二次根式的講義

1、專題一 二次根式【知識(shí)點(diǎn)1】二次根式的概念：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式。二次根式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)非負(fù)數(shù)數(shù)a的算數(shù)平方根?！咀ⅰ慷胃降母拍钣袃蓚€(gè)要點(diǎn)：一是從形式上看，應(yīng)含有二次根號(hào)；二是被開方數(shù)的取值范圍有限制：被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。例1下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號(hào)）例2使有意義的x的取值范圍是（）Ax0 Bx2 Cx>2 Dx0且x2例3若y=+2009，則x+y=練習(xí)1使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（ ）A、x>3 B、x3 C、 x>4 D 、x3且x4練習(xí)2若，則xy的值為（ ）A1 B1 C2 D3例4若，則= 。例5在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)分解因式：

2、X4 - 4X2 + 4= _例6若a、b為正實(shí)數(shù)，下列等式中一定成立的是（）：A、+=； B、=a2+b2；C、（+）2= a2+b2； D、=ab；【知識(shí)點(diǎn)2】二次根式的性質(zhì)：（1）二次根式的非負(fù)性，的最小值是0；也就是說（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。（2）（）文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方

3、等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.（3）文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注：1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn)。（4）及的異同點(diǎn)不同點(diǎn)：及表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但及都是非負(fù)數(shù)，

4、即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.例7a、b、c為三角形的三條邊，則_.例8把(2-x)的根號(hào)外的（2-x）適當(dāng)變形后移入根號(hào)內(nèi)，得（ ）A、B、 C、 D、例9若二次根式有意義，化簡(jiǎn)x-4-7-x。例10已知x、y是實(shí)數(shù)，且滿足y=+1試求9x2y的值例11若實(shí)數(shù)a滿足+a=0,則有( )Aa>0 Ba0 Ca<0 Da0例12下列命題中，正確的是（）A若a>b，則> B若>a，則a>0C若|a|=()2，則a=b D若a2=b，則a是b的平方根例13 是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是（

5、）A、4； B、5； C、6； D、7例14實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么的結(jié)果是什么？例15 已知已知,則例16 a0時(shí)，、-，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）A=- B>>- C<<- D->=例17若0x1，則等于（）（A）（B）（C）2x（D）2x【提示】(x)24(x)2，(x)24(x)2又0x1，x0，x0【答案】D【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式和二次根式的性質(zhì)（A）不正確是因?yàn)橛眯再|(zhì)時(shí)沒有注意當(dāng)0x1時(shí)，x0練習(xí)3若|1x|2x5，則x的取值范圍是（）Ax>1 Bx<4 C1x4 D以上都不對(duì)練習(xí)4 若時(shí)，則_練習(xí)5若，則

6、10x2y的平方根為_練習(xí)6若，則等于（ ）A.1； B、； C、3； D、練習(xí)7已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果是 練習(xí)8若試求的值。練習(xí)9 已知，求的值。練習(xí)10若，求的值專題二 二次根式的乘除【知識(shí)點(diǎn)1】二次根式的乘法法則：。得出：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，而根號(hào)不變。將上面的公式逆向運(yùn)用可得：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。例1化簡(jiǎn)：（1）_； （2）_（3）_（4）_練習(xí)1化簡(jiǎn)二次根式得（）例2下列各式中不成立的是（）練習(xí)2 下列各式中化簡(jiǎn)正確的是（）例3計(jì)算：第 - 10 - 頁例4若b>0，x<0，化簡(jiǎn)：【知識(shí)點(diǎn)2】二次根式的除法：（1）一般地，對(duì)于二次根式的除法

7、規(guī)定商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根即【注】分母有理化二次根式的除法運(yùn)算，通常是采用化去分母中的根號(hào)的方法來進(jìn)行的。分母有理化：（1）定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。（2）關(guān)鍵： 把分子、分母都乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)氖阶?，化去分母中的根?hào)。例5+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_例6 若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b。求的值練習(xí)3已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，試求的值例7計(jì)算（1）·（-）÷（m>0，n>0） （2）（3）-3÷（）× （a>0）【知識(shí)點(diǎn)3】同類二次根式：（1）被開放

8、數(shù)不含分母；（2）被開放數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式。例8下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）(A) （B）（C）（D）例9已知0，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為_例10設(shè)a=，b=，c=，則a、b、c的大小關(guān)系是練習(xí)4如果（y>0）是二次根式，化為最簡(jiǎn)二次根式是（ ）A（y>0） B（y>0） C（y>0） D以上都不對(duì)練習(xí)5 化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是A、 B、- C、 D、-練習(xí)6下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（） A. B. C. D. 專題三 二次根式的加減【知識(shí)點(diǎn)1】同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式。.同類二次

9、根式及同類項(xiàng)的異同：一. 相同點(diǎn)： 1. 兩者都是兩個(gè)代數(shù)式間的一種關(guān)系。同類項(xiàng)是兩個(gè)單項(xiàng)間的關(guān)系，字母及相同字母的指數(shù)都相同的項(xiàng)；同類二次根式是兩個(gè)二次根式間的關(guān)系，指化成最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)相同的二次根式。 2. 兩者都能合并，而且合并法則相同。我們?nèi)绻炎詈?jiǎn)二次根式的根號(hào)部分看做是同類項(xiàng)的字母及指數(shù)部分，把根號(hào)外的因式看做是同類項(xiàng)的系數(shù)部分，那么同類二次根式的合并法則及同類項(xiàng)的合并法則相同，即“同類二次根式（或同類項(xiàng)）相加減，根式（字母）不變，系數(shù)相加減”。 二. 不同點(diǎn)： 1. 判斷準(zhǔn)則不同。 判斷兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式是否為同類二次根式，其依據(jù)是“被開方數(shù)是否相同”，及根號(hào)外的因式無關(guān)；

10、而同類項(xiàng)的判斷依據(jù)是“字母因式及其指數(shù)是否對(duì)應(yīng)相同”，及系數(shù)無關(guān)。 2. 合并形式不同例1在、3、-2中，及是同類二次根式的有_例2若最簡(jiǎn)根式及根式是同類二次根式，求a、b的值練習(xí)1下列二次根式中及是同類二次根式的是（）A B C D練習(xí)2若最簡(jiǎn)二次根式及是同類二次根式，求m、n的值【知識(shí)點(diǎn)2】二次根式的加減：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)的二次根式，再將被開放數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。例3 （1）（2）（3）例4已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值【知識(shí)點(diǎn)3】二次根式的混合運(yùn)算 二次根式的混合運(yùn)算順序及整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。例5計(jì)算 （1）（2）（3）例6若x，y為實(shí)數(shù)，且y求的值【提示】要使y有意義，必須滿足什么條件？你能求出x，y的值嗎？【解】要使y有意義，必須，即x當(dāng)x時(shí)，y又|x，y，原式2當(dāng)x，y時(shí)，原式2【點(diǎn)評(píng)】解本題的關(guān)鍵是利用二次根