(gè)方程得:r r r.13 jj= ry以下分兩種情況：(1)當(dāng)' 一時(shí)，代入得-;(2)當(dāng)I 時(shí), 代入得I - o2所以”+殆十4二0和定一(聊一易卞-16工0相同的根為 = ?，勺=2 ,鳴 的13值分別為1；- "'o三、能力提升題：1、提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必須同時(shí)具備： 判別式0;二二 > 0, ；一1一> 0;于是可得不等式組:（一舵）°_4疋仗_1）空0k-1.” 0-k解這個(gè)不等式組得： > 12、提示：（1）-的判別式厶3"）:>0,所以無(wú)論w取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）利用韋達(dá)定理，并根據(jù)已知條件可得:I- jq += -（W2 -戈）為十碼二朋+1解這個(gè)關(guān)于<的方程組，可得到：'