(完整word版)江蘇省南京市2016-2017學年高二(上)期末數(shù)學試卷(文科)(解析版)

1、第1頁(共18頁)2016-2017 學年江蘇省南京市高二(上)期末數(shù)學試卷(文科)一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分請把答案填寫在答題卡相應位置上1 .命題 若 a=b,則| a| =| b| ”的逆否命題是_ .2雙曲線- =1 的漸近線方程是3. 已知復數(shù)亍為純虛數(shù)，其中 i 是虛數(shù)單位，則實數(shù) a 的值是_.4. 在平面直角坐標系 xOy 中，點(4，3)到直線 3x-4y+a=0 的距離為 1,則實數(shù) a 的值是_ .5. 曲線 y=x4與直線 y=4x+b 相切，則實數(shù) b 的值是_ .x+y -6 .已知實數(shù) x，y 滿足條件* 則 z=2x+y 的最

2、大值是_.7.在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 C：y2=4x 的焦點為 F，P 為拋物線 C 上一點，且 PF=5,則點 P 的橫坐標是_ .8 .在平面直角坐標系 xOy 中，圓 O: x2+y2=r2(r 0)與圓 M : (x- 3)2+ (y+4)2=4相交，則 r 的取值范圍是_.照此規(guī)律，TT27 TT23兀2兀2(sin)+(sin;)+(sin;j)+(sin;j)=.10._若？x R，x2+ax+a=0”是真命題，則實數(shù) a 的取值范圍是_.11. 已知函數(shù) f (x) = (x2+x+m) ex(其中 m R，e 為自然對數(shù)的底數(shù)).若在9.觀察下列等式:7T(si

3、n ：).7T(sin)(sin 上)(sin )(sin=)/ 2 兀、(sin)(sin )(sin)2= X1X2； 2一)2=X2X3；(；)=-X3X4；/痕兀、-2 4()=X4X5;(si2+2+sin (si2+2+ +sin(si2+2+ +sin第2頁(共18頁)x=- 3 處函數(shù) f (x)有極大值，則函數(shù) f (x)的極小值是_ .12. 有下列命題：1“心 0”是方程 x2+my2=1 表示橢圓”的充要條件；2“a=1 是 直線 li： ax+y- 1=0 與直線 I2： x+ay-2=0 平行”的充分不必要條件；3函數(shù) f(x)=x3+mx 單調(diào)遞增”是“m0”的充

4、要條件；4已知 p, q 是兩個不等價命題，則“威 q 是真命題”是“I 且 q 是真命題”的必要 不充分條件.其中所有真命題的序號是./ V213. 已知橢圓E:七+ =1 (ab0)的焦距為 2c (c0),左焦點為 F,點/ b2M 的坐標為(-2c, 0).若橢圓 E 上存在點 P,使得 PMPF,則橢圓 E 離心 率的取值范圍是_.x(x - t) xCt14. 已知 t 0,函數(shù) f (x) = 1、，若函數(shù) g (x) =f (f (x)- 1)4恰有 6 個不同的零點，則實數(shù) t 的取值范圍是 _ .二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答

5、 時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. 在平面直角坐標系 xOy 中，已知 ABC 三個頂點坐標為 A (7, 8), B (10, 4),C (2,- 4).(1) 求 BC 邊上的中線所在直線的方程；(2) 求 BC 邊上的高所在直線的方程.16. 已知復數(shù) Z1=m- 2i,復數(shù) z2=1 - ni，其中 i 是虛數(shù)單位，m, n 為實數(shù).(1) 若 m=1, n=- 1,求|可+乙2|的值；(2) 若 Z1=(Z2)2,求 m, n 的值.17. 在平面直角坐標系 xOy 中， 已知圓 M 的圓心在直線 y=-2x 上， 且圓 M 與 直線 x+y-仁 0 相切于點 P (2,

6、- 1).(1) 求圓 M 的方程；第3頁(共18頁)(2) 過坐標原點 O 的直線 l 被圓 M 截得的弦長為，求直線 l 的方程.18 某休閑廣場中央有一個半徑為 1 (百米)的圓形花壇，現(xiàn)計劃在該花壇內(nèi)建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC 構成的六邊形 ABCDEF 區(qū)域，其中 A、B、C、D、E、F 都在圓周上，CF 為 圓的直徑(如圖).設/ AOF=9,其中 0 為圓心.(1) 把六邊形 ABCDEF 的面積表示成關于B的函數(shù) f (B);(2) 當B為何值時，可使得六邊形區(qū)域面積達到最大？并求最大面積.B/A19. 在平面直角坐標系

7、xOy 中，橢圓E：_1(ab。)的離心率為：，兩個頂點分別為 A (-a，0 )，B (a，0)，點 M (-1, 0)，且 3 后二麗，過點 M 斜率為k (2 0)的直線交橢圓 E 于 C, D 兩點，且點 C 在 x 軸上方.(1) 求橢圓 E 的方程；(2) 若 BC 丄 CD,求 k 的值；(3) 記直線 BC, BD 的斜率分別為 k1，k2,求證：k*2為定值.20. 已知函數(shù) f (x) =ax- lnx (a R).(1) 當 a=1 時，求 f (x)的最小值；(2) 已知 e 為自然對數(shù)的底數(shù)，存在 x , e，使得 f (x) =1 成立，求 ae的取值范圍；(3)

8、若對任意的 x 1, +x),有 f (x)f (+)成立，求 a 的取值范圍.第4頁（共18頁）2016-2017學年江蘇省南京市高二（上）期末數(shù)學試卷（文 科）參考答案與試題解析一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分請把答案填寫在答題 卡相應位置上1 .命題 若 a=b,則| a| =| b| ”的逆否命題是若 I a|工 I b| ,則 a b【考點】四種命題.【分析】根據(jù)已知中的原命題，結合逆否命題的定義，可得答案.【解答】解:命題 若 a=b，則| a| =| b| ”的逆否命題是命題 若| a|豐| b|，則 a b”,故答案為：若|a|工| b|，則 a

9、b”2 .雙曲線-/ - 一=1 的漸近線方程是 y= 2x .【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】漸近線方程是=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程.【解答】解：雙曲線標準方程為 斗=1,其漸近線方程是- =0，整理得 y= 2x.故答案為 y= 2x.【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.一a+2i【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù) | :，再根據(jù)已知條件列出方程組，求解即可得答案.自+2j _g+2i)(i+i) _(獷 2)+(且+2)_2 ,士2 .1-1 ,1- i)(l+i)2一 2 + 2 ，3.已知復數(shù)=為純虛數(shù),其中 i 是虛數(shù)單位，則實數(shù)a 的值是 2【解答】解:第5頁（

10、共18頁）復數(shù)為純虛數(shù),1_1ra - 2.丁丸 哼專知,解得 a=2.故答案為：2.4.在平面直角坐標系 xOy 中，點（4, 3）到直線 3x-4y+a=0 的距離為 1,則實 數(shù) a 的值是 土 5.【考點】點到直線的距離公式.【分析】直接利用點到直線的距離公式，建立方程，即可求出實數(shù)a 的值.【解答】解：由題意，=1， a= 5.故答案為土 5.5.曲線 y=x4與直線 y=4x+b 相切，則實數(shù) b 的值是 -3.【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】設直線與曲線的切點為 P（m，n）,點 P 分別滿足直線方程與曲線方程, 同時 y （m） =4 即可求出 b 值【解答】解

11、：設直線與曲線的切點為 P （m, n）則有：二 4 ?（4n?=4,化簡求：口=1, b=n-4;又因為點 P 滿足曲線 y=x4，所以：n=1；貝卩：b=n- 4= - 3；故答案為：-3.第6頁（共18頁）+y - 20心 V 則Z=2）+y的最大值是亠.如圖: 由 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直線 y=- 2x+z,則當直線 y=- 2x+z 經(jīng)過點 A 時，直線的截距最大，此時 z 最大,由二;胡可得 A（ 3, 3）.此時 z=9,故答案為：9.7.在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 C: y2=4x的焦點為 F, P 為拋物線 C 上一 點，且 PF=5,則點 P

12、 的橫坐標是 4 .【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】 由拋物線定義可知， 拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相 等的，已知| PF=5，則 P 到準線的距離也為 5,即 x+仁 5,將 p 的值代入，進而 求出 x.6 .已知實數(shù) x, y 滿足條件.【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，禾 I用線性規(guī)劃的知識即可得到結論.【解答】解：實數(shù) x, y 滿足條件.E”作出不等式組對應的平面區(qū)域K-yC 3-5U第7頁(共18頁)【解答】解：拋物線 f=4x=2px p=2,由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相等的,| PF| =x+1=5,

13、 x=4,故答案為：48.在平面直角坐標系 xOy 中， 圓 0：x2+y2=r2(r0)與圓 M： (x-3)2+ (y+4)2=4 相交，則 r 的取值范圍是 3vrv7.【考點】直線與圓的位置關系.【分析】由題意，圓心距為 5,圓 0： x2+y2=r2(r0)與圓 M: (x-3)2+ (y+4)2=4 相交，可得| r - 2|v5v葉 2,即可求出 r 的取值范圍.【解答】解：由題意，圓心距為 5,：|r - 2|v5vr+2，3vrv7.故答案為 3vrv7.9.觀察下列等式:-2(sin. )+ (sin)(sin)+ (sin)TT-22 兀(sin- )+(sin )/ .

14、兀、-22兀、(sin, )+ (sin) 照此規(guī)律，兀22 兀23 兀221 兀24(sin)+(sinHT)+(sin;)+(sin:.【考點】歸納推理.【分析】由題意可以直接得到答案.【解答】解：觀察下列等式：2=X1X2；2-2 :+sin()=X2X3;2: I- 2 :!+sin( )=X3X4;2:;. 2 -+sin() X第8頁(共18頁)-2(sin . )+ (sin三)-2(sin一)+ (sin .)(sin. )+ (sin)2丄(sin)+ (sin99(n+1),A故答案為：；n (n+1)10.若？x R,x2+ax+a=0”是真命題，貝 U 實數(shù) a 的取值

15、范圍是(-。o u 4,+x)【考點】命題的真假判斷與應用；特稱命題.【分析】若？x R, x2+ax+a=0”是真命題，則 =a2-4a0,解得實數(shù) a 的取值 范圍.【解答】解：若？x R, /+ax+a=0”是真命題，則厶=aF- 4a 0,解得：a(-x,0u4,+x),故答案為：(-, 0u4, +x)11. 已知函數(shù) f (x) = (x2+x+m) ex(其中 m R, e 為自然對數(shù)的底數(shù)).若在 x=- 3處函數(shù) f (x)有極大值，則函數(shù) f (x)的極小值是 -1 .【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】求出函數(shù) f(X)的導數(shù)，根據(jù) f(- 3) =0,求出 m 的值

16、，從而求出函 數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值即可.【解答】解：f (x)=(貳+x+m) ex,7 X1X2；2+sin()2JX2X3；2+-+sin (-)2=X3X4；2+sin (亠二2=X4X5;30照此規(guī)律.兀、2$嘰)+2伽”)+(sini;.)-2+.第9頁(共18頁)f (x) = (x2+3x+m+1) ex,若 f (x)在 x=- 3 處函數(shù) f (x)有極大值，則 f(- 3) =0,解得：m=- 1, 故 f (x) = (x2+x- 1) ex,f (x) = (x2+3x) ex,令 f (x) 0,解得：x0,令 f (x)v0,解得：xv-3,故

17、 f(乂)在(-x,-3)遞增，在(-3,0)遞減，在(0,+x)遞增, 故 f (x)極小值=f (0) =- 1,故答案為：-1.12. 有下列命題：1“n0”是 方程 x2+my2=1 表示橢圓”的充要條件；2“a=1 是直線 11： ax+y- 1=0 與直線 I2： x+ay-2=0 平行”的充分不必要條件；3函數(shù) f(x)=x3+mx 單調(diào)遞增”是“m0”的充要條件；4已知 p, q 是兩個不等價命題， 則“p或 q 是真命題”是“!且 q 是真命題”的必要 不充分條件.其中所有真命題的序號是.【考點】命題的真假判斷與應用.【分析】，當 m=1 時，方程 x2+m/=1 表示圓；2

18、， a= 1 時，直線 11與直線 12都平行；3，若函數(shù) f (x) =x3+mx 單調(diào)遞增？m0；4，p 或 q 是真命題? p 且 q 不一定是真命題；？p 且 q 是真命題? p 或 q 定 是真命題；【解答】解：對于，當 m=1 時，方程 x2+my2=1 表示圓，故錯；對于a= 1 時，直線 h 與直線 12都平行，故正確；對于，若函數(shù) f (x) =x3+mx 單調(diào)遞增？m0,故錯；對于，p 或 q 是真命題? p 且 q 不一定是真命題；？P 且 q 是真命題? p 或 q 一定是真命題，故正確；故答案為：13已知橢圓 E：務+耳=1 (ab0)的焦距為 2c (c0),左焦點

19、為 F,點第10頁(共18頁)M 的坐標為(-2c, 0).若橢圓 E 上存在點 P,使得 PM/PF,則橢圓 E 離心 率的取值范圍是丄二.L32J【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】設 P(x, y),由 PMPF? x2+y2=2(2.只需 x2+y2=2c?與橢圓 E：丄二b0)由公共點，即 bw一 b b2 0)由公共點,- t) xCt14.已知 t0,函數(shù) f (x) = 1、，若函數(shù) g (x) =f (f (x)- 1)-TXI英At4恰有 6 個不同的零點，則實數(shù) t 的取值范圍是(3, 4).【考點】函數(shù)零點的判定定理.【分析】若函數(shù) g (x) =f (f (x)- 1)恰

20、有 6 個不同的零點，則方程 f (x)- 仁 0 和 f (x)-1=t 各有三個解，即函數(shù) f (x)的圖象與 y=1 和 y=t+1 各有三個零 點，進而得到答案.- t) 【解答】解：函數(shù) f (x) =1,故答案為:第11頁(共18頁)(3x - t) (x_t),垃函數(shù) f ( X)=4當 XV,或 XVt 時，f( x) 0,函數(shù)為增函數(shù)，D1當，VXVt 時，f( X)V0,函數(shù)為減函數(shù)，D1故當 x=.：時，函數(shù) f ( X)取極大值二!，LZ乙f函數(shù) f (x)有兩個零點 0 和 t，若函數(shù) g (X)=f (f (X)- 1)恰有 6 個不同的零點,則方程 f (X)-1

21、=0 和 f (X)-1=t 各有三個解,即函數(shù) f (x)的圖象與 y=1 和 y=t+1 各有三個零點, 由 ylx=t：=.,|t+l0 得：t 3,故不等式的解集為：t (3, 4),故答案為：(3, 4)二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答 時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15在平面直角坐標系 xOy 中，已知 ABC 三個頂點坐標為 A (7, 8), B (10, 4),C (2,- 4).(1) 求 BC 邊上的中線所在直線的方程；(2) 求 BC 邊上的高所在直線的方程.【考點】待定系數(shù)法求直線方程.【分析】(1)求出 BC 中點

22、 D 的坐標，AD 的斜率，即可求 BC 邊上的中線所在直 線的方程；(2)求出 BC 邊上的高所在直線的斜率為，即可求 BC 邊上的高所在直線的方程.故*第12頁(共18頁)【解答】解：(1)由 B (10, 4), C (2,-4),得 BC 中點 D 的坐標為(6, 0),Q - Q所以 AD 的斜率為 k=8,r 一 b所以 BC 邊上的中線 AD 所在直線的方程為 y-0=8 (x- 6),即 8x- y - 48=0.一4=( 4)(2)由 B (10, 4), C (2,- 4),得 BC 所在直線的斜率為 k= ,=1,所以 BC 邊上的高所在直線的斜率為-1,所以 BC 邊上

23、的高所在直線的方程為 y- 8=- 1 (x-7),即 x+y 15=0.16. 已知復數(shù) Z1=m- 2i ,復數(shù) z2=1 - ni ,其中 i 是虛數(shù)單位，m , n 為實數(shù).(1) 若 m=1, n=- 1,求 IZ1+Z2I 的值；(2) 若 Z1= (Z2)2,求 m , n 的值.【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算.【分析】(1)利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出.(2)利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得出.【解答】解：(1)當 m=1, n=- 1 時，Z1=1 - 2i , Z2=1+i , 所以 Z1+Z2= (1 2i) +(1+i) =2 i,所以| Z1+Z2I =

24、:1=.(2) 若 Z1=(Z2)2,則 m 2i= (1 - ni)2,所以 m - 2i= (1 - n2)- 2ni ,17. 在平面直角坐標系 xOy 中,已知圓M的圓心在直線 y=-2x 上,且圓M與 直線 x+y -仁 0 相切于點 P (2 , - 1).(1)求圓 M 的方程；(2)過坐標原點 O 的直線 I 被圓 M 截得的弦長為=,求直線 I 的方程.所以nrl - n2_2=_2n第13頁（共18頁）【考點】直線與圓的位置關系.【分析】（1）求求出圓心坐標與半徑，即可求出圓 M 的方程；（2）分類討論，利用點到直線的距離公式，結合過坐標原點0 的直線 I 被圓 M截得的弦

25、長為二，求直線 I 的方程.【解答】解：（1）過點（2，- 1）且與直線 x+y- 1=0 垂直的直線方程為 x-y- 3=0，所以圓心 M 的坐標為（1，- 2），所以圓 M 的半徑為 r=_，所以圓 M 的方程為（x- 1）2+ （y+2）2=2.（2） 因為直線 I 被圓 M 截得的弦長為.一，所以圓心 M 到直線 I 的距離為 d=，=丄， V 42若直線 I 的斜率不存在，則 I 為 x=0,此時，圓心 M 到 I 的距離為 1,不符合題意.若直線 I 的斜率存在，設直線 I 的方程為 y=kx，即 kx-y=0，整理得 r+8k+7=0,解得 k=- 1 或-7，所以直線 I 的方

26、程為 x+y=0 或 7x+y=0.18.某休閑廣場中央有一個半徑為 1（百米）的圓形花壇，現(xiàn)計劃在該花壇內(nèi)建 造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC 構成的六邊形 ABCDEF 區(qū)域，其中 A、B、C、D、E、F 都在圓周上，CF 為 圓的直徑（如圖）.設/ AOF=0，其中 O 為圓心.（1） 把六邊形 ABCDEF 的面積表示成關于B的函數(shù) f （B）;（2） 當B為何值時，可使得六邊形區(qū)域面積達到最大？并求最大面積.第14頁(共18頁)【考點】函數(shù)模型的選擇與應用.【分析】(1)作 AH 丄 CF 于 H,則六邊形的面積為 f(B)=2 (co

27、sG+1) sin,9 (0, J(2)求導，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得9=時，f (9)取最大值.【解答】(本題滿分 16 分)解：(1)作 AH 丄 CF 于 H,貝UOH=co9, AB=2OH=2coS, AH=sin9,則六邊形的面積為 f (9)=2X*(AB+CF)XAH= (2cos92) sin97T=2(cos +1)sin9 9(0,可).(2)f(9)=2-sin9sinh9cos9+1)cos9=2(2co$9+cos9-1)=2(2cos9-1) (cos +1).令 f(9)=0,因為9(0,罟),1JT所以 cos9二，即9二，TT-JT當9(0,可)時，f (

28、9)0，所以 f (9)在(0, 丁)上單調(diào)遞增；7TTTTT 7T當9(石，三)時，f (9 V0,所以 f (9)在(g,豆)上單調(diào)遞減，TTTT7TJt所以當9=時，f(9)取最大值 f()=2 (cos . +1) sin 一 =答：當9二 時，可使得六邊形區(qū)域面積達到最大，最大面積為芋平方百米./ /7319.在平面直角坐標系 xOy 中，橢圓 E：+-=1 (ab0)的離心率為，ab2兩個頂點分別為 A (- a, 0), B (a, 0),點 M (- 1, 0),且 3 胡=廠:，過點 M 斜率為k (2 0)的直線交橢圓 E 于 C, D 兩點，且點 C 在 x 軸上方.(1

29、)求橢圓 E 的方程；(2)若 BC 丄 CD,求 k 的值；(3)記直線 BC, BD 的斜率分別為 ki, k2,求證：k*2為定值.第15頁(共18頁)【分析】(1)由已知點的坐標結合向量等式求得 a,再由離心率求得 c,結合隱 含條件求得 b，則橢圓方程可求；(2) 寫出 CD 所在直線方程，得到 BC 所在直線方程聯(lián)立求得 C 的坐標，代入橢 圓方程即可求得 k 值；(3) 聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得 C D 的橫坐標的和與積，代入斜率公式 可得&k2為定值.【解答】(1)解：A (-a , 0), B (a , 0)，點 M (- 1 , 0),且 3平廠:, 3 (-

30、1+a , 0) = (a+1 , 0),解得 a=2.又_=, c= _,貝卩 b2=a2- c=1 ,橢圓 E 的方程為.+y2=l；(2) 解：CD 的方程為 y=k (x+1), BC 丄 CD, BC 的方程為 y=- (x 2),聯(lián)立方程組，可得點 C 的坐標為(,),1+k21+k代入橢圓方程，得：-.,A+(yJ=i解得 k=2.3k又點 C 在 x 軸上方，0 ,則 k0 ,1+k k=27；(3) 證明：直線 CD 的方程為 y=k (x+1),尸 k(x+l)聯(lián)立/ 口 ，消去 y 得：(1+4)x2+8k2x+4k2- 4=0,第16頁(共18頁)設 C (xi, yi

31、), D (X2, y2),血.8k24k2- 4貝 0 Xi+X2=-, X1X2=,k2(x 1) ( x2+l) k2(x ! x2+ x j + x2+kk(x-2)(K22)巧 x 2 _ 2( y +x 2)+4 k2(坐#-衛(wèi)芻_+i)= 1+4“ 1+4/ = f = _ 丄 =心乜叫)J 下=P1+4”l+4k kik2為定值.20. 已知函數(shù) f (x) =ax Inx (a R).(1)當 a=1 時，求 f (x)的最小值；(2)已知 e 為自然對數(shù)的底數(shù)，存在 x , e，使得 f (x) =1 成立，求 ae的取值范圍；(3)若對任意的 x 1, +x),有 f (x)f (+)成立，求 a 的取值范圍.【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的