概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布4-3 二維正態(tài)分布ppt課件

1、上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布4.34.3第四章 正態(tài)分布上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回定義 設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的結(jié)合概率密度為),(yxf,e12122222)()(2)()1(212yyyxyxxxyyxrxryxr那么稱二維隨機(jī)變量),(YX服從二維正態(tài)分布， 記作),(YX),(22rNyxyx其中) 1(,0,0,rryxyx是分布參數(shù).4.3 二維正態(tài)分布 上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回x-10-50510y-10-50510z0.0000.0050.0100.015二維正態(tài)分布f

2、(x,y) 12xy1 2exp121 2xx2x22x xxyyyyy2y2x 0y 0 x 10y 10 0.54.3 二維正態(tài)分布 上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回 定理定理11設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX服從二維正態(tài)分布, ),(22rNyxyx那么X與Y的邊緣分布都是正態(tài)且無論參數(shù)) 1(rr為何值， 都有, ),(2xxNX. ),(2yyNY證：證：X的邊緣概率密度)(xfX,e121),(2dyryxuyx分布，4.3 二維正態(tài)分布 其中),(yxu22222)()(2)()1(21yyyxyxxxyyxrxr上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束

3、返回設(shè),)(112xxyyxryrt那么)(xfXdttxxxx2)2()(222ee21.e21)2()(22xxxx由此可得，, ),(2xxNX同理，. ),(2yyNY4.3 二維正態(tài)分布 由定理1可知：, )(XEx, )(YEy,)(XDx. )(YDy,)()1 (212)(2222xxyyxxxryrx上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回,e121),(),(2dxdyyxrYXRyxuyyxxyx 化為二次積分，得,)(e121),()2()(222dxxIxrYXRxxxxxyx4.3 二維正態(tài)分布 ,e)(22)()1 (21dyyxIxxyyxryry

4、y設(shè) ,)(112xxyyxryrt那么得其中 定理定理22則設(shè)),(),(22rNYXyxyx.),(rYXR證：證：上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回dtxrrtrxItxxy22e)(11)(22dtrxrdttrtxxyty222222e1)(e)1 (, )1(2)(2rxrxxy4.3 二維正態(tài)分布 所以),(YXR,e)(2)2()(222dxxrxxxxxx設(shè), txxx得),(YXRdttrt22e22. r上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回 定理定理33, ),(),(22rNYXyxyx設(shè)那么X與Y. 0r獨(dú)立的充要條件是證：證：必

5、要性：假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立， 那么.0r充分性：,0r若那么二維正態(tài)分布的結(jié)合密度可化為：4.3 二維正態(tài)分布 ),(yxf2)()( 212222eyyxxyxyx)2()(2122exxxx)2()(2122eyyyy. )()(yfxfYX所以,隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立.XY上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回例1 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立， 都服從規(guī)范正態(tài)分.22的概率密度求隨機(jī)變量函數(shù)YXZ, ) 1 ,0(N布解：解：由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立， 且知,e21)(22xXxf,e21)(22yYyf所以，.e21)()(),(2)(22yxYXyfxfyxf4

6、.3 二維正態(tài)分布 )(zFZ)(zZP. )(22zYXP的分布函數(shù)為22YXZ由分布函數(shù)定義，上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回當(dāng)0z時(shí)， 有)(zFZdxdyzyxyx22222)(e21ddz02202e21.e12z4.3 二維正態(tài)分布 所以，Z的分布函數(shù) ,0,e1)(2zZzF;0z.0z當(dāng)0z時(shí)， 顯然有;0)(zFZ上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回4.3 二維正態(tài)分布 ,0,e)(2zZzf21;0z.0z此分布稱為自在度為2的 分布.2的概率密度由此得Z上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回1. 二維正態(tài)分布的邊緣分

7、布為正態(tài)分布：假設(shè)),(YX),(22rNyxyx那么, ),(2xxNX. ),(2yyNY且, )(XEx, )(YEy,)(XDx,)(YDy.),(rYXR4.3 二維正態(tài)分布 小小 結(jié)結(jié)2.),(YX若),(22rNyxyx那么與XY相互獨(dú)立. 0r上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回思索題思索題1. 設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX服從二維正態(tài)分布， 知,0)()(YEXE,16)(XD,25)(YD,12),(covYX求),(YX的結(jié)合概率密度.解：解：知,0yx,416 x,525 yX于是與Y的相關(guān)系數(shù)為,53251612),(YXRr4.3 二維正態(tài)分布 ,12),(covYX上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回所以),(YX的結(jié)合概率密度)25545616(25162122e545421),(yxyxyxf.e321)25545616(322522yxyx4.3 二維正態(tài)分布 上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回2. 設(shè)),(YX服從二維正態(tài)分布，,e21),()(212222byaxabyxf求),(YX落在橢圓22222kbyax內(nèi)的概率.解：解：),(RYXP,e21)(212222dxdyabRbyax其中積分域R為橢圓形區(qū)域,22222kbyax4.3