matlab函數(shù)的極值與優(yōu)化學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1matlab函數(shù)函數(shù)(hnsh)的極值與優(yōu)化的極值與優(yōu)化第一頁，共31頁。上機(jī)目的上機(jī)目的(md)上機(jī)內(nèi)容上機(jī)內(nèi)容(nirng)MATLAB2、會(huì)使用、會(huì)使用(shyng)Matlab解決無約束最優(yōu)化問題解決無約束最優(yōu)化問題.上機(jī)軟件上機(jī)軟件1、會(huì)使用、會(huì)使用Matlab求函數(shù)的極值；求函數(shù)的極值；1、 Matlab中函數(shù)的輸入與調(diào)用；中函數(shù)的輸入與調(diào)用；2、函數(shù)極值的求法；、函數(shù)極值的求法；3、無約束最優(yōu)化問題、無約束最優(yōu)化問題. 第1頁/共30頁第二頁，共31頁。在在Matlab中，函數(shù)是采用中，函數(shù)是采用M文件文件(wnjin)的方式存儲(chǔ)的。的方式存儲(chǔ)的。具體步驟如下：具體步驟如

2、下： 1、新建一個(gè)、新建一個(gè)M文件文件(wnjin)：通過點(diǎn)擊主窗口左上的新建按鈕：通過點(diǎn)擊主窗口左上的新建按鈕。 2、輸入函數(shù)內(nèi)容：、輸入函數(shù)內(nèi)容： 例：函數(shù)例：函數(shù) f(x1,x2)=exp(X12+X2) 應(yīng)在應(yīng)在M文件文件(wnjin)中輸入如下：中輸入如下：第一節(jié)第一節(jié) Matlab中函數(shù)的輸入中函數(shù)的輸入(shr)與調(diào)用與調(diào)用第2頁/共30頁第三頁，共31頁。注意：注意：（1）、函數(shù)）、函數(shù)(hnsh)標(biāo)識(shí)關(guān)鍵字：標(biāo)識(shí)關(guān)鍵字：function（2）、函數(shù)）、函數(shù)(hnsh)名：名：f1=f1 自變量自變量: (x1,x2) （3）、函數(shù)表達(dá)式：）、函數(shù)表達(dá)式：a=exp(x12+x

3、2) 函數(shù)表達(dá)式可以由多個(gè)式子組成函數(shù)表達(dá)式可以由多個(gè)式子組成(z chn)。（4）、給函數(shù)結(jié)果賦值：）、給函數(shù)結(jié)果賦值：f1=a 第3頁/共30頁第四頁，共31頁。3、存儲(chǔ)函數(shù)：點(diǎn)擊編輯窗口的保存按鈕。、存儲(chǔ)函數(shù)：點(diǎn)擊編輯窗口的保存按鈕。 注意注意:不要改變保存路徑，文件名稱必須和函數(shù)名稱一致。不要改變保存路徑，文件名稱必須和函數(shù)名稱一致。4、函數(shù)的調(diào)用、函數(shù)的調(diào)用(dioyng)： 函數(shù)保存后，在命令窗口中即可調(diào)用函數(shù)保存后，在命令窗口中即可調(diào)用(dioyng)該函數(shù)。該函數(shù)。 如求上述函數(shù)在如求上述函數(shù)在x1=1,x2=2處的函數(shù)值，即可在命令窗口中輸入處的函數(shù)值，即可在命令窗口中輸入：

4、f1(1,2) 其中其中 f1 為剛才所輸入的函數(shù)名。為剛才所輸入的函數(shù)名。第4頁/共30頁第五頁，共31頁。例：函數(shù)例：函數(shù)(hnsh)f(x)=exp(x(1)2+x(2).其中其中x=(x(1),x(2),即即x為一個(gè)二維向量。為一個(gè)二維向量。此時(shí)的輸入與調(diào)用方式與數(shù)量時(shí)不同。此時(shí)的輸入與調(diào)用方式與數(shù)量時(shí)不同。1、輸入、輸入(shr)：第5頁/共30頁第六頁，共31頁。2、調(diào)用：、調(diào)用： 此時(shí)自變量為向量，調(diào)用格式為：此時(shí)自變量為向量，調(diào)用格式為：f2(1,2) 或或 x=1 2; f2(x) 即，自變量需采用即，自變量需采用(ciyng)向量形式向量形式輸入。輸入。3、實(shí)際、實(shí)際(sh

5、j)運(yùn)行結(jié)果如下：運(yùn)行結(jié)果如下： f2(1,2)ans = 20.0855 x=1,2; f2(x)ans = 20.0855第6頁/共30頁第七頁，共31頁。Matlab中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為 fminbnd 1、此函數(shù)最簡輸入格式為：、此函數(shù)最簡輸入格式為：x=fminbnd(f,a,b)含義為：求函數(shù)含義為：求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最小值點(diǎn)上的最小值點(diǎn)(自變量值自變量值).2、對(duì)于最大值問題，需轉(zhuǎn)化、對(duì)于最大值問題，需轉(zhuǎn)化(zhunhu)為最小值問題來處為最小值問題來處理。理。 ( -f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最小值就是上的最小值就是f(x)在在a

6、,b的最大值的最大值） 一、一元函數(shù)極值一、一元函數(shù)極值(j zh)的求法的求法第7頁/共30頁第八頁，共31頁。3、常用、常用(chn yn)格式格式x,fval=fminbnd(f,a,b). 結(jié)果中，結(jié)果中，fval為最小值，為最小值，x為取到最小值的點(diǎn)。為取到最小值的點(diǎn)。例：例：Matlab命令：命令：x,fval=fminbnd(x.2+3*x+1,-2,3)含義是：求函數(shù)含義是：求函數(shù)f(x)=x2+3*x+1在在-2,3內(nèi)的最小值。內(nèi)的最小值。結(jié)果為結(jié)果為x = -1.5000 fval = -1.2500注：此時(shí)函數(shù)很簡單，故沒有使用注：此時(shí)函數(shù)很簡單，故沒有使用M文件。文件。

7、第8頁/共30頁第九頁，共31頁。 注意：注意： （1）、在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先）、在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先(shuxin)用用M文件的形式存儲(chǔ)待求最值的函數(shù)，并且需以向量函數(shù)的文件的形式存儲(chǔ)待求最值的函數(shù)，并且需以向量函數(shù)的形式表達(dá)；形式表達(dá)； （ 2）、最大值問題需轉(zhuǎn)化為最小值問題。）、最大值問題需轉(zhuǎn)化為最小值問題。二、多元函數(shù)二、多元函數(shù)(hnsh)極值的求法極值的求法第9頁/共30頁第十頁，共31頁。（1）、此函數(shù)使用單純型法搜索最值；）、此函數(shù)使用單純型法搜索最值；（2）、使用格式：）、使用格式： x,fval= fminsearch(f,x0) 其中其中f為待求最值的向量

8、函數(shù)，為待求最值的向量函數(shù)，x0為搜索過程開始時(shí)為搜索過程開始時(shí)自變量的初始值。自變量的初始值。例：例：fminsearch(f,1,2) 含義含義(hny)為：在為：在x=1,2附近附近搜尋函數(shù)搜尋函數(shù)f的最小值。的最小值。 第10頁/共30頁第十一頁，共31頁。第11頁/共30頁第十二頁，共31頁。（1）、此函數(shù)與）、此函數(shù)與fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法不同的地方在于使用的搜索方法不同，它使用牛頓法搜索最值，在效率上有所提高；不同，它使用牛頓法搜索最值，在效率上有所提高；（2）、使用格式與）、使用格式與fminsearch類似：類似： x,fval= fminunc(f

9、,x0) 其中其中f為待求最值的向量為待求最值的向量(xingling)函數(shù)，函數(shù)，x0為搜索過程為搜索過程開始時(shí)自變量的初始值。開始時(shí)自變量的初始值。例：例：fminunc(f,1,2) 含義為：在含義為：在x=1,2附近搜尋函數(shù)附近搜尋函數(shù)f的最的最小值。小值。 第12頁/共30頁第十三頁，共31頁。 第三節(jié)第三節(jié) 無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題(wnt)(wnt)求解無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題(wnt)的的基本思想的的基本思想* Matlab優(yōu)化工具箱簡介優(yōu)化工具箱簡介(jin ji)第13頁/共30頁第十四頁，共31頁。標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)形形式：式：一

10、、求解無約束最優(yōu)化問題的基本一、求解無約束最優(yōu)化問題的基本(jbn)思思想想求解的基本思想求解的基本思想(sxing) ( 以二元函數(shù)為例以二元函數(shù)為例 )531連續(xù)可微第14頁/共30頁第十五頁，共31頁。第15頁/共30頁第十六頁，共31頁。多局部(jb)極小298.0f 唯一(wi y)極小(全局極小)第16頁/共30頁第十七頁，共31頁。搜索搜索(su su)過程過程最優(yōu)點(diǎn)(yudin) (1 1)初始點(diǎn) (-1 1)1x2x-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.

11、200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8第17頁/共30頁第十八頁，共31頁。二、用二、用Matlab解無約束優(yōu)化問題解無約束優(yōu)化問題(wnt)（舉例說明（舉例說明） 其中（3）、（4）、（5）的等式(dngsh)右邊可選用（1）或（2）的等式(dngsh)右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。常用格式常用格式(g shi)如下：如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,

12、x1,x2 ，options)（3）x，fval= fminbnd（.）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（.）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）第18頁/共30頁第十九頁，共31頁。 解解 在在matlab命令窗口命令窗口(chungku)中輸入：中輸入： f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖語句作圖語句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)第19頁/共30頁第二十頁，共31頁

13、。例例2 對(duì)邊長為對(duì)邊長為3米的正方形鐵板米的正方形鐵板(ti bn)，在四個(gè)角剪去相等的正方形，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解解先編寫先編寫M文件文件(wnjin)fun0.m如下如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序?yàn)椋褐鞒绦驗(yàn)椋?x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果(ji gu)為為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長即剪掉的正方形的邊長為為0

14、.5米時(shí)水槽的容積最大米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為最大容積為2立方米立方米.第20頁/共30頁第二十一頁，共31頁。 命令命令(mng lng)格式為格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；）； 或或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）x，fval= fminunc（.）；）； 或或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag= fminse

15、arch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2、多元函數(shù)、多元函數(shù)(hnsh)無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)型為：標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X)第21頁/共30頁第二十二頁，共31頁。3 fminunc為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，由為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，由options中參數(shù)中參數(shù)(cnsh)LineSearchType控制：控制： LineSearchType=quadcubic(缺省值缺省值)，混合的二次和三次多項(xiàng)式插值；，混合的

16、二次和三次多項(xiàng)式插值； LineSearchType=cubicpoly，三次多項(xiàng)式插，三次多項(xiàng)式插使用使用(shyng)fminunc和和 fminsearch可能會(huì)得到局部最優(yōu)解可能會(huì)得到局部最優(yōu)解.說明說明(shumng):fminsearch是用單純形法尋優(yōu)是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點(diǎn)說明：的算法見以下幾點(diǎn)說明：1 fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中中 的參數(shù)的參數(shù)LargeScale控制：控制：LargeScale=on(默認(rèn)值默認(rèn)值),使用大型算法使用大型算法LargeScal

17、e=off(默認(rèn)值默認(rèn)值),使用中型算法使用中型算法2 fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由種算法，由 options中的參數(shù)中的參數(shù)HessUpdate控制：控制：HessUpdate=bfgs（默認(rèn)值），擬牛頓法的（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；公式；HessUpdate=dfp，擬牛頓法的，擬牛頓法的DFP公式；公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法，最速下降法第22頁/共30頁第二十三頁，共31頁。例例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1、編寫、編寫M-文件文件

18、(wnjin) fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、輸入命令窗口中輸入、輸入命令窗口中輸入: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x) 3、運(yùn)行、運(yùn)行(ynxng)結(jié)果結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10第23頁/共30頁第二十四頁，共31頁。例例4 產(chǎn)銷量的最佳安排產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡

19、的情況下如何下如何(rh)確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大. 所謂產(chǎn)銷平衡指工所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量.第24頁/共30頁第二十五頁，共31頁。2、基本、基本(jbn)假設(shè)假設(shè)（1）價(jià)格）價(jià)格(jig)與銷量成線性關(guān)系與銷量成線性關(guān)系（2）成本）成本(chngbn)與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系第25頁/共30頁第二十六頁，共31頁。 3、模型、模型(mxng)建立建立 若根據(jù)大量若根據(jù)大量(dling)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,

20、r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,則則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量x1，x2，使，使總利潤總利潤z最大最大. 為簡化模型為簡化模型,先忽略成本先忽略成本,并令并令a12=0,a21=0,問題問題(wnt)轉(zhuǎn)化為求轉(zhuǎn)化為求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值的極值. 顯然其解為顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我們把它作為原問題我們把它作為原問題(wnt)的初始值的初始值.總

21、利潤為：總利潤為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2第26頁/共30頁第二十七頁，共31頁。 4、模型、模型(mxng)求解求解 （1）. 建立建立(jinl)M-文件文件fun.m: function f = fun(x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2; （2）. 輸入輸入(shr)命令命令: x0=50,70; x=fminunc(fun,x0), z=fun(x) （3）. 計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果: x=23.9025 62.4977 z=-6.4135e+003 即甲的產(chǎn)量為即甲的產(chǎn)量為23.9025,乙的產(chǎn)量為乙的產(chǎn)量為62.4977,最大利潤為最大利潤為6413.5.第27頁/共30頁第二十八頁，共31頁。1、求函數(shù)、求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-10,10內(nèi)的最值？內(nèi)的最值？2、求函數(shù)、求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-1,3內(nèi)的最值？內(nèi)的最值？3、某工廠要制作一個(gè)容積為、某工廠要制作一個(gè)容積為100立方米的無蓋長方體容器立方米的無蓋長方體容器(rngq)，問：怎樣制作材料最省？，問：怎樣制作材料最??？4、要制作一表面積為、要制作一表