材力 第5章彎曲應(yīng)力

1、第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力回顧與比較內(nèi)力內(nèi)力NFA應(yīng)力應(yīng)力PTIFAyFsM?FFaa純純 彎彎 曲曲橫力彎曲橫力彎曲橫截面上只有橫截面上只有M、沒有沒有Q的彎曲的彎曲橫截面上既有橫截面上既有M、又有又有Q的彎曲的彎曲FaM5.1 5.1 梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力FFFQQ有限元計(jì)算的軸向應(yīng)變有限元計(jì)算的軸向應(yīng)變純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力MmmnnbbooM上層纖維縮短，下層纖維伸長(zhǎng)。上層纖維縮短，下層纖維伸長(zhǎng)。FFmmnnbboo橫向線仍為直線，橫向線仍為直線， 相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一角度。相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一角度。縱向線彎成了相互平行的弧縱向線彎成了相互平行的弧線，仍與橫向線垂直。線，

2、仍與橫向線垂直。1.1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 試驗(yàn)觀察：試驗(yàn)觀察：MmmnnbbooMFFmmnnbboo假設(shè)：假設(shè)：( (1) ) 橫截面變形后仍為橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于軸線平面，且仍垂直于軸線橫截面上只有正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力橫截面上同一高度的正應(yīng)力相等橫截面上同一高度的正應(yīng)力相等平面假設(shè)平面假設(shè)( (2) ) 縱向纖維間無擠壓縱向纖維間無擠壓,處于簡(jiǎn)單拉伸或壓縮狀態(tài)處于簡(jiǎn)單拉伸或壓縮狀態(tài)( (3) ) 同一高度上的纖維的變形相同同一高度上的纖維的變形相同中性層中性層中性軸中性軸既不伸長(zhǎng)、也不縮短的纖維層既不伸長(zhǎng)、也不縮短的纖維層橫截面橫截面各橫各橫截面截面繞中繞中性軸性

3、軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中性軸中性軸橫截面與中性層的交線橫截面與中性層的交線兩個(gè)名詞：兩個(gè)名詞：中性層中性層MmmnnbbooM y ydbbbbbb oooobb ddd yxdxyxmmnnbbooyFFll 2.2. 物理關(guān)系物理關(guān)系(應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系) E yE MzxyC為梁彎曲變形后的曲率。為梁彎曲變形后的曲率。1NAFdAAzdAyMAydAzMzydAdA3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 橫截面上的微力，dA組成平行于x軸的空間平行力系，這個(gè)力系只可能簡(jiǎn)化為：MzxyC 0 0 M AAyEd AAyzEd AAyEd2 1 zEIM AAd NFzSE yM AzAd AyAd zMMz

4、xyCz 軸必須通過橫截面的形心。軸必須通過橫截面的形心。 zEI自然滿足自然滿足(y為對(duì)稱軸為對(duì)稱軸)。EIz 梁的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力梁的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力.yzIE ZAIAyd2令軸靜矩截面圖形對(duì)ZSAyAyZCAd變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：物理關(guān)系：物理關(guān)系：yEyE靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：Z1EIMZIMy純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力正應(yīng)力分布正應(yīng)力分布中性軸M中性層Mymaxymax中性軸上中性軸上 = 0，中性軸又稱為零應(yīng)力線。，中性軸又稱為零應(yīng)力線。 沿橫截面寬度方向均勻分布。沿橫截面寬度方向均勻分布。ZIMyZmaxmaxIMymax

5、MWZmaxIWyminMWQAA純彎曲正應(yīng)力公式成立的前提：平面假設(shè)， 縱向纖維間無擠壓。對(duì)于橫力彎曲，純彎曲時(shí)關(guān)于變形的兩個(gè)假設(shè)，均不成立。剪應(yīng)力（分布不均勻）的存在對(duì)正應(yīng)力分布規(guī)律有影響。橫力彎曲正應(yīng)力公式橫力彎曲正應(yīng)力公式ZIMy 彈性力學(xué)精確分析表彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度明，當(dāng)跨度 l 與橫截面高與橫截面高度度 h 之比之比 l / h 5 （細(xì)長(zhǎng)（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。式對(duì)于橫力彎曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyM橫力彎曲最大正應(yīng)力橫力彎曲最大正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力公式適用范圍彎曲正應(yīng)力公式適用范圍: :ZIMy純彎曲純彎曲梁梁或

6、細(xì)長(zhǎng)梁的或細(xì)長(zhǎng)梁的橫力彎曲；橫力彎曲；橫截面慣性積橫截面慣性積 I Iyzyz= 0,= 0,具對(duì)稱截面；具對(duì)稱截面；線彈性變形階段。線彈性變形階段。常見彎曲構(gòu)件截面常見彎曲構(gòu)件截面1、軸慣性、軸慣性矩矩整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì)x 軸的慣性矩軸的慣性矩整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) y 軸的慣性矩軸的慣性矩y2dA-微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) x 軸的慣性矩軸的慣性矩x2dA-微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) y 軸的慣性矩軸的慣性矩(1). 定義：定義：其值：其值：+ + 單位：?jiǎn)挝唬簃4 AxAyId 2 AyAxId2xyOAydAx5-5-2 慣性矩的計(jì)算慣性矩的計(jì)算(2).軸軸慣性慣性矩與極慣性

7、矩的關(guān)系矩與極慣性矩的關(guān)系即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面圖形對(duì)任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對(duì)平面圖形對(duì)任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對(duì)通過該點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之通過該點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和。和。dA AAyxd22若若 x 、 y 軸為一對(duì)正交坐標(biāo)軸軸為一對(duì)正交坐標(biāo)軸xyOAyx(1). 圓形截面圓形截面D324D pIIIyx 由對(duì)稱性由對(duì)稱性 yxII 21pI 444416464 DdD 644D (2). 環(huán)形截面環(huán)形截面dxyO p21 IIIyx2.簡(jiǎn)單截面的軸慣性矩簡(jiǎn)單截面的軸慣性矩(3).(3). 矩形截面矩

8、形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 3( ) 12x yI底 高yOAxCdAyxxccybacyxcbxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：3. .平行移軸公式平行移軸公式 2AaIIcxx 2AbIICyyCyyII CxxII 顯然：顯然： 在平面圖形對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性在平面圖形對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩中，以對(duì)形心軸的慣性矩為最小。矩中

9、，以對(duì)形心軸的慣性矩為最小。同理同理慣性矩的平行軸定理慣性矩的平行軸定理yOAxCdAyxxccybacyxc2002003030yCczc157.5IIIa1a2yC1yC2 ccczzzIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 12302003 47mm 1003. 2 42mm 302005 .57 12 1AIIccyy 1a47mm 1098. 3 22 2AIIccyy 2a cccyyyIII47mm 1001. 6 cyIczI例例5-1 求求 和和xy2H2H2h2h2B2B2b2b例例5-2 求圖示工字形截面對(duì)求圖示工字形截面對(duì)x、y軸的慣性矩軸的

10、慣性矩Ix 、Iy解1：將截面分成上翼緣、下翼緣和腹板三部分。xIIIIIIy2H2H2h2h2B2B2b2b下翼緣腹板上翼緣xxxxIIIIxIIIIIy2H2H2h2B2B2b2b12)42)(2(12)2(2 323bhhHhhHBhHBIx12)(1233hbBBHI2h下翼緣腹板上翼緣yyyyIIII12212122333BhHhbBhH1212)(33hbBhH將截面看成寬為B，高為H的矩形截面，減去陰影部分面積。12212 32)(3hBHIbBx解解2：12)(1233hbBBHxy2H2H2h2h2B2B2b2b233)42()2(12)2(212bBbbBhbBhHBIII

11、yyy陰影部分大矩形xy2H2H2h2h2B2B2b2b4. 靜靜矩矩（面積矩）（面積矩）整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) x 軸的靜矩：軸的靜矩：整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對(duì)對(duì) y 軸的靜矩：軸的靜矩：ydA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) x 軸的靜矩軸的靜矩xdA微面積微面積 dA 對(duì)對(duì) y 軸的靜矩軸的靜矩(1). 定義：定義：其值：其值：+ +、- -、0 單位：?jiǎn)挝唬簃3 AxAySd AyAxSdxyOAydAx AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS1CyA niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 dxACy ASyAAd,yACx ASx

12、AA(3).(3).組合圖形的靜矩組合圖形的靜矩(2).(2).靜矩與形心的關(guān)系靜矩與形心的關(guān)系CxyCcxyOA(4).(4).靜矩的性質(zhì)靜矩的性質(zhì) 圖形對(duì)形心軸的靜矩為零；圖形對(duì)形心軸的靜矩為零；xSyS0 CyA CxA 0 形心軸形心軸通過圖形形心的坐標(biāo)軸通過圖形形心的坐標(biāo)軸 反之，圖形對(duì)某軸的靜矩為零，反之，圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸。則該軸必為形心軸。 性質(zhì)性質(zhì) ：0 Cx0 CyASyxC ASxyC BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K點(diǎn)正應(yīng)力點(diǎn)正應(yīng)力2.2.C 截面上截面上最大最大正

13、應(yīng)力正應(yīng)力3.3.全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 Qx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力Ay90kN,FkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）解：解：例例5-3 簡(jiǎn)支梁幾何尺寸如圖簡(jiǎn)支梁幾何尺寸如圖,其上作用分布載荷其上作用分布載荷,求求:BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K

14、Qx90kN90kN2. C 截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K Fsx90kN90kN3. 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMBAl = 3mq=60kN/mxC1

15、mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K Qx90kN90kN4. C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩截面慣性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1 maxmaxmaxZMyI(1).(1).彎矩最大的截面上彎矩最大的截面上(2).(2).離中性軸最遠(yuǎn)處離中性軸最遠(yuǎn)處(4).(4).脆性材料脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttmax,ccmax,(3).(3).變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與MzI5-5-3 梁彎曲時(shí)的強(qiáng)

16、度計(jì)算梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算1. z軸為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)軸為橫截面的對(duì)稱軸時(shí) (如矩形、圓形、工字形等如矩形、圓形、工字形等)|maxmaxCL2. z軸不是對(duì)稱軸時(shí)軸不是對(duì)稱軸時(shí)(如如T字形、梯形等字形、梯形等)|maxmaxCL對(duì)應(yīng) y1、y2 可以求出該截面上的最大拉、壓應(yīng)力。maxmax MWZmaxyIW 令抗彎截面系數(shù) maxmaxZMyImaxmax MW三類強(qiáng)度計(jì)算：三類強(qiáng)度計(jì)算： 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面 計(jì)算最大荷載計(jì)算最大荷載max MWmax MWmax MW常見截面的常見截面的 IZ 和和 W圓截面圓截面矩形截面矩形截面空心圓截面空心圓截面空心矩形截面空心矩形截

17、面644ZdI332dW)1 (6444ZDI34(1)32DW123ZbhI 26bhW 12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212b hbhWh 圖示簡(jiǎn)支梁，為矩形截面木梁，承受均布荷載q=3.6kN/m，其截面尺寸為 b=120mm, h=180mm。 梁的計(jì)算跨度L=5m。 所用木材的許用應(yīng)力=10MPa ，求：qL120180(1) 校核梁的強(qiáng)度；(2) 確定許用荷載；(3)若強(qiáng)度不夠，則試按b/h=2/3重設(shè)梁的截面尺寸。解：(1) 校核梁的強(qiáng)度22max3.6 511.25kN m88qLM梁的抗彎截面模量為：2263120 180648 10 m66bhW12

18、0180qL11.25kNm+Mq=3.6kN/m,b=120mm,h=180mm,L=5m,=10MPa 梁的最大正應(yīng)力為：36maxmax611.25 1017.4 10 Pa648 10MW17.4MPa 10MPa故此梁強(qiáng)度不夠。 (2) 確定許用荷載根據(jù)強(qiáng)度條件得：maxmax MW2max12588MqLq2665810 10648 10q3N2.07 10mq kN 2.07mq (3) 因強(qiáng)度不夠，重新設(shè)計(jì)截面max MW363max611.25 101125 10 m 10 10MW232631 21125 10 m66 39bhhWh h36 9 1125 100.216m

19、h: 216 mmh 取2144 mm3bh外伸梁荷載與幾何尺寸如圖所示，已40MPaL100MPaC試校核強(qiáng)度。知材料q=15kN/mP=10kN4m1m6440.3 10 mzI2001703030yzy1=61y2=139非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置解： 畫彎矩圖以確定危險(xiǎn)截面25kNm10kNm+M211202max0027.5kN,1.83m,125.1625kN m2AAAFFxqMF xqxq=15kN/mP=10kN4m1m 強(qiáng)度校核 cL且z軸為非對(duì)稱軸故可能危險(xiǎn)截面為1截面和2截面“ 1”33max,max1610 1061 1015.1MPa4

20、0.3 10tLzMyI33max,max2610 10139 1034.5MPa40.3 10cCzMyI25kNm10kNmM21+6440.3 10 mzI2001703030yzy1=61y2=139“ 2”33max,max1625 1061 1037.8MPa40.3 10cCzMyI33max,max2625 10139 1086.2MPa40.3 10tLzMyI強(qiáng)度不夠, 將截面倒置，結(jié)論如何？+25kNm10kNmM21+2001703030yzy1=61y2=139（1 1）確定危險(xiǎn)截面）確定危險(xiǎn)截面（3 3）計(jì)算）計(jì)算maxM（4 4）計(jì)算）計(jì)算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號(hào)字鋼型號(hào)W例5-6 某車間欲安裝簡(jiǎn)易吊車，大梁選用工字鋼。已知MPa,140kN,7 . 61F,kN502Fm,5 . 9l試選擇工字鋼的型號(hào)。 maxmaxMW（2 2）（4 4）選擇工字鋼型號(hào)）選擇工字鋼型號(hào)（5 5）討論）討論（3 3）根據(jù)）根據(jù) maxmaxMW計(jì)算計(jì)算 3max6633(6.750) 109.54140 10962 10 m962cmMW （1 1）計(jì)算簡(jiǎn)圖）計(jì)算簡(jiǎn)圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：解：36c36c工