(完整word版)拋物線及其性質(zhì)知識點大全

1、1拋物線及其性質(zhì)1 .拋物線定義：平面內(nèi)到一定點 F 和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.2.拋物線四種標準方程的幾何性質(zhì)：圖形井參數(shù) p 幾何意義參數(shù) p 表示焦點到準線的距離，p 越大，開口越闊開口方向右左上下標準方程2y =2px(p0)2y =-2px(p0)2x =2py(p0)2X =-2py(p0)焦點位置X 正X 負Y 正Y 負焦點坐標(f.0)(f,0)2(0昴(0, p)2準線方程px =-2px =2ppr范圍x工0,嚴Rx蘭0,瀘Ry K0,x Ry蘭0八R對稱軸X 軸X 軸Y 軸Y 軸頂點坐標(0,0)離心率e = 1通徑2p焦半徑A(Xi,yJAF =%

2、+R2A-x1+2AF號焦點弦長AB|(X1+X2) + p(X1+X2)+ P(屮+y2)+p(屮 +y2)+p焦點弦長AB的補充A(Xi,yi)B(X2, y2)以AB為直徑的圓必與準線 丨相切若AB的傾斜角為a ,IABI 2 p若AB的傾斜角為 a ,貝UAB2p|AB sin2a_ 2cos a2p2為乂2=y2 = P41丄1AF + BFAB2AF BF AF *BF AF *BF p3拋物線寸=2px(p 0)的幾何性質(zhì)：(1)范圍：因為 p0,由方程可知 x 0,所以拋物線在y軸的右側(cè)， 當x的值增大時，|y|也增大, 說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.2y =kx +by

3、2 =2pxk2x22(kb - p)x b2=0(2)對稱性：對稱軸要看一次項，符號決定開口方向.頂點(0，0)，離心率：e =1，焦點F(E,0)，準線xp，焦準距 p.2 2、2焦點弦：拋物線y =2px(p . 0)的焦點弦AB,A(xi,比)，B(X2, y2),則| AB|=捲x? p.弦長|AB|=x1+X2+P,當 xi=X2時，通徑最短為 2p。4.焦點弦的相關性質(zhì)：焦點弦AB，A(X1,yJ,B(X2,y2)，焦點F(E,0)222p(1)若 AB 是拋物線y =2pXp 0)的焦點弦(過焦點的弦)，且A(x,yJ,B(x2, y2)，則：xp2 =42yy2=p。焦點弦中

4、通徑最短長為 2p。通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑.(5)兩個相切：以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線,以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。5 弦長公式：A(x1, y1),B( x2, y2)是拋物線上兩點，則IAB = J% X2)2+(% y2)2=心 +k2|X1X2 1=+ 占 I 旳 _2I6.直線與拋物線的位置關系直線廠仁一；，拋物線Jiy = 2px消y得:+2(幼-p)x+護二0(1)當 k=0 時，直線I與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；(2)當 k 工 0 時， 0，直線I與拋物線相交，兩個不同交點；=0，直線I與拋物線相

5、切，一個切點；v0，直線I與拋物線相離，無公共點。(3)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)7.關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法直線l:y二kx b拋物線|? -匚二，(p 0)聯(lián)立方程法:若 AB 是拋物線y2=2pXp 0)的焦點弦，且直線已知直線 AB 是過拋物線y2px(p 0)焦點AB 的傾斜角為a，則AB2P( a工 0)。1 1sin工11AF BFAB2F ,+=AFBFAF *BFAF *BFp3設交點坐標為A(xi, yi),B(X2, y2),則有-0 ,以及XiX2, X1X2,還可進一步求出2 2y1y2= kxrbkX2b =X

6、2） 2b,yiy2二（kX1b）（kx2b） = kXrX2巾（為X2）b在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如 a.相交弦 AB 的弦長b.中點M （X。, y）, x =-2點差法：設交點坐標為A(Xi,yi)，B(X2,y2)，代入拋物線方程，得2 2yi2 pX1y22 pX2將兩式相減，可得(yi_y2)(yiy?) =2p(xi_X2)yi- y22 pxi-X2yiy2即kAB，yo同理，對于拋物線x2=2py(p=0)，若直線丨與拋物線相交于 A、B 兩點，點M(xo,yo)是弦AB 的中點，則有kAB二乞也二紐二“2p 2p p(注意能用這個公式的條件：i)直

7、線與拋物線有兩個不同的交點，2)直線的斜率存在，且不等于零)AB=*一1 tk2% _x2= Ji +k2（冷+x2）24X2=$1 k2a.在涉及斜率問題時,kAB2pyiy2b.在涉及中點軌跡問題時，設線段 AB 的中點為M (x0, y0)，yi- y2 _2p _ 2p _ pXiX2yiy22yoyaAByo口yiy224【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合其離心率 e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇

8、章【例 1】P 為拋物線y?=2px上任一點,F 為焦點，則以 PF 為直徑的圓與 y 軸(A相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點為F iP,0，準線是12丿I : X =卩.作 PFU I于 H,交 y 軸于 Q 那么PF = PH 2且QH = OF=衛(wèi)作 MNUy 軸于 N 則 MN 是梯形 PQOF 的2111中位線，MN =(|0F + PQ )= PH = PF .故以22 2PF 為直徑的圓與 y 軸相切，選 B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則 分別是相離或相交的.(2)焦點弦?？汲Ｐ碌牧咙c弦有關拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關.理解并掌握這個焦點

9、弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例 2】過拋物線y2=2px p - 0的焦點 F 作直線交拋物線于【證明】(1)如圖設拋物線的準線為|，作AA丄丨A,BB1丄I于B1,貝UAF = AA|=為 +# ,BF| = BB=X2+衛(wèi).兩式相加即得：2AB| = % + x2+ p(2)當 AB 丄 x 軸時，有AFBFAF BF=成立;p當 AB 與 x 軸不垂直時，設焦點弦 AB 的方程為:= k-.代入拋物線方程:I 2丿A X1,y1,B X2,y2兩點，求證:(1) AB =% +x2+ p(2)1AF1BFD.位置由 P 確定52k*#=2px化簡得:22 22P2kxpk 2

10、x k 0 4方程（1）之二根為k2X1, X2,. x x14為十 x + P2P /tP%x2x1x224X1X2P2 2PPPX1X2424X1X2p _2 號(X1 +X2+ P)P故不論弦 AB 與 x 軸是否垂直，恒有AF1+-BF=成立.P（3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關拋物線的許多試題，又與它的切線有關基本功.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的【例 3】證明：過拋物線y =2px上一點 M（xo, yo）的切線方程是:yoy=P ( x+x0)【證明】對方程y2=2px兩邊取導數(shù)：2yV = 2p，y = 切線的斜率ytPP2k = yXN= 由點斜式方程：yy= (

11、x x戸yy = px - pxo+ y(1)yoyo:y0=2pxo，代入（）1即得：yoy=p（x+x。）（4）定點與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn),到的收獲卻容易為人疏忽的定點和定值掌握它們，在解題中常會有意想不例如：1.一動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x 2二o相切，則此動圓必過定點A 4,0B. 2,oC. o,2D.0,-2顯然本題是例 1 的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選B.2.拋物線y2= 2 px的通徑長為 2p；223.設拋物線y =2px過焦點的弦兩端分別為A為，,B X2, y2，那么：yy二-p以下再舉一例【例 4】設拋物線y2=2

12、px的焦點弦 AB 在其準線上的射影是 AB，證明：以 AB1為直徑的圓必過1111-+- -+-AF| BFAABB1- + px1-X27_JH定點【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么A1B=AB=2p 而 A1B1與 AB 的距離為 p,可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點 .以下我們對 AB 的一般情形給于證 明.【證明】如圖設焦點兩端分別為Ax1,y1）,B（x2,y2）,yiy2 = -p2= |CAI QBJ = yy2 =p.從而m = y - x = 1.直線 AB 的方程為：y = x 1方程（1）成為：x2 x - 2 = 0.解得

13、:x = -2,1，從而y = -1,2，故得：A (-2 , -1 ), B (1, 2).二AB=3運，選 C.（2）幾何法為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這那么:設拋物線的準線交 x 軸于 C,那么CF = p.2,AA1FB1中CF =|CA CR故/AFBL90。.這就說明：以 A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點 通法特法妙法（1）解析法一一為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.【例 5】（10.四川文科卷.10 題）已知拋物線x+y=0 對稱的相異兩點）y

14、=-x2+3 上存在關于直線A、B,則|AB|等于（A.3B.4C.32D.42【分析】直線AB 的中點必在直線【解析】AB 必與直線 x+y=0 垂直， 且線段 x+y=0 上，因得解法如下.A、B 關于直線 x+y=0 對稱，設直線AB 的方程為:y 二 x m._Ly 二 x m由ly一x2+3x m-3 = 0設方程（1）之兩根為 Xi,X2，則x1x2二-1設 AB 的中點為 M（X。，y。），貝 Ux0二x1x22寸.代入1i 1x+y=0 : y0=.故有 M -2為、3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK丄I，垂足為K,則AAKF的面積（）A .4B.3 3C.4.3

15、D.8【解析】如圖直線 AF 的斜率為-,3 時/ AFX=60 . AFK 為正三角形.設準線|交 x 軸于 M 貝U FM | = p = 2,且/ KFM=60, KF =4,SAAK-x4/3.選 C.4【評注】（1 平面幾何知識：邊長為 a 的正三角形的3面積用公式S -a2計算.Q 4（2）本題如果用解析法， 需先列方程組求點 A 的坐標，再計算正三角形的邊長和面積 雖不是很 難，但決沒有如上的幾何法簡單（3）定義法一一追本求真的簡單一著許多解析幾何習題咋看起來很難但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單【例 7】（07.湖北卷.7 題）雙曲線27=1（3 0,b 0）的左

16、準線為I，左焦點和右焦點分別為Fi和F2;拋物線C2的線為b11C.D.-22這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧如圖，我們先做必要的準備工作：設雙曲線的半焦距 c,離心率為 e,作MH _ l于H，令I，焦點為F2；Ci與C2的一個交點為M，則霜一偶等于（）MFi=1, MF2這就是說:其次,W點 M 在拋物線上,二 r2,故MF1MHMF1MF2型切的實質(zhì)是離心率IMF2Ie.LF1FJ與離心率 e 有什么關系？注意到:IMF,2Ci：x?-aA.-【分析】910F1F2_2cMFi|rie 2arr1e這樣，最后的答案就

17、自然浮出水面了：由于| F1F2I|MFi|MFi|IMF2I=e d e = -1.選A.(4)三角法一一本身也是一種解析三角學蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名 同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關系實施“九九歸一”一一達到解題目的因此，在解析幾何解題中，恰當?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡化計算【例 8】(09.重慶文科.21 題)如圖，傾斜角為 a 的直線經(jīng)過物線 y2=8x 的焦點 F,且與拋物線交于 A、B 兩點。(I)求拋物線的焦點F 的坐標及準線 I 的方程；(H)若 a 為銳角，作線段 AB 的垂直平分線 m 交 x 軸于點 P,

18、證明|FP|-|FP|cos2a 為定值，并求此定值?！窘馕觥?I)焦點 F(2,0),準線l;x = 2.(n)直線 AB: y二tan：x - 2 1 1 .2x =代入(1),整理得：y2tana 8y 16tana =08設方程(2)之二根為 y1, y2，則*y1+%8tan：y1y -16Iy丄設AB 中點為M(Xo,y)，則 yo2 tan。=4cot :2/o =cot。y0+2 = 4cot a +2AB 的垂直平分線方程是：y4cot- cot： x4cot2用-2.令 y=0，則x =4cot2J； 6,有P 4cot2：6, 0故FP = OP - OF =4cot2

19、+6 2=4(cot2a +1)=4cos2a222于是 |FP|-|FP|cos2a=4csc:1-cos2：= 4csc : 2sin：=8，故為定值.(5)消去法一一合理減負的常用方法 .避免解析幾何中的繁雜運算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”【例 9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線I： (1)I與拋物線y2=8x有兩個不同的交點 A 和1112B； （ 2）線段 AB 被直線l1: x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線I的方程.【解析】假定在拋物線y2=8x上存在這樣的兩點Ax-i，y1，B x2，y2則有:8=yiy2.5設線段 AB 的中點為M