指數(shù)函數(shù)多項式展開及其應(yīng)用

1、合肥師范學(xué)院2013屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）學(xué)號：0907410028 本科畢業(yè)論文（設(shè)計）( 2013屆) 指數(shù)函數(shù)的多項式展開及其應(yīng)用 院 系 數(shù)學(xué)系 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名 許月 指導(dǎo)教師 齊繼兵 職 稱 講師 等 級 15摘 要指數(shù)函數(shù)是基本的初等函數(shù)，它的性質(zhì)及其多項式逼近形式應(yīng)用非常廣泛.本文將主要圍繞指數(shù)函數(shù)的多項式展開式進行研究，首先論述了指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式的概念，給出了泰勒公式的一種證明，利用MATLAB做出了指數(shù)函數(shù)與其不同多項式逼近函數(shù)的圖像，并進行了誤差分析和比較.簡要介紹了自然指數(shù)函數(shù)展開式的兩種多重分割法的概念及性質(zhì).接著又討論了指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式在求解

2、非線性發(fā)展方程，求解極限，近似估值以及在不等式證明當(dāng)中的應(yīng)用.裝訂線這些應(yīng)用反映了利用指數(shù)函數(shù)展開式及相關(guān)性質(zhì)在解決一些問題中的技巧和方法，有助于進一步深入理解指數(shù)函數(shù)及其多項式展開在解決實際問題中的重要作用.關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù) 初等函數(shù) 多項式 泰勒展開ABSTRACTExponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of properties and its application form of polynomial approximation. This paper will m

3、ainly focus on the exponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion of exponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponential function with different images of the polynomial approximation function, and the error ana

4、lysis and comparison. 裝訂線Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept of two multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponential function in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation as well as t

5、he application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the use of exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solving some problems, will help to further understand exponential and polynomial expansions important role in solving pract

6、ical problems10.Key words: exponential function elementary function polynomial Taylor expansion目 錄摘 要IABSTRACTII1引言12指數(shù)函數(shù)的多項式展開12.1函數(shù)多項式展開的概念12.2泰勒展開式的證明12.3指數(shù)函數(shù)多項式逼近圖22.4自然指數(shù)函數(shù)展開式的多重分割法53指數(shù)函數(shù)多項式展開的應(yīng)用73.1應(yīng)用指數(shù)函數(shù)展開法求解非線性發(fā)展方程73.2利用指數(shù)函數(shù)展開法求極限73.3利用指數(shù)函數(shù)展開式進行近似計算83.4利用泰勒公式證明不等式94結(jié)束語9參考文獻101 引言指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等

7、函數(shù)之一，作為常見函數(shù)，它既是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用.多項式理論在代數(shù)中也占有十分重要的地位，且在數(shù)學(xué)的各門學(xué)科中都有著廣泛的運用.關(guān)于多項式的定義，在1981年12月第一版統(tǒng)編六年制重點中學(xué)高中數(shù)學(xué)課本代數(shù)第一冊中說“一個多項式的元和系數(shù)都在實數(shù)集上取值時，這個多項式就叫做實數(shù)集上的多項式”，這個說法前一句講的是多項式函數(shù)，而后一句卻有問題，1983年11月第一版統(tǒng)編6年制重點中學(xué)高中數(shù)學(xué)課本代數(shù)第三冊把這段話刪去了，改為“以為元的一元次多項式的一般形式可以寫成這里n是確定的自然數(shù)，”裝訂線1.2 指數(shù)函數(shù)的多項式展開多項式函數(shù)是

8、各類函數(shù)中最簡單的一種，用多項式逼近函數(shù)是近似計算和理論分析的一個重要內(nèi)容.泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似的表示為簡單的多項式函數(shù)，這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)方面問題的有力杠桿.2.1 函數(shù)多項式展開的概念定義2 指數(shù)函數(shù)的多項式展開即泰勒展開，對于一般的函數(shù)，假設(shè)它在一點存在直到階的導(dǎo)數(shù)，且多項式由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成，即該式稱為函數(shù)在該點處的泰勒公式.指數(shù)函數(shù)在點處的泰勒展開式為 這里稱為佩亞諾型余項.2.2 泰勒展開式的證明泰勒公式的證明方法有許多種，本文利用最基本的方法給出泰勒公式的證明.定理2 若函數(shù)在點存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，即證明:不妨設(shè)，

9、 則只要證明又知且，因為存在，所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng)且時，允許接連使用洛必達法則次，得到 2.3 指數(shù)函數(shù)多項式逼近圖2.3.1 指數(shù)函數(shù)的多項式逼近 根據(jù)2.1可以寫出指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式為，現(xiàn)在我們利用數(shù)學(xué)作圖工具MATLAB做出指數(shù)函數(shù)與其泰勒展開式中分別取3、4、5時得到的不同的指數(shù)函數(shù)多項式逼近函數(shù)的圖像.這里為了更加清晰明了的做出誤差比較與分析，則會做出三張圖片，分別為指數(shù)函數(shù)與時得到的多項式逼近函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像比較、指數(shù)函數(shù)與時得到的多項式逼近函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像比較、指數(shù)函數(shù)與時得到的逼近函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像比較，最后將根據(jù)圖象分析

10、指數(shù)函數(shù)與其逼近函數(shù)之間的關(guān)系并做出誤差分析，得出結(jié)論3.【例1】利用MATLAB在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)、 、的圖像并做比較.解：a、與圖像的比較b、與圖像的比較c、與的圖像比較根據(jù)上述例題我們可以看出原指數(shù)函數(shù)與其不同程度的多項式逼近函數(shù)均有著某種程度的逼近，且當(dāng)?shù)娜≈挡煌瑫r原指數(shù)函數(shù)與其多項式逼近函數(shù)的逼近程度也不同.對比圖像我們可以看出在指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式中隨著取值的增大，原指數(shù)函數(shù)與其逼近函數(shù)的圖像越接近誤差越小.2.3.2 指數(shù)函數(shù)的多項式逼近同樣根據(jù)2.1的多項式展開概念，可得出指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式為.依舊利用數(shù)學(xué)作圖工具MATLAB做出指數(shù)函數(shù)與其泰勒展開式中分別取3、4、5時

11、的多項式逼近函數(shù)的函數(shù)圖.同理為了更加清晰的比較不同指數(shù)函數(shù)與它們各自的多項式逼近函數(shù)的逼近趨勢是否一致，仍舊作出三張圖片，分別為指數(shù)函數(shù)與時的多項式逼近函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像、指數(shù)函數(shù)與時的多項式逼近函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像、指數(shù)函數(shù)與時的多項式逼近函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像，做出圖像并分析圖像，得出結(jié)論3.【例2】 利用MATLAB在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)、 、的圖像并做比較.解：a、與的圖像比較b、與的圖像比較c、與的圖像比較由例題的三張圖片，三個不同程度的同一指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式的函數(shù)圖像分別與原指數(shù)函數(shù)的圖像比較我們可以看出原指數(shù)函數(shù)與其多項式逼近函數(shù)也有著某種程度的逼近，

12、而且同樣的隨著在泰勒展開式中取值的不同逼近程度也不同，隨著取值的增大，原指數(shù)函數(shù)與其逼近函數(shù)圖像越接近，即誤差越小.由2.3.1與2.3.2中的兩個例題我們可以看出原指數(shù)函數(shù)與其不同程度的多項式逼近函數(shù)有著某種程度的逼近，且隨著泰勒展開式中取值的增大，原函數(shù)與其對應(yīng)的多項式逼近函數(shù)圖像越接近，即兩個函數(shù)在同一點下的函數(shù)值越接近，誤差越小.再兩個例題進行比較可以看出上述得出的結(jié)論并不只針對某一個指數(shù)函數(shù)，它對于任何指數(shù)函數(shù)均成立，可以普遍的應(yīng)用于指數(shù)函數(shù)與其多項式逼近函數(shù)的誤差分析中4.2.4 自然指數(shù)函數(shù)展開式的多重分割法2.4.1 自然指數(shù)函數(shù)展開式的多重分割法廣義雙曲函數(shù)定義 5 形如 其

13、中均為廣義雙曲線定義5 廣義雙曲函數(shù)組的等價條件為 以及廣義雙曲函數(shù)的性質(zhì)1、時，廣義雙曲函數(shù)組構(gòu)成的m階循環(huán)行列式 2、時，廣義雙曲函數(shù)的和較恒等式 2.4.2 自然指數(shù)函數(shù)展開式的多重分割法廣義三角函數(shù)定義6 形如 其中均為廣義三角函數(shù).定義6 廣義三角函數(shù)組滿足下列常微分方程組 以及初值條件廣義三角函數(shù)的性質(zhì)1、時，廣義三角函數(shù)組構(gòu)成的m階反循環(huán)行列式2、時，廣義三角函數(shù)組的和角恒等式 3 指數(shù)函數(shù)多項式展開的應(yīng)用3.1 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)展開法求解非線性發(fā)展方程在大學(xué)課本中我們學(xué)習(xí)了非線性方程，即因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性的方程，同樣也學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)的重要分支之一的微分方程，我們將含自變量

14、、未知數(shù)和未知數(shù)微商（或偏微商）的方程稱為常（或偏）微分方程.本文將呈現(xiàn)的非線性發(fā)展方程，即為費線性且依賴與時間的方程，一般為微分方程.給定非線性方程 ， （1）為了求（1）行波解，令 ， （2）這里是非零的待定參數(shù)，（2）式帶入方程（1）進行化簡得到對應(yīng)的常微分方程 . （3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)法，假設(shè)方程有如下解的形式: （4）這里是待定常數(shù)均為待定正常數(shù).通過平衡方程式（3）最高導(dǎo)數(shù)項與最高非線性項找出和的關(guān)系.同理通過平衡方程式最低導(dǎo)數(shù)項和最低非線性項找出和的關(guān)系，進一步找出方程的新解3，利用此方法可以求解BBM方程7.BBM方程有如下的基本形式： （5）利用變換 使方程（1）式變?yōu)椋? （

15、6）利用假設(shè)條件求出： ， （7） ， （8）其中，平衡子式得：. （9）同理 ， （10） ， （11）通過平衡子式.情形1 取，從而方程（4）式變?yōu)椋海?（12）將（12）式代入方程（6）中，利用Maple計算得到：， （13）這里，令，進而可得代入（12）式，可得 . （14）(i) 令截得，從而得到兩個孤立波解： . （15）(ii) 令，這里，為待定常數(shù)，為虛數(shù)，從而得到兩個周期解： . （16）當(dāng)從而有為常數(shù)解.情形2 取，為方便起見令，從而方程（4）變?yōu)?. （17）將（17）式代入方程（6）式中利用Maple計算，有 ， （18）這里，令，從而得到，代入（17）式，可得 （19

16、）(iii) 令解得從而得到兩個孤立波解： . （20）(iv) 令，這里，為待定常數(shù)，為虛數(shù)，從而得到兩個周期解： . （21） 利用指數(shù)函數(shù)展開法求解非線性發(fā)展方程式在Maple軟件運算功能的幫助下，運用指數(shù)函數(shù)法成功得到了非線性方程的精確解，其中包括孤立波解與周期解.從而可以看出使用指數(shù)函數(shù)法求解非線性方程除了過程簡單外，結(jié)果也比較準(zhǔn)確.該方法具有普遍性，此方法還可以求解更加復(fù)雜類型的非線性發(fā)展方程.3.2 利用指數(shù)函數(shù)展開法求極限對于待定型的極限問題，一般可以采用羅比達法則來求，但是，對于一些求導(dǎo)比較繁瑣，特別是要多次使用羅比達法則的情況，泰勒公式往往是比洛比達法則更為有效的求極限工具

17、.利用泰勒公式求極限，一般用麥克勞林公式形式，并采用佩亞諾型余項.當(dāng)極限式為分式時，一般要求分子分母展開成同一階的麥克勞林公式，通過比較求出極限8.【例3】 求極限.分析：該題為型極限,若用羅比達法求解，則很麻煩,這時可將用其多項式展開式代替,則可化簡被求方程式.解：由得于是 由題目我們可以看出，它其實也可以用羅比達法則，但是使用羅比達法則我們必須求導(dǎo)4次，為了簡化解題過程，本題選擇了泰勒展開法，而帶有佩亞諾型余項的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個非常有力的工具 ,運用得當(dāng)會使求函數(shù)的極限變得十分簡單.【例4】 求極限.分析：此為型極限,若用羅比達法求解，則很麻煩,這時可將和, 分別用泰勒展開式代替

18、,則可化簡被求方程式.解： 于是本題的極限式為分式，也可利用羅比達法則，但那樣將會使解題過程復(fù)雜化，解題的過程中也很容易出錯.為了簡化求極限過程本題選擇了泰勒展開法，將，分別泰勒展開為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式，且保持分子與分母同階，這樣只需簡單的幾步就求出了極限值.3.3 利用指數(shù)函數(shù)展開式進行近似計算 利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為，其誤差是余項.必須注意，泰勒公式只是一種局部性質(zhì)，因此在用它進行近似計算時，不能遠(yuǎn)離，否則效果會比較差，甚至產(chǎn)生完全錯誤的結(jié)果8.【例5】 求的近似值,精確到.分析：因為的原函數(shù)不存在（即不能用

19、初等函數(shù)表達）,現(xiàn)用泰勒展開式的方法求的近似值.解：將進行泰勒展開得，逐項積分得 上式右端為一個收斂的交錯級數(shù),由其余項的估計式知所以對與類似的定積分求近似值，由于被積函數(shù)的原函數(shù)不存在無法完成積分過程，則求不出積分值，此時利用泰勒展開法將被積函數(shù)化成多項式函數(shù)，將其多項式逼近函數(shù)帶入積分得出原函數(shù)的近似值，這樣既簡化了求解過程又得出的結(jié)果.【例6】 用的10次泰勒多項式求的近似值，并估計誤差.分析：為求得近似值先求得10次泰勒展開式，求得近似值即求得近似值，利用的麥克勞林展開得到的近似計算式，然后取求出的近似值，即的近似值.解：在的泰勒公式中取,則有由于的精確度值，可以看出這么算得的結(jié)果是比

20、較準(zhǔn)確的.關(guān)于計算的誤差，則有如下的估計 求解為底的指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)在某點的近似值時，利用泰勒展開法求出其原函數(shù)的近似式進而求出其在改點出的近似值，該方法簡捷明了具有一定的普遍性，可廣泛運用與其它的解題過程中.3.4 利用泰勒公式證明不等式關(guān)于不等式的證明，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種方法，如利用拉格朗日中值定理來證明不等式，利用函數(shù)的凸性來證明不等式，以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法，但對于一些特殊的不等式證明可能使用上述證明方法并不能很好的運用，此時不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替，往往能夠使證明過程更加方便簡捷9.【例7】當(dāng)時，證明.證明：取，則帶入泰勒公式，其中

21、，得，其中故當(dāng)時，4 結(jié)束語通過大學(xué)對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，我們了解了指數(shù)函數(shù)的多項式展開即泰勒展開，并且我們可以了解到泰勒展開對多種函數(shù)均成立，且可應(yīng)用于多種解題過程中.而本文則主要圍繞指數(shù)函數(shù)的多項式展開及其應(yīng)用，即應(yīng)用指數(shù)函數(shù)展開法求解非線性發(fā)展方程、利用指數(shù)函數(shù)展開法求極限、利用指數(shù)函數(shù)展開式進行近似計算、利用指數(shù)函數(shù)證明不等式.并簡要介紹了自然指數(shù)函數(shù)展開式的多重分割法廣義雙曲函數(shù)、自然指數(shù)函數(shù)展開式的多重分割法廣義三角函數(shù)的概念及性質(zhì).這肯定不會是指數(shù)函數(shù)的多項式展開的全部應(yīng)用，它肯定還有其他方面的應(yīng)用，這還有待于我們進一步探索研究.經(jīng)過幾個月的學(xué)習(xí)和工作，我終于完成了本篇論文.從開始拿到論文題目到系統(tǒng)的實現(xiàn)，再到論文文章的完成，每走一步對我來說都是新的嘗試與挑戰(zhàn)，這也是我在大學(xué)期間獨立完成的最大的項目.雖然我的論文作品并不夠成熟，還有很多不足之處，但我可以自豪的說，這里面的每一個文字都是我仔細(xì)推敲后得到的.這次做論文的經(jīng)歷也會使我終