2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題雙規(guī)范案例之——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題

1、2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題雙規(guī)范案例之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題1.已知函數(shù)f(x)=x(ex+1),(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程.(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-aex-x,求函數(shù)g(x)在1,2上的最大值.【解析】(1)因?yàn)閒(0)=0,故所求切線方程為y=2x.(2)依題意,g(x)=(x-a+1)ex,令g(x)=0得x=a-1,所以當(dāng)a-11時(shí),即a2時(shí),x1,2時(shí),g(x)0恒成立,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)最大值為g(2)=(2-a)e2;當(dāng)a-12時(shí),即a3時(shí),x1,2時(shí),g(x)0恒成立,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)最大值為g(1)=(1-a)e;

2、當(dāng)1<a-1<2時(shí),即2<a<3時(shí),x1,a-1)時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞減;x(a-1,2)時(shí),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x1,2時(shí),g(x)最大值為g(1)或g(2).g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e2,g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以當(dāng)3>a = 時(shí),g(1)-g(2)0,g(x)max=g(1)=(1-a)e,當(dāng)2<a< = 時(shí),g(1)-g(2)<0,g(x)max=g(2)=(2-a)e2.綜上可得:當(dāng)a 時(shí),g(x)max=g(1)=(1-a

3、)e.當(dāng)a< 時(shí),g(x)max=g(2)=(2-a)e2.2.已知函數(shù)f(x)= -2ln x(aR,a0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),且a=e2,證明:x1+x2>2e.【解析】(1)f(x)= - ,(x>0),當(dāng)a<0時(shí),f(x)<0,知f(x)在(0,+)上是遞減的;當(dāng)a>0時(shí),f(x)= ,知f(x)在(0, )上是遞減的,在( ,+)上是遞增的.(2)由(1)知,a>0,f(x)min=f( )=1-ln a,依題意1-ln a<0,即a>e,由a=e2得,f

4、(x)= -2ln x(x>0),x1(0,e),x2(e,+),由f(2e)=4-2ln 2>0及f(x2)=0得,x2<2e,即x2(e,2e),欲證x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上是遞減的,且f(x1)=0,只要證明f(2e-x2)>0即可,由f(x2)= -2ln x2=0得 =2e2ln x2,所以f(2e-x2)= -2ln(2e-x2)= -2ln(2e-x2)= -2ln(2e-x2)=4- +2ln x2-2ln(2e-x2),x2(e,2e),令g(t)=4- +2ln t-2ln(2e-t),t(e,2e),則g(t)=- + + = >0,知