二階常微分方程解

1、第七節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程的解法在上節(jié)我們已經(jīng)討論了二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問題，關(guān)鍵在于如何求二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。本節(jié)討論二階線性方程的一個特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其求解方法。先討論二階常系數(shù)線性齊次方程的求解方法。§7.1 二階常系數(shù)線性齊次方程及其求解方法設(shè)給定一常系數(shù)二階線性齊次方程為 pqy0 (7.1) 其中p、q是常數(shù)，由上節(jié)定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意兩個線性無關(guān)的特解y1,y就可以了，下面討論這樣兩個特解的求法。我們先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，從方程的形式上來看，它的

2、特點是，y各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個函數(shù)y，其，y之間只相差一個常數(shù)因子，這樣的函數(shù)有可能是方程(7.1)的特解，在初等函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)erx，符合上述要求，于是我們令 yerx(其中r為待定常數(shù))來試解將yerx，rerx，r2erx代入方程(7.1)得 r2erxprerxqerx0或 erx（r2prq）0因為erx0，故得 r2prq0由此可見，若r是二次方程 r2prq0 (7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解問題，就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程(7.2)的根問題。稱(7.2)式為微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一個以r為未

3、知函數(shù)的一元二次代數(shù)方程。特征方程的兩個根r，r2，稱為特征根，由代數(shù)知識，特征根r1，r2有三種可能的情況，下面我們分別進行討論。(1)若特證方程(7.2)有兩個不相等的實根r，r2，此時erx，er2x是方程(7.1)的兩個特解。因為 e常數(shù)所以er1x，er2x為線性無關(guān)函數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(7.1)的通解為yC1er1xC2er2x(2)若特征方程(7.2)有兩個相等的實根r1r2，此時p24q0，即有r1r2，這樣只能得到方程(7.1)的一個特解yerx，因此，我們還要設(shè)法找出另一個滿足常數(shù)，的特解y2，故應(yīng)是x的某個函數(shù)，設(shè)u，其中uu(x)為待定函數(shù)，即 y2uy1uer

4、x對y2求一階，二階導(dǎo)數(shù)得 er1xruer1x(r1u)er1x (r2u2r1)er1x將它們代入方程(7.1)得 (r21ur1)er1xp(r1u)er1xquer1x0或 (2r1p) (rpr1q)uer1x0因為er1x0，且因r1是特征方程的根，故有rprq0，又因r1故有2r1p0，于是上式成為 0顯然滿足0的函數(shù)很多，我們?nèi)∑渲凶詈唵蔚囊粋€ u(x)x則y2xerx是方程(7.1)的另一個特解，且y1，y2是兩個線性無關(guān)的函數(shù)，所以方程(7.1)的通解是 yC1er1xC2xer1x(C1C2x)er1x (3)若特征方程(7.2)有一對共軛復(fù)根 r1i，r2i此時方程(7

5、.1)有兩個特解 y1e(i)x y2e（i）x則通解為 yC1e（i）xC2e（i）x其中C1，C2為任意常數(shù)，但是這種復(fù)數(shù)形式的解，在應(yīng)用上不方便。在實際問題中，常常需要實數(shù)形式的通解，為此利用歐拉公式 eixcosxisinx，eixcosxisinx有 (eixeix)cosx (eixeix)sinx (y1y)ex(eixeix)excosx (y1y2)ex(eixeix)exsinx由上節(jié)定理一知， (y1y2)， (y1y2)是方程(7.1)的兩個特解，也即excosx，exsinx是方程(7.1)的兩個特解：且它們線性無關(guān)，由上節(jié)定理二知，方程(7.1)的通解為 yC1ex

6、cosxC2exsinx或 yex(C1cosxC2sinx)其中C1，C2為任意常數(shù)，至此我們已找到了實數(shù)形式的通解，其中，分別是特征方程(7.2)復(fù)數(shù)根的實部和虛部。綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程(7.1)的通解，只須先求出其特征方程(7.2)的根，再根據(jù)他的三種情況確定其通解，現(xiàn)列表如下特征方程r2prq0的根微分方程pqy0的通解有二個不相等的實根r1，r2yC1er1xC2er2x有二重根r1r2y(C1C2x)er1x有一對共軛復(fù)根yex(C1cosxC2sinx)例1. 求下列二階常系數(shù)線性齊次方程的通解 (1) 3y0(2) 44y0(3) 47y0解 (1)特征方程r23

7、r100有兩個不相等的實根 r15，r22所求方程的通解 yC1e5rC2e2x(2)特征方程r24r40，有兩重根 r1r22所求方程的通解y(C1C2x)e2x(3)特征方程r24r70有一對共軛復(fù)根 r12i r22i所求方程的通解 ye2x(C1cosxC2sinx)§7.2 二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法由上節(jié)線性微分方程的結(jié)構(gòu)定理可知，求二階常系數(shù)線性非齊次方程 pqyf(x) (7.3)的通解，只要先求出其對應(yīng)的齊次方程的通解，再求出其一個特解，而后相加就得到非齊次方程的通解，而且對應(yīng)的齊次方程的通解的解法，前面已經(jīng)解決，因此下面要解決的問題是求方程(7.3)的一個特解

8、。方程(7.3)的特解形式，與方程右邊的f(x)有關(guān)，這里只就f(x)的兩種常見的形式進行討論。一、f(x)pn(x)ex，其中pn(x)是n次多項式，我們先討論當(dāng)0時，即當(dāng)f(x)pn（x）時方程 pqypn(x) (7.4)的一個特解。(1)如果q0，我們總可以求得一n次多項式滿足此方程，事實上，可設(shè)特解Qn(x)a0xna1xn1an，其中a0，a1，an是待定常數(shù)，將及其導(dǎo)數(shù)代入方程(7.4)，得方程左右兩邊都是n次多項式，比較兩邊x的同次冪系數(shù)，就可確定常數(shù)a0，a1，an。例1. 求2yx23的一個特解。解 自由項f(x)x23是一個二次多項式，又q20，則可設(shè)方程的特解為 a0x

9、2a1xa2求導(dǎo)數(shù) 2a0xa1 2a0代入方程有2a0x2(2a02a1)x（2a0a12a）x23比較同次冪系數(shù) 解得 所以特解x2x(2)如果q0，而p0，由于多項式求導(dǎo)一次，其次數(shù)要降低一次，此時Qn(x)不能滿足方程，但它可以被一個(n1)次多項式所滿足，此時我們可設(shè) xQn(x)a0xn1a1xnanx代入方程(7.4)，比較兩邊系數(shù)，就可確定常數(shù)a0，a1，an。例2. 求方程43x22的一個特解。解 自由項 f(x)3x22是一個二次多項式，又q0，p0，故設(shè)特解 a0x3a1x2a2x求導(dǎo)數(shù) 3a0x22a1xa2 6a0x2a1代入方程得12a0x2（8a16a0）x（a1

10、4a2）3x22，比較兩邊同次冪的系數(shù) 解得 所求方程的特解 x3x2x(3)如果p0，q0，則方程變?yōu)閜n(x)，此時特解是一個(n2)次多項式，可設(shè)x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通過兩次積分求得。下面討論當(dāng)0時，即當(dāng)f(x)pn(x)ex時方程 pqypn(x)ex (7.5)的一個特解的求法，方程(7.5)與方程(7.4)相比，只是其自由項中多了一個指數(shù)函數(shù)因子ex，如果能通過變量代換將因子ex去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，問題即可解決，為此設(shè)yuex，其中uu(x)是待定函數(shù)，對yuex，求導(dǎo)得exuex求二階導(dǎo)數(shù) ex2ex2uex代入方程(7.5)得 ex22

11、upexuquexpn(x)ex消去ex得 (2p) (2pq)upn（x） (7.6)由于(7.6)式與(7.4)形式一致，于是按(7.4)的結(jié)論有：(1)如果2pq0，即不是特征方程r2prq0的根，則可設(shè)(7.6)的特解un(x)，從而可設(shè)(7.5)的特解為 Qn(x)ex (2)如果2pq0，而p0，即是特征方程r2prq0的單根，則可設(shè)(7.6)的特解uxQn(x)，從而可設(shè)(7.5)的特解為 xQn(x)ex (3)如果r2pq0，且p0，此時是特征方程r2prq0的重根，則可設(shè)(7.6)的特解ux2Qn(x)，從而可設(shè)(7.5)的特解為 x2Qn(x)ex 例3. 求下列方程具有

12、什么樣形式的特解 (1)56ye3x(2) 56y3xe2x(3) y(3x21)ex解 (1)因3不是特征方程r25r60的根，故方程具有形如a0e3x的特解。 (2)因2是特征方程r25r60的單根，故方程具有形如 x(a0xa1)e2x的特解。 (3)因1是特征方程r22r10的二重根，所以方程具有形如 x2(a0x2a1xa)ex的特解。例4. 求方程y(x2)e3x的通解。解 特征方程 r10 特征根 r±i得，對應(yīng)的齊次方程y0的通解為 YC1cosxCsinx由于3不是特征方程的根，又pn(x)x2為一次多項式，令原方程的特解為 (a0xa1)e3x此時ua0xa1，3

13、，p0，q1，求u關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)a0，0，代入(p) (2pq)u(x2)得： 10a0x10a16a0x2比較兩邊x的同次冪的系數(shù)有 解得 a0，a1于是，得到原方程的一個特解為 (x)e3x所以原方程的通解是 yYC1cosxC2sinx（x）e3x例5. 求方程23y(x1)ex的通解。解 特征方程 r22r30特征根 r11，r23所以原方程對應(yīng)的齊次方程23y0的通解YC1exC2e3x,由于1是特征方程的單根，又pn(x)x21為二次多項式，令原方程的特解 x(a0x2a1xa2)ex此時 ua0x3a1x2a2x，1，p2，q3對u關(guān)于x求導(dǎo) 3a0x22a1xa2 6a0x2a1

14、代入(2p) (2prq)ux21，得12a0x2(6a08a)x2a14ax21比較x的同次冪的系數(shù)有 解得 故所求的非齊次方程的一個特解為 ()ex 二、f(x)pn(x)excosx或pn（x）exsinx，即求形如 pqypn(x)excosx (7.7) pqypn(x)exsinx (7.8)這兩種方程的特解。由歐拉公式知道，pn（x）excosx，pn(x)exsinx分別是函數(shù)pn(x)e（i）x的實部和虛部。我們先考慮方程 pqypn（x）e（i）x (7.9)方程(7.9)與方程(7.5)類型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面討論。 由上節(jié)定理五知道，方程(7.9)

15、的特解的實部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虛部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一個特解，然而取其實部或虛部即可得方程(7.7)或(7.8)的一個特解。注意到方程(7.9)的指數(shù)函數(shù)e（i）x中的i(0)是復(fù)數(shù)，而特征方程是實系數(shù)的二次方程，所以i最多只能是它的單根。因此方程(7.9)的特解形為Qn(x)e（i）x或xn(x)e（i）x。例6. 求方程yexcos2x的通解。解 特征方程 r210 特征根 r11，r21于是原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為 YC1exC2ex為求原方程的一個特解。先求方程ye（2i）x的一個特解，由于12i不是特征方程的根

16、，且pn(x)為零次多項式，故可設(shè)ua0，此時(12i)，p0，q1代入方程(2p) (2pq)u1得（2i）21a01 ，即(4i4)a01，得 a0 (i1)這樣得到y(tǒng)e（2i）x的一個特解 y (i1)e（2i）x由歐拉公式y(tǒng) (i1)e（2i）x (i1)ex(cosxisin2x) ex（cos2xsin2x）i(cos2xsin2x)取其實部得原方程的一個特解 ex(cosxsin2x)故原方程的通解為 yYC1exC2exex(cos2xsin2x) 例7. 求方程y(x2)e3xxsinx的通解。解 由上節(jié)定理三，定理四，本題的通解只要分別求y0的特解Y， y(x2)e3x的一

17、個特解， yxsinx的一個特解然而相加即可得原方程的通解，由本節(jié)例4有 YC1cosxC2sinx，(x)e3x下面求，為求先求方程 yxeix由于i是特征方程的單根，且pn（x)x為一次式，故可設(shè)ux(a0xa1)a0x2a1x，此時i，p0，q1，對u求導(dǎo) 2a0xa1，2a0代入方程 (2p) (2pq)ux得 2a2i(2a0xa1)0x即 4ia0x2ia12a0x比較x的同次冪的系數(shù)有： 得 即方程yxeix的一個特解 (x2x)eix (x2)(cosxisinx) (x2sinxxcosx)i(x2cosxxsinx)取其虛部，得x2cosxxsinx所以，所求方程的通解y

18、Y C1cosxC2sinx()exxcosxxsinx綜上所述，對于二階常系數(shù)線性非齊次方程 pqyf(x)當(dāng)自由項f(x)為上述所列三種特殊形式時，其特解可用待定系數(shù)法求得，其特解形式列表如下：自由項f(x)形式特解形式f(x)pn(x)當(dāng)q0時Qn(x)當(dāng)q0,p0時Qn(x)當(dāng)q0,p0時x2Qn(x)f(x)pn（x）ex當(dāng)不是特征方程根時Qn(x)ex當(dāng)是特征方程單根時xQn(x)ex當(dāng)是特征方程重根時x2Qn(x)exf(x)pn(x)excosx或 f(x)pn(x)exsinx利用歐拉公式eixcosxisinx，化為f(x)pn(x)e（i）x的形式求特解，再分別取其實部或虛部 以上求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解的方法，當(dāng)然可以用于一階，也可以推廣到高階的情況。例8. 求y3y3yyex的通解解 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 r33r23r10 r1r2r31所求齊次方程的通解Y(C1C2xC3x2)ex由于1不是特征方程的根因此方程的特解a0ex代入方程可解得a0故所求方程的通解為yY(C1C2xC3x2)exex。§7.3 歐拉方程下述n階線性微分方程 a0xna1xn1an1xanyf(x)稱為歐拉方程，其中a0，a1，an都是常數(shù)，f(x)是已知函數(shù)。歐拉方程可通過變量替換化為常系數(shù)線性方程。下面以二階為例說明。對于二階歐拉方程 a0x2