不定方程的整數(shù)解問題及其方法簡介含答案

1、專題三：不定方程的整數(shù)解問題所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些條件限制(如要求是有理數(shù)、整 數(shù)或正整數(shù)等等)的方程或方程組。數(shù)學(xué)競賽中的不定方程問題，不僅要求學(xué)生對初等數(shù)論的一般理論、 方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性地解決問題。在本專題中我們一起來學(xué)習(xí) 不定方程整數(shù)解的一些解法技巧?！净A(chǔ)知識】1 不定方程整數(shù)解的常見類型：(1 )求不定方程的整數(shù)解；(2 )判定不定方程是否有整數(shù)解；(3) 判定不定方程整數(shù)解的個數(shù)(有限個還是無限個)。2 解不定方程整數(shù)解問題常用的解法：(1 )代數(shù)恒等變形：如因式分解法、配方法、分離整數(shù)法、換元法(參數(shù)法

2、)等；(2 )奇偶分析法：縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；(3 )構(gòu)造法：如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達(dá)定理等性質(zhì)；(4) 枚舉法：列舉出所有可能的情況；(5) 不等式分析法：通過不等式估算法，確定出方程中某些變量的范圍，進(jìn)而求解；(6) 無窮遞推法?！镜湫屠}分析】一、代數(shù)恒等變形1因式分解法【例1】已知x, y都是整數(shù)，且滿足 xy 2 = 2(x y)，求x2 y2的最大值.分析：由 xy 2=2(x y)，得(x-2)(y-2) =2-2 = 2x2=11-2 = -2x2 = 1因?yàn)?x-2),(y-2)都是整數(shù)，所以，或，或，或'2=1&#

3、39;2=2 '2=-1 '2=_2Xx=4Xx=3Xx=OXx=1解得，或，或，或)=3)=4、y = 1 y = o故x2 y2的最大值為25注：一般地，整系數(shù) a,b, c,d的二次方程axy bx cy 0 ,可變形為：a2xy abx acy ad = 0分解，得(ax c)(ay b)二 bead .求整數(shù)解時，只需把整數(shù)(bc_ad)分解成兩個整數(shù)的積，ax + e = 轉(zhuǎn)化為解幾個方程組，(這厶#=bc-ad )來解，通過取舍求出符合題意的整數(shù)解。ay + b = #【例2】求方程x2 - y2 3x _7y -2 = 0的整數(shù)解(x, y).分析：原方程可化為

4、 4x2 -4y2 12x-28y-8 = 0 ,配方得(2x 3)(2y 7)2 30所以(x y 5)(x_y _2) = -8因?yàn)?x y 5)和(x - y - 2)的奇偶性不同/曰 x y 5- -8x y 5- -1x y 5 = 8x y 5=1得，或，或，或x_y_2=1xy_2=8xy_2 = -1x_y2= _8解得：(x,y)=(-5,-8),(2, -8),(2,1),( -5,1)2、配方法【例3】求3x2 xy y3x 2y =0的非負(fù)整數(shù)解(x, y)的組數(shù)為()A、0 B、1 C、2 D、3分析：由 3x2xyy2-3x2y = 0，配方得4x2(x-3)2(x

5、 y)2 (y2)2= 13當(dāng) x _2 時，左邊 _4x2 _1613當(dāng) x <0 時，左邊 _(x-3)2 -1613所以x = 0或1當(dāng)x=0時，代入原方程得 y=0當(dāng)x =1時，代入原方程得 y =0或-3因此共有3組非負(fù)整數(shù)解.3、分離整數(shù)法【例4】已知x, y是整數(shù)，滿足x-y ,3=0, ax-y-a=0，則整數(shù)a的所有可能值有()個A. 4B. 5C. 6D. 8分析：由 x_y 3=0,ax_y_a=0，得 x =-_ - -1為整數(shù)1 -a1-a根據(jù)整除性質(zhì)，可知：1_a»1,_2, _4，即a - 一3,一1,0,2,3,5共6個值.【例5】求x(x_1)

6、 xy y =51的正整數(shù)解2x x 51(-x 2)(x 1) 49 / c、 49解：原萬程可化為 y(_x - 2)x+1x+1x + 149因?yàn)閤為正整數(shù)，且 竺 是整數(shù)，所以x1=7或49,即x=6或48X +1當(dāng) x = 6 時，y =3 ；當(dāng) x =48 時，y - -45 : 0 舍去故所求正整數(shù)解(x, y) =(6,3)4、換元法4020【例6】 已知： x, y為整數(shù)，且 y =；，求 y的最大值為Jx+2009 -Jx -2011分析：原方程可化為 y = Jx 2009x - 2011,令 a 二、x 2009, b 二 x-2011 , 則 y 二 a b(a2 -

7、b2 =(x 2009)-(x-2011) = 40202.(a b)(a -b) =23 5 67因?yàn)?a b),(a -b)具有相同的奇偶性，且都是正整數(shù) 故y =a b的最大值為2 3 5 67 =2010.二、奇偶分析法【例7】證明方程x2 y2 -8z =6無整數(shù)解.分析：不妨設(shè)原方程有整數(shù)解，因?yàn)閤2 y2 =6 8z為偶數(shù)，所以x, y具有相同的奇偶性若x, y都是偶數(shù)，令x=2a,y =2b，代入原方程，化簡，得 2a2，2b2-4z=3，左右奇偶數(shù)不同,矛盾。若x, y都是奇數(shù)，令 2a 1,2b 1，代入原方程，化簡，得 a(a 1) b(b 121因?yàn)閍(a 1),b(b

8、 1)都是偶數(shù)，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊奇數(shù)，矛盾綜上，原方程無整數(shù)解?！纠?】求x2 - y =328的正整數(shù)解.分析：顯然x = y，不妨設(shè)x . y 0，由于328是偶數(shù)，故x, y的奇偶性相同，而 328能被4整除，偶數(shù) 的平方被4除余0，奇數(shù)的平方被4余1所以x, y都是偶數(shù).設(shè) x =2a,y =2b，則 a2 b2 =82，由 a b 0,得 b2 ： 41，取 b2 = 1,4,9,16,25,36對應(yīng) a2 =81,78,73,66,57,46，故只能取 a2 =81,b2 =1，即 a =9,b =1由x, y的對稱性，因此所求正整數(shù)解(x, y) =(18,2),(2,1

9、8).三、構(gòu)造法如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達(dá)定理等性質(zhì)進(jìn)行討論，且當(dāng)方程有整數(shù)解時，判別式為 完全平方式。【例9】已知a,b都是質(zhì)數(shù)，且a2 -13a m = 0,b2 -13b m = 0，求m的值.分析：若 a =b =2，貝U 4-26 m =0，即卩 m=22 ；若a = b，則a,b可看作關(guān)于x的一元二次方程x2 _13x m = 0的兩個根.由韋達(dá)定理，得a b =13,ab = m而a,b都是質(zhì)數(shù)，由a b =13，故a,b的值只能是2或11，所以m = 22 因此，所求 m的值為2或22.【例10】已知a,b,c是整數(shù)，且滿足a b =3,c2 -2c ab = -

10、2，求a, b, c的值。分析：由a b =3,ab =-c2 2c-2，可構(gòu)造以a,b為根的一元二次程t2 -3t - c2 2c - 2 = 0 根據(jù)題意& =9-4(-c2 2c-2) =4c2 -8c 1(22)2 13是一個完全平方式，因此存在非負(fù)整數(shù)k，使得(2c - 2)2 13 = k2，即k2 -(2c - 2)2 = 13所以k 213Ik2c + 2 = 1亠 k 2c-2 =1，或Ik2c + 2=13，解得"7,c = 4”3±k 3 ±7亠所以 t，即 a =5,b - -2，或 a - -2,b =52 2故所求正整數(shù)(a,b

11、,c) =(5,-2,4),( -2,5,4),(5, -2, -2),( -2,5, -2)四、枚舉法【例11】方程x y 2010共有多少個正整數(shù)解？分析：當(dāng) x 二k(k =1,2,3, H 1,2008)時，y z =2010 -k，此時 y可取 1 到(2009 -k),一共(2009 -k)個解.又x可取1到2008,故原方程一共有、(2009 -k) =2009 2008 2°°8 2°°9 =2017036 個正整數(shù)解。 k 42注：方程x y z = n(n N且n _ 3)的正整數(shù)解個數(shù)為:n 2' (n _1 _k)二(n

12、_1)(n _2)k 1(n - 2)( n-1)2(n -2)(n-1)- 2思考：方程x y 2010的非負(fù)整數(shù)解共有多少個?【例12】求方程3x2 7xy-2x-5y-35 = 0的正整數(shù)解.分析：2對于正整數(shù)x, y，由原方程得到 y -7x 5五、不等式分析法利用整數(shù)性或不等關(guān)系，確定出方程解的范圍因?yàn)?x _1,y _1，所以3x2 2x 35 _7x 5，解得 1 乞 x 空 2分別取x = 1和x = 2，得到y(tǒng) =17和y =3即所求的解為(x,y) =(1,17),(2,3)注：本題也可以通過分離整數(shù)法進(jìn)行討論.【例13】求方程5(xy - yz - zx) = 4xyz的

13、正整數(shù)解(x,y, z)為多少組?1114分析：原方程化為x y z 5 111143設(shè) x_y_z,由，得 1 :： x 4，所以 x = 2,3 .x x y z 5 x11311132當(dāng)x=2時，代入式，得丄丄由-< -1-，y z10 y yz10 y得 3 ： y ：7，所以 y =4,5,6將x = 2及y =4,5,6分別代入式，得到所求的解(x,y,z) =(2,4,20),(2,5,10)當(dāng)x = 3時，代入式，同樣的方法可以推出，方程無整數(shù)解.綜上，及x,y,z的對稱性，得到原方程有 12組正整數(shù)解.六、無窮遞推法【例14】試證明方程：x2 y2 z2 = 2xyz無

14、非零整數(shù)解.分析：我們只需考慮 x,y,z都是正整數(shù).顯然x, y,z不能都是奇數(shù)，或一奇二偶，否則左邊為奇數(shù)，而右邊是偶數(shù)，矛盾。若 x, y, z是二奇一偶，不妨設(shè) x = 2a 1, y = 2b 1, z = 2c ,則方程左邊=x2 y2 z 4(a2 a b2 b c2) 2不是4的倍數(shù)，而右邊是因此x, y, z只能都是偶數(shù)，不妨設(shè) x = 2x<i, y = 2%, z = 2z),代入原方程，得 x-i yizi =4為葉乙.類似于前面的討論，可以證明x1, y1, zl都是偶數(shù)。如此繼續(xù)下去，我們可得到：x = 2k人，y = 2k yk, z = 2k厶由于上述過程

15、可以無限地進(jìn)行下去，因而k將無限地增大，即正整數(shù)Xk,yk,Zk將無限地小下去，這是不可能的。故原命題得證.【針對性訓(xùn)練題】A組1、已知x, y滿足xy - x - y = 10，求整數(shù)x, y的值.xy yz = 632、 方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是()、xz + yz =23,A. 1組 B. 2組C. 3組D. 4組3、 已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 2(a 2b 3)x (a2 4b2 64 0無實(shí)數(shù)根,a,b的值.4的倍數(shù)，矛盾。求滿足條件的正整數(shù)24、已知a, b,c都是整數(shù)，且a -2b=4,ab c -1=0，求a b c的值.6、設(shè)自然數(shù)x, y滿足方程x3 19y = y3

16、 - 19x，其中x ： y，則x y二2 _ _7、 試確定一切有理數(shù) r，使得關(guān)于x的方程rx (r 2)x r -1=0有根且只有整數(shù)根B組8、已知a, b,c都是正整數(shù)，且滿足 29a 30b 31c 366，則a b c的值為()A. 10 B. 12 C. 14 D. 169、一直角三角形兩直角邊 a,b均是整數(shù)，且滿足 a m 2，試求這個直角三角形的三邊長 ab = 4ma可能的值10、 已知：a為自然數(shù)，且關(guān)于 x的方程2x-a. 1-X-a 4 = 0至少有一個整數(shù)根，則為.x + 3y 2z = 011、 已知三個正整數(shù) x, y, z的最大公約數(shù)為 3,且滿足 222 ，則x y z =2x -3y +z =013、已知a, b, c均為整數(shù)，且恒有 (x -a)(x -10) (x b)(x c)，則整數(shù)a =12、已知a,b為整數(shù)，且滿足a2 +b2 -5a-6b-3c + 15 = 0a 3c - 4 = 0求abc的值.2 114、已知正整數(shù) x, y滿足a （ a為正整