多元函數(shù)的極值及求法

1、12-2 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法0 多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值引例引例1：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價每瓶進(jìn)價1元，外地牌子每瓶進(jìn)價元，外地牌子每瓶進(jìn)價1.2元，店主元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣估計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子元，外地牌子的每瓶賣的每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶瓶本地牌子的果汁，本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？可取得最大收益？xyyx4570 yx7680 顯然

2、每天的收益為顯然每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.0、問題的提出引例引例2： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機種急需物品：計算機U盤和鼠標(biāo)，設(shè)他購買盤和鼠標(biāo)，設(shè)他購買 個個U盤，盤， 個鼠標(biāo)達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)個鼠標(biāo)達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為為 設(shè)每個設(shè)每個U盤盤8元，每元，每個鼠標(biāo)個鼠標(biāo)10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到元以達(dá)到最佳效果最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條在條

3、件件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),( 200108 yx 無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件無其他條件. . 條件極值條件極值：對自變量附加條件的極值問題稱為條件對自變量附加條件的極值問題稱為條件極值極值. . 如引例如引例1 1。 如引例如引例2 2。 從上面的兩個引例中可以看到，與一元函數(shù)極值不從上面的兩個引例中可以看到，與一元函數(shù)極值不同，多元函數(shù)的極值分為兩類：同，多元函數(shù)的極值分為兩類： 思考思考：為什么一元函數(shù)的極值沒有分類?。簽槭裁匆辉瘮?shù)的極值沒有分類！ 兩個引例中都是求多元函數(shù)的最值！為了求最值，兩個

4、引例中都是求多元函數(shù)的最值！為了求最值，先討論與最值有密切聯(lián)系的極值問題！先討論與最值有密切聯(lián)系的極值問題！的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、一、 多元函數(shù)極值的定義多元函數(shù)極值的定義注意：這里要求嚴(yán)格小于。多元函數(shù)極值的定義多元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為使函數(shù)取得極值的點稱為極值點極值點. .(1)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極小值在函數(shù))0 , 0(22yxz例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 例例4.4.的極值.xyxyxyx

5、f933),(2233定理定理1 (必要條件必要條件)函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值且在該點取得極值且在該點取得極值 , 則有則有),(),(00yxyxfz在點存在存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy 二、多元函數(shù)取得極值的條件二、多元函數(shù)取得極值的條件該定理說明偏導(dǎo)數(shù)存在并且不等于該定理說明偏導(dǎo)數(shù)存在并且不等于0的點一定不是極值！的點一定不是極值！但但不不是是極極值值點點.注：注：1 1）幾何意義）幾何意義: :極值點處的

6、切平面平行于極值點處的切平面平行于xoy平面；平面； 駐點駐點偏導(dǎo)存在的極值點偏導(dǎo)存在的極值點如何判定駐點是否為極值點？（稍后回答）如何判定駐點是否為極值點？（稍后回答）注意：注意： 2 2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點. .與一元函數(shù)類似，可能的極值點除了駐點之外，與一元函數(shù)類似，可能的極值點除了駐點之外，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點。偏導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點。如例如例2，顯然函數(shù)，顯然函數(shù)22yxz . )0 , 0(處處取取得得極極小小值值在在處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)但但函函數(shù)數(shù)在在 )0 , 0(不存在。不存在。結(jié)論：極值點必在駐點

7、和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點中！結(jié)論：極值點必在駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點中！把駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點稱為把駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點稱為可疑極值點可疑極值點.時時, 具有極值具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令令則: 1) 當(dāng)A0 時取極小值時取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)不證明，自己看第二節(jié)(P108) . 時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByx

8、fAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且且例例4.4.求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(y

9、xfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.由上例可知由上例可知: :例例5.討論函數(shù)及是否取得極值.解

10、解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz3、最值應(yīng)用問題、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點我們可以把最值問題分為兩類：偏導(dǎo)不存在的點（1 1）連續(xù)函數(shù)在）連續(xù)函數(shù)在開開區(qū)域上的最值；區(qū)域上的最值；（2 2）連續(xù)函數(shù)在）連續(xù)函數(shù)在閉閉區(qū)域上的最值：區(qū)域

11、上的最值：方法方法：將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)不存在的點處的內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)不存在的點處的方法：方法：將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在在D D的邊界的邊界函數(shù)值相互比較，函數(shù)值相互比較，其中最大者即為最大值，最其中最大者即為最大值，最小者即為最小值小者即為最小值. .上的上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最大值，最小者即為最小值. .特別特別, ,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) ) 更

12、特別的，更特別的，當(dāng)可微函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部有最值存在當(dāng)可微函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部有最值存在, ,且且只只有唯一的駐點時有唯一的駐點時，則該點必是該最值點！，則該點必是該最值點！ 例例6. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x例例7 7.解解: 設(shè)水箱長，寬，高分別為 x , y ，z ,則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?)2zxyzxyAyxA(