河南省新鄉(xiāng)市2015-2016學(xué)年高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）

1、2015-2016學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（每題5分）1直線y+a=0（a為常數(shù)）的斜率為（）ABCD2復(fù)數(shù)=（）A2+iB2iC1+iD1i3某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間481，720的人數(shù)為（）A11B12C13D144在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b若2asinB=b，則角A等于（）ABCD5設(shè)集合M=x|x2011，N=x|0x1，則下列關(guān)系中正確的是（）AMN=RBMN=CNNDMN=x|0x16已知平面向量，滿足，與的夾角為60

2、6;，則“m=1”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（）ABCD8已知函數(shù)f（x）=sin（2x+），其中02，若x=是函數(shù)的一條對稱軸，且f（）f（），則等于（）ABCD9設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，有以下四個命題：其中，真命題是（）ABCD104cos50°tan40°=（）ABCD2111對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y測得一組數(shù)據(jù)如下表：x24568y2040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得他們的回歸直線方程為=10.5x+，據(jù)此模型來預(yù)測當(dāng)x=20時，y的估計值為（）A210B2

3、11.5C212D212.512函數(shù)y=f（x）的最小正周期為2，且f（x）=f（x）當(dāng)x0，1時，f（x）=x+1，那么在區(qū)間3，4上，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是（）A8B7C6D5二、填空題（每題5分）13設(shè)等比數(shù)列an的公比，前n項和為Sn，則=14已知不等式組表示的平面區(qū)域為S，點P（x，y）S，則z=2x+y的最大值為15如圖程序框圖運行后，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間2，內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是16一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是三、解答題17已知等差數(shù)列an滿足a3=7，a5+a7=26，數(shù)列an的

4、前n項和Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），求數(shù)列bn的前n項和Tn18某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六組90，100），100，110），140，150后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分數(shù)在120，130）內(nèi)的頻率；（2）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值（如：組區(qū)間100，110）的中點值為=105）作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計本次考試的平均分；（3）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為110，130）的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段120，13

5、0）內(nèi)的概率19如圖已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC、AD的中點（1）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值；（2）若四棱錐PABCD的體積為，求四棱錐PABCD全面積20設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2（1）求a，b的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）2x+2，求g（x）在其定義域上的最值21已知橢圓C1過點（2，0），（，），拋物線C2的焦點在x軸上，過點（3，2）（1）求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）請問是否存在直線l滿足條件：過點C2的焦點F；與C1交不同兩點M

6、、N，且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由選修4-1幾何證明選講|22如圖，O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD交O于點E，連接BE與AC交于點F（1）判斷BE是否平分ABC，并說明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的長選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程|23已知曲線C1：（為參數(shù)）與曲線C2：=4sin（1）寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C1和C2公共弦的長度選修4-5不等式選講|24（選做題）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4的解集為M（1）求M；（2）當(dāng)a，bM時，證明：2|a+b

7、|4+ab|2015-2016學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每題5分）1直線y+a=0（a為常數(shù)）的斜率為（）ABCD【考點】直線的斜率【分析】根據(jù)題意，由直線的方程可得y=x+a，即可求出直線的斜率【解答】解：根據(jù)題意，直線y+a=0可以變形為y=x+a，其斜率k=，故選：B2復(fù)數(shù)=（）A2+iB2iC1+iD1i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【解答】解：復(fù)數(shù)=，故選：C3某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間

8、481，720的人數(shù)為（）A11B12C13D14【考點】系統(tǒng)抽樣方法【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人從而得出從編號481720共240人中抽取的人數(shù)即可【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人所以從編號1480的人中，恰好抽取=24人，接著從編號481720共240人中抽取=12人故：B4在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b若2asinB=b，則角A等于（）ABCD【考點】正弦定理【分析】利用正弦定理可求得sinA，結(jié)合題意可求得角A【解答】解：在ABC中，2asinB=b，由正弦定理=2R得：2sinAsinB

9、=sinB，sinA=，又ABC為銳角三角形，A=故選D5設(shè)集合M=x|x2011，N=x|0x1，則下列關(guān)系中正確的是（）AMN=RBMN=CNNDMN=x|0x1【考點】交集及其運算【分析】根據(jù)集合M和集合N之間的關(guān)系，然后根據(jù)交集，并集的定義進行求解，最后進行判定即可【解答】解：M=x|x2011，N=x|0x1，NM，MN=x|0x1，MN=x|x2011，故選D6已知平面向量，滿足，與的夾角為60°，則“m=1”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【分析】由已

10、知中平面向量，滿足，與的夾角為60°，分別判斷“m=1”“”與“”“m=1”的真假，根據(jù)充要條件的定義即可得到結(jié)論【解答】解：向量，滿足，與的夾角為60°，=1， =1當(dāng)m=1時， =0故當(dāng)時，m=1m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要條件故選C7雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（）ABCD【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；點到直線的距離公式【分析】由對稱性可取雙曲線的頂點（2，0），漸近線，利用點到直線的距離公式即可得到頂點到漸近線的距離【解答】解：由對稱性可取雙曲線的頂點（2，0），漸近線，則頂點到漸近線的距離d=故選C8已知函數(shù)f（x）=sin（2x+），其中02，若x=是

11、函數(shù)的一條對稱軸，且f（）f（），則等于（）ABCD【考點】正弦函數(shù)的圖象【分析】由x=是函數(shù)的一條對稱軸，可得=k+；再根據(jù)f（）f（），可得sin0，從而求得的值【解答】解：由題意可得，2×+=k+，kZ，即=k+，再根據(jù)f（）=sin（+）=sinf（）=sin（2+）=sin，可得 sin0，故=，故選：C9設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，有以下四個命題：其中，真命題是（）ABCD【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；平面的基本性質(zhì)及推論【分析】對每一選支進行逐一判定，不正確的只需取出反例，正確的證明一下即可【解答】解：對于利用平面與平面平行的性質(zhì)定理可證，則，正確對于面BD面D

12、1C，A1B1面BD，此時A1B1面D1C，不正確對應(yīng)m內(nèi)有一直線與m平行，而m，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，故正確對應(yīng)m有可能在平面內(nèi)，故不正確，故選C104cos50°tan40°=（）ABCD21【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；誘導(dǎo)公式的作用；二倍角的正弦【分析】原式第一項利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，通分后利用同分母分式的減法法則計算，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，約分即可得到結(jié)果【解答】解：4cos50°tan40°=4

13、sin40°tan40°=故選C11對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y測得一組數(shù)據(jù)如下表：x24568y2040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得他們的回歸直線方程為=10.5x+，據(jù)此模型來預(yù)測當(dāng)x=20時，y的估計值為（）A210B211.5C212D212.5【考點】線性回歸方程【分析】求出樣本中心，然后確定回歸直線方程，即可求解預(yù)測當(dāng)x=20時，y的估計值【解答】解：由題意可知： =5，=54因為回歸直線方程經(jīng)過樣本中心，所以54=10.5×5+， =1.5，回歸直線方程為： =10.5x+1.5，當(dāng)x=20時，y的估計值為：10.5×20+1.

14、5=211.5故選：B12函數(shù)y=f（x）的最小正周期為2，且f（x）=f（x）當(dāng)x0，1時，f（x）=x+1，那么在區(qū)間3，4上，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是（）A8B7C6D5【考點】函數(shù)的周期性；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】本題只要由函數(shù)的性質(zhì)，在同一個坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，即可的答案【解答】解：由題意可知，函數(shù)y=f（x）周期為2，且為偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象，可得交點個數(shù)為6，故選C二、填空題（每題5分）13設(shè)等比數(shù)列an的公比，前n項和為Sn，則=15【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)【分析】先通過等比數(shù)列的求和公式，表示出S4，得知a4=a

15、1q3，進而把a1和q代入約分化簡可得到答案【解答】解：對于，14已知不等式組表示的平面區(qū)域為S，點P（x，y）S，則z=2x+y的最大值為6【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出最優(yōu)解即可求最大值【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直線y=2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點A時，直線y=2x+z的截距最大，此時z最大由，解得，即A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×2+2=6即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6故答案為：615如圖程序框圖運行后，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)

16、間2，內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是（，1，【考點】程序框圖【分析】由程序框圖得出函數(shù)y=f（x）的解析式，并根據(jù)其單調(diào)性求出相應(yīng)的自變量x的取值范圍即可【解答】解：由程序框圖可知：f（x）=，輸出的函數(shù)值在區(qū)間2，內(nèi)，必有當(dāng)x0時，02x；當(dāng)x0時，2log2x解得x1或x故答案為：（，1，16一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是16【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱長是2，根據(jù)三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，求出半徑即可求出球的

17、表面積【解答】解：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱ABCA1B1C1，三棱柱的底面是邊長為3的正三角形ABC，側(cè)棱長是2，三棱柱的兩個底面的中心連接的線段MN的中點O與三棱柱的頂點A的連線AO就是外接球的半徑，ABC是邊長為3的等邊三角形，MN=2，AM=，OM=1，這個球的半徑r=2，這個球的表面積S=4×22=16，故答案為：16三、解答題17已知等差數(shù)列an滿足a3=7，a5+a7=26，數(shù)列an的前n項和Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），求數(shù)列bn的前n項和Tn【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a3=

18、7，a5+a7=26，可得，解出利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出；（）bn=，利用“裂項求和”即可得出【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3=7，a5+a7=26，解得a1=3，d=2an=3+2（n1）=2n+1數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2n（）bn=，數(shù)列bn的前n項和Tn=+=18某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六組90，100），100，110），140，150后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分數(shù)在120，130）內(nèi)的頻率；（2）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值（如：組區(qū)間100，11

19、0）的中點值為=105）作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計本次考試的平均分；（3）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為110，130）的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段120，130）內(nèi)的概率【考點】頻率分布直方圖；分層抽樣方法【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的各小長方形的面積之和為1，求出分數(shù)在120，130）內(nèi)的頻率；（2）由頻率分布直方圖計算出平均分；（3）計算出110，120）與120，130）分數(shù)段的人數(shù)，用分層抽樣的方法在各分數(shù)段內(nèi)抽取的人數(shù)組成樣本，求出“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段120，130）內(nèi)”概率即可【解答】解：（1）分

20、數(shù)在120，130）內(nèi)的頻率為1（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=10.7=0.3；（2）估計平均分為=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依題意，110，120）分數(shù)段的人數(shù)為60×0.15=9（人），120，130）分數(shù)段的人數(shù)為60×0.3=18（人）；用分層抽樣的方法在分數(shù)段為110，130）的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，需在110，120）分數(shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在120，130）分數(shù)段內(nèi)抽取4

21、人，并分別記為a，b，c，d；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段120，130）內(nèi)”為事件A，則基本事件有（m，n），（m，a），（m，d），（n，a），（n，d），（a，b），（c，d）共15種；則事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9種；P（A）=19如圖已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC、AD的中點（1）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值；（2）若四棱錐PABCD的體積為，求四棱錐PABCD全面積【考點】棱柱、棱錐、棱臺的

22、體積；異面直線及其所成的角【分析】（1）根據(jù)一對對邊平行且相等，得到一個四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊平行，把兩條異面直線所成的角表示出來，放到PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值（2）利用四棱錐PABCD的體積為，求出PD，求出PA=PC=2，即可求出四棱錐PABCD全面積【解答】解：（1）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，ABCD是邊長為2的正方形DFBE且DF=BEDFBE為平行四邊形DEBFPBF是PB與DE的所成角PBF中，BF=，PF=，PB=3，cosPBF=，異面直線PB和DE所成角的余弦值為；（2）設(shè)PD=a，則四棱錐PABCD的體積為，=，a=2，PDAB，ADAB，

23、PDAD=D，AB平面PAD，ABPA，同理BCPC，從而PA=PC=2，四棱錐PABCD全面積S=2×=8+420設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2（1）求a，b的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）2x+2，求g（x）在其定義域上的最值【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=0，f（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得f（x），g（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值【解答】解：（1）f（x）=x+ax2+blnx的導(dǎo)數(shù)f（

24、x）=1+2a+（x0），由題意可得f（1）=1+a=0，f（1）=1+2a+b=2，得；（2）證明：f（x）=xx2+3lnx，g（x）=f（x）2x+2=3lnxx2x+2（x0），g（x）=2x1=，x（0，1）1（1，+）g（x）+0g（x）極大值g（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，可得g（x）max=g（1）=11+2=0，無最小值21已知橢圓C1過點（2，0），（，），拋物線C2的焦點在x軸上，過點（3，2）（1）求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）請問是否存在直線l滿足條件：過點C2的焦點F；與C1交不同兩點M、N，且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由【考點】

25、橢圓的簡單性質(zhì)【分析】（1）設(shè)拋物線C2：y2=2px（p0），則點（3，2）代入，可得p=2；設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，利用橢圓C1過點（2，0），（，），求出m，n，可得橢圓方程（2）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F（1，0），設(shè)其方程為y=k（x1），與C1的交點坐標(biāo)為M（x1，y1），N（x2，y2），由y=k（x1）代入橢圓方程消掉y，得（1+4k2）x28k2x+4（k21）=0，再由韋達定理能夠?qū)С龃嬖谥本€l滿足條件，且l的方程為：y=2x2或y=2x+2【解答】解：（1）設(shè)拋物線C2：y2=2px（p0），則點（3

26、，2）代入，可得p=2，C2：y2=4x；設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，橢圓C1過點（2，0），（，），4m=1，2m+n=1，m=，n=1，橢圓方程為x2+y2=1；（2）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F（1，0），設(shè)其方程為y=k（x1），與C1的交點坐標(biāo)為M（x1，y1），N（x2，y2）由y=k（x1）代入橢圓方程，消掉y，得（1+4k2）x28k2x+4（k21）=0，于是x1+x2=，x1x2=y1y2=k（x11）×k（x11）=k2x1x2（x1+x2）+1=由，得x1x2+y1y2=0（*），將、代入（*）

27、式，得=0解得k=±2；所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x2或y=2x+2選修4-1幾何證明選講|22如圖，O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD交O于點E，連接BE與AC交于點F（1）判斷BE是否平分ABC，并說明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的長【考點】與圓有關(guān)的比例線段；弦切角【分析】（1）BE平分ABC由已知中邊的相等，可得CAD=D，ABC=ACB，再利用同弧所對的圓周角相等，可得CAD=D=DBE，即有ABE+EBD=CAD+D，利用等量減等量差相等，可得EBD=D=ABE，故得證（2）由（1）中的所證條件A