20080421高一數(shù)學(xué)（111任意角）

1、1.1 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1.1.1 1.1.1 任意角任意角第一章第一章 三角函數(shù)三角函數(shù) 高中新課程數(shù)學(xué)必修高中新課程數(shù)學(xué)必修問題提出問題提出1.1.角是平面幾何中的一個基本圖形，角角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的是可以度量其大小的. .在平面幾何中，角在平面幾何中，角的取值范圍如何？的取值范圍如何？ 2.2.體操是力與美的結(jié)合，也充滿了角的體操是力與美的結(jié)合，也充滿了角的概念概念20022002年年1111月月2222日，在匈牙利德布日，在匈牙利德布勒森舉行的第勒森舉行的第3636屆世界體操錦標賽中，屆世界體操錦標賽中，“李小鵬跳李小鵬跳”“踺子后手

2、翻轉(zhuǎn)體踺子后手翻轉(zhuǎn)體180180度接直體前空翻轉(zhuǎn)體度接直體前空翻轉(zhuǎn)體900900度度”，震驚四座，震驚四座，這里的轉(zhuǎn)體這里的轉(zhuǎn)體180180度、度、 轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體900900度就是一個度就是一個角的概念角的概念. . 3.3.過去我們學(xué)習了過去我們學(xué)習了0 0360360范圍的角，范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角如在但在實際問題中還會遇到其他角如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到常常聽到“轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體108010800 0”、“轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體126012600 0”這樣的解說再如鐘表的指針、擰動螺這樣的解說再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們

3、按照絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角，不全是不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角，不全是0 03603600 0范圍內(nèi)的角范圍內(nèi)的角. .因此，僅有因此，僅有0 0360360范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣概念進行推廣. . 知識探究（一）：知識探究（一）：角的概念的推廣角的概念的推廣 思考思考1 1：對于角的圖形特點有如下兩種認對于角的圖形特點有如下兩種認識：識：角是由平面內(nèi)一點引出的兩條射角是由平面內(nèi)一點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖線所組成的圖形（如圖1 1）；）；角是由平角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉(zhuǎn)面內(nèi)一條射線繞其

4、端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所組成的圖形（如圖到另一個位置所組成的圖形（如圖2 2）. .你認為哪種認識更科學(xué)、合理？你認為哪種認識更科學(xué)、合理？ 圖圖2 2圖圖1 1思考思考2 2：如圖，一條射線的端點是如圖，一條射線的端點是O O，它，它從起始位置從起始位置OAOA旋轉(zhuǎn)到終止位置旋轉(zhuǎn)到終止位置OBOB，形成，形成了一個角了一個角，其中點，其中點O O，射線，射線OAOA、OBOB分別分別叫什么名稱？叫什么名稱？A AOB B始邊始邊終終邊邊頂點頂點思考思考3 3：在齒輪傳動中，被動輪與主動輪在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的是按相反方向旋轉(zhuǎn)的. .一般地，一條射線一般地，一條

5、射線繞其端點旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時針方向旋繞其端點旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，也可以按順時針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，也可以按順時針方向旋轉(zhuǎn). .你認為將你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60600 0所形成的角，與按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角，與按順時針方向旋轉(zhuǎn)60600 0所所形成的角是否相等？形成的角是否相等？ 思考思考4 4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條轉(zhuǎn)方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，它還形成一個角射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，它還形成一個角嗎？嗎？ 規(guī)定：規(guī)定：按按逆時針逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的

6、角叫做方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角正角，按按順時針順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角負角如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個形成了一個零角零角. .畫圖表示一個大小一定的角，畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉(zhuǎn)再由角的正負確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對值大小方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注加以標注. . B B2 2A AB B1 1O O思考思考5 5：度量一個角的大小，既要考慮

7、旋轉(zhuǎn)方度量一個角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過上述規(guī)定，角的向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴展到了任意大小范圍就擴展到了任意大小. . 對于對于210210， 150150，660660，你能用圖形表示這，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點嗎？些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點嗎？ 思考思考6 6：如果你的手表慢了如果你的手表慢了2020分鐘，或快分鐘，或快了了1.251.25小時，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多小時，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時間校準？少度才能將時間校準？ 120120，450450. .思考思考7 7：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加、任意兩

8、個角的數(shù)量大小可以相加、相減，如相減，如 50508080=130=130， 50508080= =3030，你能解釋一下這兩個式，你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？子的幾何意義嗎？ 以以5050角的終邊為始邊，逆時針（或順角的終邊為始邊，逆時針（或順時針）旋轉(zhuǎn)時針）旋轉(zhuǎn)8080所成的角所成的角. . 思考思考8 8：一個角的始邊與終邊可以重合嗎？一個角的始邊與終邊可以重合嗎？如果可以，這樣的角的大小有什么特點？如果可以，這樣的角的大小有什么特點？ k k360360（kZkZ） 知識探究（二）：知識探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：為了進一步研究角的需要，我們?yōu)榱诉M一步研究角的需要

9、，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂點與原點重合點與原點重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非負半軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy思考思考2 2：如果角的終邊在第幾象限，我們?nèi)绻堑慕K邊在第幾象限，我們就說這個角是就說這個角是第幾象限的角第幾象限的角；如果角的；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為如何象限，或稱這個角為軸線角軸線角. .那么下那么下列各角：列各角：-50-50，405405，210210

10、, , -200-200，450450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo思考思考3 3：銳角與第一象限的角是什么邏輯銳角與第一象限的角是什么邏輯關(guān)系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關(guān)系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關(guān)系？直角與軸線角是什么邏輯關(guān)系？關(guān)系？直角與軸線角是什么邏輯關(guān)系？思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限，不象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小能反映角的大小. 思考思考5 5：在直角坐標系中，在直角坐標系中，135135

11、角的終角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是是135135嗎？嗎？xyo知識探究（三）：知識探究（三）：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第幾是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？32392xyo o328思考思考2 2：與與3232角終邊相同的角有多少個？角終邊相同的角有多少個？這些角與這些角與3232角在數(shù)量上相差多少？角在數(shù)量上相差多少？ 思考思考3 3：所有與所有與3232角終邊相同的角，角終邊相同的角，連同連同3232角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S S，

12、你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S嗎？嗎？ S=|S=|=k k360360，kZkZ ，即任，即任一與一與終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和與整數(shù)個周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的終邊相同的角，連同角角，連同角在內(nèi)所構(gòu)成的集合在內(nèi)所構(gòu)成的集合S S可以怎可以怎樣表示？樣表示？ 思考思考5 5：終邊在終邊在x x軸正半軸、負半軸，軸正半軸、負半軸，y y軸軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？正半軸、負半軸上的角分別如何表示？ x軸正半軸：= k360，kZ ； x軸負半軸：= 180k360，kZ ；y軸

13、正半軸：= 90k360，kZ ； y軸負半軸：= 270k360，kZ .思考思考6 6：終邊在終邊在x x軸、軸、y y軸上的角的集合分軸上的角的集合分別如何表示？別如何表示？ 終邊在x軸上：S=|=k180，kZ；終邊在y軸上：S=|=90k180， kZ. 思考思考7 7：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？合分別如何表示？ 第一象限：第一象限：S= | kS= | k360360 90 90k k360360，kZkZ ；第二象限：第二象限：S= | 90S= | 90k k360360 180 180k k360360，kZkZ ；第三象限：第三

14、象限：S= | 180S= | 180k k360360 270 270k k360360，kZkZ ；第四象限：第四象限：S= | S= | 9090k k360360 k k360360，kZkZ.思考思考8 8：如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k720720 23602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180理論遷移理論遷移 例例1 1 在在0 0360360范圍內(nèi)，找出范圍內(nèi)，找出與與950950121

15、2角終邊相同的角，并判角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角定它是第幾象限角. . 129 1294848，第二象限角，第二象限角. .S=|S=|=45=45k k180180，kZkZ.315315，-135-135，4545，225225，405405，585585. . 例例2 2 寫出終邊在直線寫出終邊在直線y=xy=x上的角的集上的角的集合合S S，并把，并把S S中適合不等式中適合不等式-360-360 720720的元素寫出來的元素寫出來. . 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值角的概念推廣后，角的大小可以任意取值. . 把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一的一條