(完整word版)函數(shù)單調(diào)性的判定方法(高中數(shù)學(xué))

1、小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家1龍文教育教卿對函數(shù)單調(diào)性的判定方法學(xué)生：日期；課時：教師:1.判斷具體函數(shù)單調(diào)性的方法1.11.1 定義法一般地，設(shè)f為定義在D上的函數(shù)。若對任何、x2D，當(dāng)x1x2時，總有(1)(1)f(X1)f(X2)，則稱f為D上的增函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等函數(shù);f(xjf(x2), ,則稱f為D上的減函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等式f(xj f (X2)時，稱f為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。利用定義來證明函數(shù)yf(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:(1)(1)設(shè)元，任取X1, ,x2D且x1x2；(2)(2) 作差f (X1) f (X2)；(3)(3) 變形(普遍是因式

2、分解和配方)；(4)(4)斷號(即判斷f(X1)f(X2)差與 0 0 的大小)；(5)(5) 定論(即指出函數(shù)f(X)在給定的區(qū)間 D D 上的單調(diào)性)。例 1.1.用定義證明f(x)x3a(a R)在(，)上是減函數(shù)。證明：設(shè)x1, ,x2(,)，且X-!x2，貝Uf (X1)f (X2)3X1a(X；a) x；x；(X2X1)(x；2X2X1X2).由于X12X；x1x2(x1X2)22)320-X20,X24X10則f(x1)f (X2)(X2X1)(X2x；x1x2)0，即f (X1)f(X2)，所以f (X)在,上是減函數(shù)。f(X1)f(X2)時，稱f為D上的嚴(yán)格增2XiX2XiX

3、2kk(二2)(XiX2)(亠)，XiX2XiX2X-|X20,f(Xi) f (X2) 0,此時函數(shù)f (X)為減函數(shù)；f(xi) f(x2) 0,此時函數(shù)f (X)為增函數(shù)。k綜上函數(shù)f(x) X (k 0)在區(qū)間(ok內(nèi)為減函數(shù)；在區(qū)間(.k,)內(nèi)為增函數(shù)。X此題函數(shù)f(x)是一種特殊函數(shù)(對號函數(shù))，用定義法證明時通常需要進(jìn)行因式分解，由于大小關(guān)系(k 0)不是明確的，因此要分段討論。用定義法判定函數(shù)單調(diào)性比較適用于那種對于定義域內(nèi)任意兩個數(shù)f(X2)大小關(guān)系的函數(shù)。在解決問題時，定義法是最直接的方法，也是我們首先考慮的方法，雖說這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣。i.2i.2

4、函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法是用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。函數(shù)性質(zhì)法通常與我們常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合起來使用。對于一些常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性如下表:函數(shù)函數(shù)表達(dá)式單調(diào)區(qū)間特殊函數(shù)圖像次 函 數(shù)y kx b(k 0)當(dāng)k 0時，y在 R R 上是增函數(shù)；當(dāng)k 0時，y在 R R 上是減函數(shù)。JZ龍文教育小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家例 2.2.用定義證明函數(shù)f(x)Xk(kX0)在(0,證明：設(shè)xi、X2(0,)，且XiX2，則)上的單調(diào)性。(XiX2)(一Xif(Xi) f(X2)(Xi)(X2Xik)kX2(XiX2)X2Xik(二丄)(XiXiX2X2)又0XiX2所以X

5、iX20，當(dāng)X、X2(0, . k時xix2k0當(dāng)xi、X2(.k,)時xix2k 0 xiX2k與 0 0 的Xi，X2當(dāng)XiX2時，容易得出f (Xi)與E龍文教育小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家3一些常用的關(guān)于函數(shù)單調(diào)的性質(zhì)可總結(jié)如下幾個結(jié)論：.f(x)與f(x)+ +C單調(diào)性相同。(C為常數(shù))當(dāng)k 0時，f(x)與kf(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)k 0時，f(x)與kf (x)具有相反的單調(diào)性。1當(dāng)f(x)恒不等于零時，f (x)與具有相反的單調(diào)性。f(x).當(dāng)f (x)、g(x)在D上都是增(減)函數(shù)時，則f (x)+g(x)在D上是增(減)函數(shù)。.當(dāng)f(x)、g(x)在D上都

6、是增(減)函數(shù)且兩者都恒大于 0 0 時，f(x) g(x)在D上是增(減)函數(shù)；當(dāng)f (x)、二次函數(shù)y ax bx c(a0, a, b, c R)反比例函數(shù)ky -x(k R且k 0)指數(shù)函數(shù)xy a(a 0,a1)當(dāng)a 0時，x時y單調(diào)減，2ax時y單調(diào)增；2a當(dāng)a 0時，x時y單調(diào)增，2abx時y單調(diào)減。2a當(dāng)k 0時，y在x 0時單調(diào)減，在x 0時單調(diào)減；當(dāng)k 0時，y在x 0時單調(diào)增，在x 0時單調(diào)增。當(dāng)a 1時，y在 R R 上是增函數(shù)；當(dāng)0 a 1，時y在 R R 上是減函數(shù)。Y i1A. :八/、.F對數(shù)函數(shù)y logax(a 0,a1)當(dāng)a 1時，y在(0,)上是增函數(shù)；

7、當(dāng)0 a 1時，y在(0,)上是減函數(shù)。E龍文教育小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家4g(x)在D上都是增(減)函數(shù)且兩者都恒小于0 0 時，f (x) g(x)在D上是減(增)函數(shù)。設(shè)y f(x), ,x D為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f1，且f1在其定義域f (D)上也是嚴(yán)格增(減)小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家5龍文教育教卿對1函數(shù)。例 3 3 判斷f(x) x x3log2x32x1(x21) 5的單調(diào)性。解: :函數(shù)f (x)的定義域為(0,)，由簡單函數(shù)的單調(diào)性知在此定義域內(nèi)x,x3,log2x3均為增函數(shù)，因為2x 10, ,x21 0由性質(zhì)可得2x1(x2

8、1)也是增函數(shù)；由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)知x x3log2x為增函數(shù), 再由性質(zhì)知函數(shù)f(x) xx3log2x32x 1(x21)+5+5 在(0,)為單調(diào)遞增函數(shù)。x a例 4 4 設(shè)函數(shù)f(x)(a b 0)，判斷f(x)在其定義域上的單調(diào)性。x bx a解: :函數(shù)f(x)的定義域為(，b)(b,) 先判斷f (x)在(b,)內(nèi)的單調(diào)性，由題可把f(x)xa轉(zhuǎn)化為f(x)1ab，又a b0故a b 0由xbxb性質(zhì)可得1a b1為減函數(shù)；由性質(zhì)可得a b為減函數(shù)；再由性質(zhì)可得f(x)1a b在(b,)內(nèi)是減函x bx bx b數(shù)。同理可判斷f(x)在(,b)內(nèi)也是減函數(shù)。故函數(shù)f(x)處在(，

9、b)( b,)內(nèi)是減函數(shù)。x b函數(shù)性質(zhì)法只能借助于我們熟悉的單調(diào)函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，因此首先把函數(shù)等價地轉(zhuǎn)化成我們熟悉的單調(diào)函數(shù)的四則混合運(yùn)算的形式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡單單調(diào)函數(shù)四則混合運(yùn)算形式就不能采用這種方法。1.31.3 圖像法用函數(shù)圖像來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫圖像法。根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征，若函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間I上從左往右逐漸上升則函數(shù)f (x)在區(qū)間I上是增函數(shù)；若函數(shù)f (x)圖像在區(qū)間I上從左往右逐漸下降則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)。、小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家6例 5.5.如圖 1-11-1 是定義在閉區(qū)間-5

10、,5-5,5f (x)的圖像，試判斷其單調(diào)性。解：由圖像可知：函數(shù)yf (x)的單調(diào)區(qū)間有-5,-2-5,-2 ),),-2,1-2,1)，1,31,3)，3,53,5). .其中函數(shù)y f(x)在區(qū)間-5,-2-5,-2)，上的函數(shù)y小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家71,31,3)上的圖像是從左往右逐漸下降的， 貝U函數(shù)y f(x)在區(qū)間-5,-2-5,-2 ),1,31,3)為減函數(shù)；函數(shù)y f(x)在區(qū)間-2,1-2,1),3,53,5上的圖像是從往右逐漸上升的，則函數(shù)y f(x)在區(qū)間-2,1-2,1 ), 3,53,5上是增函數(shù)。例 6 6 利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)f(x) x

11、1;g(x) 2x;h(x)2xx 1在-3,3-3,3上的單調(diào)性。分析：觀察三個函數(shù)，易見h(x) f (x) g(x)，作圖一般步驟為列表、描點(diǎn)、作圖。首先作出f(x) x 1和g(x) 2x的圖像，再利用物理學(xué)上波的疊加就可以大致作出h(x) 2xx 1的圖像，最后利用圖像判斷函數(shù)h(x)2xx 1的單調(diào)性。解：作圖像 1-21-2 如下所示：由以上函數(shù)圖像得知函數(shù)f(x) x 1在閉區(qū)間-3,3-3,3上是單調(diào)增函數(shù)；g(x)2x在閉區(qū)間-3,3-3,3上是單調(diào)增函數(shù)；利用物理上波的疊加可以直接大致作出h(x) 2xx 1在閉區(qū)間-3,3-3,3上圖像，即h(x) 2xx 1在閉區(qū)間-

12、3,3-3,3上是單調(diào)增函數(shù)。事實(shí)上本題中的三個函數(shù)也可以直接用 函數(shù)性質(zhì)法判斷其單調(diào)性。用函數(shù)圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性比較直觀，函數(shù)圖像能夠形象的表示出隨著自變量的增加，相應(yīng)的函數(shù)值的 變化趨勢，但作圖通常較煩。對于較容易作出圖像的函數(shù)用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來 大致畫出圖像。而對于不易作圖的函數(shù)就不太適用了。 但如果我們借助于相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件去作函數(shù)的圖像， 那 么用圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性是非常簡單方便的。1.41.4 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法定理 1 1：若函數(shù)y f(u)在U內(nèi)單調(diào)，u g(x)在X內(nèi)單調(diào)，且集合 ulu g(x),x X U(1(1)若y f (u)是增函數(shù)，

13、u g(x)是增(減)函數(shù)，貝U y fg(x)是增(減)函數(shù)。(2 2)若y f (u)是仗） =2A龍文教育V教郵叩小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家8減函數(shù)，u g(x)是增(減)函數(shù)，貝U y fg(x)是減(增)函數(shù)。歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減(同增異減)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下：函數(shù)、單調(diào)性第種情形第種情形第種情形第種情形內(nèi)層函數(shù)u g(x)外層函數(shù)y f(u)復(fù)合函數(shù)y fg(x)顯然對于大于 2 2 次的復(fù)合函數(shù)此法也成立。推論：若函數(shù)y f (x)是 K(KK(K 2),2),K N) )個單調(diào)函數(shù)復(fù)合而成其中有m K個減函數(shù):1當(dāng) m 2k 1 時

14、，則 y f(x)是減函數(shù)；2當(dāng) m 2k 時，則 yf (x)是增函數(shù)。判斷復(fù)合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)性的一般步驟：合理地分解成兩個基本初等函數(shù)y f (u), u g(x)；分別解出兩個基本初等函數(shù)的定義域；分別確定單調(diào)區(qū)間；若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是同時單調(diào)遞增或同單調(diào)遞減，則y fg(x)為增函數(shù)，若為一增一減，則y fg(x)為減函數(shù)(同增異減)；求出相應(yīng)區(qū)間的交集，既是復(fù)合函數(shù)y fg(x)的單調(diào)區(qū)間。以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題。例 7.7.求f(x) loga(3x25x 2)(a

15、 0且a 1)的單調(diào)區(qū)間。解：由題可得函數(shù)f(x) loga(3x25x 2)是由外函數(shù)y logau和內(nèi)函數(shù)u 3x25x 2符合而成。小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家A龍文教育V教郵叩9121由題知函數(shù)f(x)的定義域是(，2)(,)。內(nèi)函數(shù)u 3x25x 2在(一，)內(nèi)為增函數(shù)，在(,2)33內(nèi)為減函數(shù)。1若a 1，外函數(shù)y logau為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)f(x)在(-)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)3，在，2上是減函數(shù)。2若0 a 1，外函數(shù)y logau為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)f(x)在(丄)上是減函數(shù)；函數(shù)3，f (x)在，2上是增函數(shù)。2 2.判斷抽象函數(shù)單

16、調(diào)性的方法如果一個函數(shù)沒有給出具體解析式，那么這樣的的函數(shù)叫做抽象函數(shù)。抽象函數(shù)沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的信息。2.12.1 定義法通過作差( (或者作商) )，根據(jù)題目提出的信息進(jìn)行變形，然后與 0 0 (或者 1 1)比較大小關(guān)系來判斷其函數(shù)單調(diào)性。通常有以下幾種方法：2.1.12.1.1 湊差法根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，設(shè)法從題目中“湊出”“f (x1) f(x2)”的形式，然后比較f (x1) f (x2)與 0 0 的大小關(guān)系。例 11.11.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(m n) f(m) f(n)，且當(dāng)m 0時，f(m) 0,試討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性。解：

17、由題得f (m n) f (m) f (n),令洛m n, X2m，且x1x2,n冷x?0又由題意當(dāng)m0時，f(m) 0f (x1)f (x2)f (n)0，所以函數(shù)f (x)為增函數(shù)。2.1.22.1.2 添項法弄清題目中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用加減添項或乘除添項，以達(dá)到能判斷“f(x2) f (x1)”與 0 0 大小關(guān)系的目的。A龍文教育V教郵叩小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家10例 12.12.(同例 1111)A龍文教育V教郵叩11解: :任取x1, x2R,x1x2，則x2x10,f(x2)f (x1)f(x2xjxjf(xj由題意函數(shù)f (x)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(m n) f

18、(m) f(n)，且當(dāng)m 0時,f(m) 0f(X2)f(xj f(X2xj 0,所以函數(shù)f (x)為增函數(shù)。2.1.32.1.3 增量法由單調(diào)性的定義出發(fā)，任取X1,X2R,X1X2設(shè)X2X1(0), ,然后聯(lián)系題目提取的信息給出解答。例 13.13.(同例1111)解：任取X1,X2R,X1X2設(shè)X2X1(0)由題意函數(shù)f (X)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f (m n)f (m)f (n),f (X2)f(xjf (X1)f (X1) f ()，又由題當(dāng)m 0時，f(m) 0f (X2)f (X1)f( ) 0(0)，所以函數(shù)f (x)為增函數(shù)。2.1.42.1.4 放縮法利用放縮法，判斷f(x

19、j與f(X2)的大小關(guān)系，從而得f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。例 14.14.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0 0, + +8),對任意正實(shí)數(shù)m、n均有f(mn)f(m)f (n)，且當(dāng)m 1時0 f(m) 1，判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性. .解：設(shè)0 x1x2，則生1又當(dāng)m 1時0 f (m)1，故0X12)1X1A龍文教育V教郵叩小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家12小初高 1 1 對 1 1 課外輔導(dǎo)專家f(xj- -f(X2)與 0 0 大小關(guān)系的函數(shù)。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添 項法、增量法、放縮法等恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ墒菇忸}過程更加簡單方便。2.22.2 列表法對于比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，除了用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法外，還可以用列表，將各個函數(shù)的單調(diào)性都列出來，然后再判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性。例 15.15.已知y f (x)在 R R 上是偶函數(shù)，且在0,+0,+)上是增函數(shù)，求f(2 X2)是減函數(shù)的區(qū)間解：列表如下函數(shù)表達(dá)式單調(diào)性(,V2)2,0)02)J2 )c2y 2 xy f(u)2y f(2 x )2