數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、向量在立體幾何中的應(yīng)用i摘 要iiii!作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志z的向量已進(jìn)入了屮學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為用代數(shù)方法|研究幾何問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高屮幾何的代數(shù)化而在高屮數(shù)學(xué)體i系屮，幾何占有很重要的地位，有些幾何問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往比較復(fù)雜，!運(yùn)用向量作行與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則使過(guò)程得到大大的簡(jiǎn)化向量法應(yīng)用于平面幾何屮|時(shí)，它能將平面幾何許多問(wèn)題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)i屮數(shù)與形的完美結(jié)合立體幾何常常涉及到的兩大問(wèn)題：證明與計(jì)算，用空間向!量解決立體幾何屮的這些問(wèn)題，其獨(dú)到z處，在于用向量來(lái)處理空間問(wèn)題，淡化'了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過(guò)程，使解題變得程序化.裝

2、關(guān)鍵詞：向量；立體幾何；證明；計(jì)算；運(yùn)用訂abstractas one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. and in the high school mathemati

3、cs system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. vector method was used the plane geometry, it will be when the plane

4、geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of numbers and forms. three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its un

5、ique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are hformn to hformu reasoning process, causes the problem-solving become programmed.keywords： vector; solid geometry; proof; calculation; use目錄摘 要iabstract i1向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用12向量方法解決度量問(wèn)題的直接應(yīng)用22. 1兩點(diǎn)間的距離22. 2點(diǎn)與直線距離2

6、2. 3點(diǎn)到面的距離32. 4求兩異面直線的距離32. 5求面積42. 6求體積53向量在立體幾何中應(yīng)用的反思63. 1對(duì)比綜合法與向量法的利弊73. 2向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟73. 3向量法能解決所有立體幾何問(wèn)題嗎7參考文獻(xiàn)81向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用向量是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，在作用上它取代了以往復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材 中的地位，但從目前的使用情況來(lái)看，向量的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù)所 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點(diǎn)在與幾何 （尤其是立體幾何）的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物 理等學(xué)科的很多分支上都有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和

7、幾何形式的“雙重 身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的許多主干知識(shí)相結(jié)合，形 成知識(shí)交匯點(diǎn).向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材，為用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了強(qiáng)有 力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化.著名教育家布魯納說(shuō)過(guò)'學(xué)習(xí)的最好刺激 是對(duì)所學(xué)材料的興趣，簡(jiǎn)單的重復(fù)將會(huì)引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退.”這 充分揭示了方法求變的重要性.向量方法在解決幾何問(wèn)題吋充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強(qiáng)的 工具性作用，向量方法不僅可以用來(lái)解決不等式、三角、復(fù)數(shù)、物理、測(cè)量等某 些問(wèn)題，還可以簡(jiǎn)捷明快地解決平面幾何許多常見(jiàn)證明（平行、垂直、共線、相 切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問(wèn)題.不

8、難看出向量法應(yīng)用于平面幾 何中時(shí)，它能將平面幾何許多問(wèn)題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了 數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合.向量法是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題立體幾何的證明與 計(jì)算常常涉及到兩大問(wèn)題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問(wèn)題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成的角， 面面所成角等.用空間向量解決立體幾何中的這些問(wèn)題，其獨(dú)到之處，在于用向量來(lái)處理空 間問(wèn)題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過(guò)程，使解題變得程序化. 那么解立體幾何題時(shí)就可以用向量方法，對(duì)某些傳統(tǒng)性較大，隨機(jī)性較強(qiáng)的立體 幾何問(wèn)題，引入向量工具之后，可

9、提供一些通法.2向量方法解決度量問(wèn)題的直接應(yīng)用2. 1兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間距離重在“轉(zhuǎn)化”，即將空間兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化為向量的長(zhǎng)度問(wèn)題利用 向量的模，可以推導(dǎo)出空間兩點(diǎn)的距離公式，即空間兩點(diǎn)片（刃，兒可）£（吃,旳4），則 =|耳可| =丿（兀2一西）2+（）'2一）1+匕2一召）2 例1在三棱錐s-abc中，面sac丄面abc 9 sa丄ac, bc丄acsa = 6, ac = q,bc = 8,求 sb的長(zhǎng).分析 如圖，本題可以用幾何法求出sb,但需要證明若用向量法，注意到場(chǎng)，ac, bc 之間的關(guān)系建立以a點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)則無(wú)須證明就有如下巧解.解如圖，建立以力為原點(diǎn)

10、的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0),b(8,q,0),s(0,0,6),所以 sb = sb = j(0-8)2 +(0-vi1)2 +(6-0)2 =11.本題用向量法巧妙地把與sb有關(guān)元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量是麗的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造向量的空間距離模型，然后通過(guò)數(shù)值計(jì)算將問(wèn)題加以解決.如圖求得向量麗在向量麗的射影長(zhǎng)為d,2. 2點(diǎn)與直線距離則點(diǎn)p到直線ab的距離等于加匸d7.例2設(shè)"為矩形力弘刀所在平面外的一點(diǎn)，直線必垂直平面外的一點(diǎn), 直線/為垂直平面力弘 ab-3, bb4,必二1求點(diǎn)"到直線必的距離.解 |bp-bd| = |（ba+ap）-（bc+ba）| =

11、|ab|_ =9 |bd|=5所以麗在麗上的射影長(zhǎng)為2,又bp = vio,5所以點(diǎn)"到直線劭的距離135-2 、 丿9 - 5 zruko- dp2. 3點(diǎn)到面的距罔任取一點(diǎn)qea得p0,萬(wàn)是平面q的法向量，則有：點(diǎn)p到平面。的距離（向量甩在法向量萬(wàn)的投影的長(zhǎng)度）.方法思路：求出平面的任一法向量萬(wàn)（方程組可求），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)q與 點(diǎn)p得一向量轉(zhuǎn)化為甩在法向量的投影長(zhǎng)度，套公式.2. 4求兩異面直線的距離知a,b是兩異面直線，a,be a,c,de b ,找一向量與兩異面直線都垂直的向量加，則兩異面直線的距離d二ac - mm例3如圖，三棱柱中，已知a bcd是邊長(zhǎng)為1的正方形，

12、四邊形aa'b'b是矩形，平面人4空2丄平面abcd。若a" = 1 ,求直線ab到面dac的距離.d4'=（l,l,d）, dc = （0,1,0） >設(shè)面da'c的法向量為斤=（兀1），貝'jdcn. =0得兀=（0,0,1）,直線ab到面dac的距離d就等于點(diǎn)a到面dac的距離,也等于向量ad在面d4'c的法向量上的投影的絕對(duì)二adnv|2方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的向量方,距禺d =然后分別在兩異面直線上任取一點(diǎn)a,c ,則距離d就是忑在向量懇上的投影長(zhǎng)度,2. 5求面積由于平行四邊形力救面積

13、s“bcd = |麗x方可,所以三角形的面積是平行四邊形的面積的一半.abc=abxac特別地當(dāng)外、b、c三點(diǎn)均在面上，且坐標(biāo)為人（兩,兒0）, 3（兀2,兒,0）,必1>2 1兒1（£二1或t,保證面積取正值）.例4已知空間三點(diǎn)a （1, 2, 3） b （2, 角形的面積，2）求三角形的力邊上的高.解'sbc=-abxac麗=1,3,2 ac = 2,0,-8marik1 j kabxac= 1 -32 =24/ + 12 + 62 0-8abxac =a/242 +1224-62 =6>/21,所以三角形的面積是3何.因?yàn)槿切瓮獗鹊耐膺吷系母摺?即是平行形

14、四邊形的外邊上的高,所以chabxac乂因?yàn)?|麗| = jl2+(-3)2+22 = v14 ,_ i - abxac 6x/tr-所以 ch = = -f=- = 36 11 abv14例5已矢ab = a + b ad = a-b,其中a =2 b =1方與乙的夾角為蘭, 3求平行四邊形/!仞的面積.解:一 2- 2 一 jia + b +2 a b cos 71同理網(wǎng)| =的,設(shè)喬與而的夾角為&,_ 麗麗 _ (方+可(方一可_ 產(chǎn) _ 休-甘 _ _3_ cos |ib|-|ad| - |ab|-|ad| |ib|-|ad| |ab|-|ad| - v21所以 sin &am

15、p; 二 a/1-cos2 = 12-,7所以sahci) = ab - adsin = 2v3.2. 6求體積三個(gè)不共面向量a,b.c的混合積的絕對(duì)值等于以a.kc為棱的平行六面體的 體積，即%=|（方,萬(wàn)0|四面體的體積等于以a.b.c為棱的平行六面體體積的六分之一，即例6已知空間四點(diǎn)的坐標(biāo)a (0, 0, 0), b (0, 1, 0), c(0, 1, 1),d (1, 1, 1)求四而體的體積及到沏平而的距離.解由初等幾何知識(shí)，四面體昇磁的體積v等于以血?，aq弭為棱的平行 六面體的體積的丄，另外設(shè)/到妙所確定平面的距離為d , d =|(4b,ac,ap|bcxbd|則 v4=-b

16、cxbd6d = .注：求點(diǎn)a到平面龍的距離時(shí)，取龍上三個(gè)點(diǎn)5 g d(1)(2)(4)求出ab.ac.ad為棱的平行六面體的體積|(ab,ac,a)|； 求出 就，麗為鄰邊的平行四邊形的面積bcxbd； ab.ac.ad求岀點(diǎn)到平面的距離，吩曲岡3向量在立體幾何中應(yīng)用的反思3. 1對(duì)比綜合法與向量法的利弊綜合方法一不使用其他工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論其優(yōu)點(diǎn)是 注垂培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想缺點(diǎn)是 有吋解決問(wèn)題時(shí)的技巧性過(guò)強(qiáng)，而ii沒(méi)有一般規(guī)律可循，常常讓我們感覺(jué)“高不 可攀”，從而“望而卻步”.向量方法一以向量和向量的運(yùn)算為工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)

17、行討論其 優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)牛的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想以及代數(shù)計(jì)算能力的同時(shí) 也使立體幾何問(wèn)題的解決過(guò)程變得數(shù)量化、程序化，易于我們學(xué)習(xí)缺點(diǎn)是計(jì)算 量相對(duì)較大，對(duì)于計(jì)算能力較弱的同學(xué)，很容易算錯(cuò).如果在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，能夠具體情況具體分析，將綜合方法與向量方 法這兩種方法綜合運(yùn)用，那樣將會(huì)使得立體幾何問(wèn)題得到更完美的解決.3. 2向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟用向量法解決立體幾何問(wèn)題的方式有兩種：一是直接用向量的代數(shù)式運(yùn)算， 二是用向量的坐標(biāo)運(yùn)算一般來(lái)說(shuō)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，思維量更少，運(yùn)算技巧更 低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法若所給圖形不容易建立空間 直角坐標(biāo)系，我們也可以用

18、向量的代數(shù)式運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，但其技巧性相對(duì)較高, 對(duì)邏輯推理能力的要求也提高了.用向量坐標(biāo)運(yùn)算解題步驟：(1) 建立空間直角坐標(biāo)系.注意盡可能用已經(jīng)存在的過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的兩兩垂直 的三線，如果沒(méi)有三線，也盡量找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直，按右 手系建立坐標(biāo)系注意所寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)要與所建立的坐標(biāo)系相一致.(2) 寫(xiě)出需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)注意要仔細(xì)再仔細(xì)，此步若錯(cuò)，全題皆錯(cuò).(3) 寫(xiě)出所要用到的向量坐標(biāo)注意必須終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo).(4) 通過(guò)計(jì)算解決具體問(wèn)題注意公式要記對(duì)，運(yùn)算要仔細(xì).3. 3向量法能解決所有立體幾何問(wèn)題嗎這個(gè)問(wèn)題的答案顯然是“不” 世上不可能有一種“萬(wàn)能”方法能解決 所有的問(wèn)題我們能做的就是在眾多的方法中選擇適合的方法，“擇優(yōu)錄用” 我們可以把解決立體兒何問(wèn)題的思考過(guò)程分三步走第一步，若此題用綜合法很 簡(jiǎn)單，那就不必用向量法第二步，用綜合法解決有困難，而圖形又適合建立空 間直角坐標(biāo)系，可以通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題.第三步，用綜合法解決有困難，而圖形又不容易建立空間直角坐標(biāo)系，那也 可以考慮用向量的代