近世代數(shù)復(fù)習(xí)題(共33頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上近世代數(shù)復(fù)習(xí)思考題一、基本概念與基本常識(shí)的記憶（一）填空題1.剩余類(lèi)加群Z12有_個(gè)生成元.2、設(shè)群G的元a的階是n，則ak的階是_.3. 6階循環(huán)群有_個(gè)子群.4、設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為。5. 模8的剩余類(lèi)環(huán)Z8的子環(huán)有_個(gè).6.整數(shù)環(huán)Z的理想有_個(gè). 7、n次對(duì)稱(chēng)群Sn的階是。8、9-置換分解為互不相交的循環(huán)之積是。9.剩余類(lèi)環(huán)Z6的子環(huán)S=0,2,4，則S的單位元是_.10. 中的所有可逆元是：_.11、凱萊定理的內(nèi)容是：任一個(gè)子群都同一個(gè)_同構(gòu)。12. 設(shè)為循環(huán)群，那么（1）若的階為無(wú)限，則同構(gòu)于_，（2）若的階為n，則同構(gòu)于_。13.

2、在整數(shù)環(huán)中，=_； 14、n次對(duì)稱(chēng)群Sn的階是_.15. 設(shè)為群的子群，則是群的子群的充分必要條件為_(kāi)。16、除環(huán)的理想共有_個(gè)。17. 剩余類(lèi)環(huán)Z5的零因子個(gè)數(shù)等于_.18、在整數(shù)環(huán)Z中，由2，3生成的理想是_.19. 剩余類(lèi)環(huán)Z7的可逆元有_個(gè).20、設(shè)Z11是整數(shù)模11的剩余類(lèi)環(huán)，則Z11的特征是_.21. 整環(huán)I=所有復(fù)數(shù)a+bi(a,b是整數(shù))，則I的單位是_.22. 剩余類(lèi)環(huán)Zn是域n是_.23、設(shè)Z7 =0，1，2，3，4，5，6是整數(shù)模7的剩余類(lèi)環(huán)，在Z7 x中, (5x-4)(3x+2)=_.24. 設(shè)為群，若，則_。25、設(shè)群G=e，a1，a2，an-1，運(yùn)算為乘法，e為G

3、的單位元，則a1n =_.26. 設(shè)A=a,b,c，則A到A的一一映射共有_個(gè).27、整數(shù)環(huán)Z的商域是_.28. 整數(shù)加群Z有_個(gè)生成元.29、若是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是的一個(gè)理想，那么是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)是。30. 已知為上的元素，則_。31. 每一個(gè)有限群都與一個(gè)_群同構(gòu)。32、設(shè)I是唯一分解環(huán)，則Ix與唯一分解環(huán)的關(guān)系是。二、基本概念的理解與掌握。（二）選擇題1.設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合B中含有2個(gè)元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（ ）個(gè)元素。A.2 B.5 C.7D.102.設(shè)ABR(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射：xx2，xR，則是從A到B的（ ）A.滿(mǎn)射而非單射B.單

4、射而非滿(mǎn)射 C.一一映射D.既非單射也非滿(mǎn)射3.設(shè)Z15是以15為模的剩余類(lèi)加群，那么，Z15的子群共有（ ）個(gè)。A.2B.4 C.6D.84、G是12階的有限群，H是G的子群，則H的階可能是( ) A 5； B 6； C 7； D 9.5、下面的集合與運(yùn)算構(gòu)成群的是 ( )A 0，1，運(yùn)算為普通的乘法；B 0，1，運(yùn)算為普通的加法;C -1，1，運(yùn)算為普通的乘法； D -1，1，運(yùn)算為普通的加法;6、關(guān)于整環(huán)的敘述，下列正確的是 ( )A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立;C 每個(gè)非零元都有逆元； D 每個(gè)非零元都沒(méi)有逆元;7、關(guān)于理想的敘述，下列不正確的是 ( )A 在環(huán)的同

5、態(tài)滿(mǎn)射下，理想的象是理想;B 在環(huán)的同態(tài)滿(mǎn)射下，理想的逆象是理想;C 除環(huán)只有兩個(gè)理想，即零理想和單位理想D 環(huán)的最大理想就是該環(huán)本身.8.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是( )。A.1個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)限個(gè)9. 設(shè)M2(R)= a,b,c,dR，R為實(shí)數(shù)域按矩陣的加法和乘法構(gòu)成R上的二階方陣環(huán)，那么這個(gè)方陣環(huán)是( )。A. 有單位元的交換環(huán) B. 無(wú)單位元的交換環(huán) C. 無(wú)單位元的非交換環(huán) D. 有單位元的非交換環(huán)10. 設(shè)Z是整數(shù)集，(a)= ，則是R的( ).A. 滿(mǎn)射變換 B. 單射變換 C. 一一變換 D. 不是R的變換11、設(shè)A=所有實(shí)數(shù)x，A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A

6、到A的一個(gè)子集 的同態(tài)滿(mǎn)射的是(       ).A、x10x B、x2x C、x|x| D、x-x .12、設(shè)是正整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）A、不適合交換律 B、不適合結(jié)合律 C、存在單位元 D、每個(gè)元都有逆元.13.設(shè)=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），則 中與元（1 2 3）不能交換的元的個(gè)數(shù)是(       )A、1  B、2   C、3 D、4.14、設(shè)為群，其

7、中G是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）A、0和； B、1和0； C、和； D、和15、設(shè)是有限群的子群，且有左陪集分類(lèi)。如果6,那么的階（ ）A、6 B、24 C、10 D、1216.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是(      ).A、1個(gè) B、2個(gè) C、4個(gè)  D、無(wú)限個(gè)。17、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿(mǎn)射，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（ ）A、若是零元，則是零元 B、若是單位元，則是單位元C、若不是零因子，則不是零因子 D、若是不交換的，則不交換18、下列正確的命題是（ ）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán) B、

8、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán) D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)19. 下列法則，哪個(gè)是集A的代數(shù)運(yùn)算( ).A. A=N, ab=a+b-2 B. A=Z,ab= C. A=Q, ab= D. A=R, ab=a+b+ab20. 設(shè)A=所有非零實(shí)數(shù)x,A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集的同態(tài)滿(mǎn)射的是( ).A. x-x B. x C. x D. x5x21. 在3次對(duì)稱(chēng)群S3中，階為3的元有( ).A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)22剩余類(lèi)環(huán)Z6的子環(huán)有( ).A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)23、設(shè)和都是群中的元素且，那么（ ）A.；

9、B.； C.； D.。24、設(shè)是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（ ）A.的同態(tài)核是的不變子群; B.的不變子群的象是的不變子群。C.的子群的象是的子群；D.的不變子群的逆象是的不變子群；25、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類(lèi)。如果6，那么的階（ ）A.6； B.24； C.10； D.12。（三）判斷題（每小題2分，共12分）1、設(shè)、都是非空集合，則到的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（ ）2、除環(huán)中的每一個(gè)元都有逆元。（ ）3、如果循環(huán)群中生成元的階是無(wú)限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。（ ）4、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。（ ）5、域是交換的除環(huán)。（ ）6、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因

10、子。（ ）7、設(shè)f：是群到群的同態(tài)滿(mǎn)射，a，則a與f (a)的階相同。（ ）8、一個(gè)集合上的全體一一變換作成一個(gè)變換群。（ ）9、循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。（ ）10、整環(huán)I中的兩個(gè)元素a，b滿(mǎn)足a整除b且b整除a，則ab。（ ）11、一個(gè)環(huán)若沒(méi)有左零因子，則它也沒(méi)有右零因子。（ ）12、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）13、如果環(huán)的階，那么的單位元。（ ）14、指數(shù)為2的子群不是不變子群。（ ）15、在整數(shù)環(huán)中，只有±1才是單位，因此在整數(shù)環(huán)中兩個(gè)整數(shù)相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩數(shù)相等或只相差一個(gè)符號(hào)。（ ）16、兩個(gè)單位和的乘積也是一個(gè)單位。（ ）17、環(huán)中素元一定是不可約元；

11、不可約元一定是素元。（ ）18、由于零元和單位都不能表示成不可約元之積，所以零元和單位都不能唯一分解。（ ）19、整環(huán)必是唯一分解環(huán)。（ ）20、在唯一分解環(huán)中，是中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是中的不可約元。（ ）21、設(shè)是唯一分解環(huán)，則中任意二個(gè)元素的最大公因子都存在，且任意二個(gè)最大公因子相伴。（ ）22、整數(shù)環(huán)和環(huán)都是主理想環(huán)。（ ）23、是主理想環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)是唯一分解環(huán)。（ ）24、整數(shù)環(huán)、數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán)和Gauss整環(huán)都是歐氏環(huán)。（ ）25、歐氏環(huán)必是主理想環(huán)，因而是唯一分解環(huán)。反之亦然。（ ）26、歐氏環(huán)主理想環(huán)唯一分解環(huán)有單位元的整環(huán)。（ ）27、設(shè)環(huán)的加法群是循環(huán)群,那么環(huán)R必是交換環(huán).

12、 （ ）28、對(duì)于環(huán)R,若是的左零因子,則必同時(shí)是的右零因子. （ ）29、剩余類(lèi)是無(wú)零因子環(huán)的充分必要條件是為素?cái)?shù). （ ）30、整數(shù)環(huán)是無(wú)零因子環(huán)，但它不是除環(huán)。（ ）31、是的子域. （ ）32、在環(huán)同態(tài)下，零因子的象可能不是零因子。（ ）33、理想必是子環(huán),但子環(huán)未必是理想. （ ）34、群的一個(gè)子群元素個(gè)數(shù)與的每一個(gè)左陪集的個(gè)數(shù)相等. （ ）35、有限群中每個(gè)元素的階都整除群的階。（ ）三、基本方法與技能掌握。（四）計(jì)算題1設(shè) 為整數(shù)加群, ,求 解     在 Z中的陪集有:, , , , 所以, .2、找出的所有子群。解：S3顯然有以下子群

13、： 本身；（1）=（1）；（12）=（12），（1）； （13）=（13），（1）；（23）=（23），（1）； （123）=（123），（132），（1） 若S3的一個(gè)子群H包含著兩個(gè)循環(huán)置換，那么H含有（12），（13）這兩個(gè)2-循環(huán)置換，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一個(gè)子群含有兩個(gè)循環(huán)置換（21），（23）或（31），（32）。這個(gè)子群也必然是S3。 用完全類(lèi)似的方法，可以算出，若是S3的一個(gè)子群含有一個(gè)2-循環(huán)置換和一個(gè)3-循環(huán)置換，那么這個(gè)子群也必然是S3。3求 的所有子群。解 的子群有  &

14、#160;                                       .4 將 表為對(duì)換的乘積.解 .   容易驗(yàn)證: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(

15、2 7)(1 2).5 設(shè)按順序排列的13張紅心紙牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K經(jīng)一次洗牌后牌的順序變?yōu)?, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9問(wèn): 再經(jīng)兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是怎樣的?解 每洗一次牌, 就相當(dāng)于對(duì)牌的順序進(jìn)行一次新的置換. 由題意知, 第一次洗牌所對(duì)應(yīng)的置換為則3次同樣方式的洗牌所對(duì)應(yīng)的置換為6 在 中, 計(jì)算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .解 (1) ;    (2) ;    (3) ;    

16、60;(4) .7試求高斯整環(huán) 的單位。解 設(shè) () 為 的單位, 則存在 , 使得 , 于是因?yàn)?, 所以 . 從而 , , 或 . 因此可能的單位只有顯然它們都是 的單位. 所以 恰有四個(gè)單位: 8 試求中的所有零因子與可逆元, 并確定每個(gè)可逆元的逆元素.解 由定理可知:    (1) 為 的全部零因子.    (2) 為 的全部可逆元. 直接計(jì)算可知, 相應(yīng)的逆元為,  ,  ,  .9、找出模6的剩余類(lèi)環(huán)的所有理想。解：R=0，1，2，3，4，5。 若I是R的一個(gè)理想，那么I一

17、定是加群R的一個(gè)子群。但加群R是循環(huán)群，所以它的子群一定也是循環(huán)群，我們有 G1=（0）=0 G2=（1）=（5）=R G3=（2）=（4）=0，2，4 G4=（3）=0，3 易見(jiàn)，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。10 在 中, 解下列線性方程組:解:即 , .11求 的所有子環(huán).解 設(shè) 為 的任一子環(huán), 則 是 的子加群, 而 為有限階循環(huán)群, 從而 也是循環(huán)群, 且存在 , , 使得 . 的可能取值為1, 2, 3, 6, 9, 12。相應(yīng)的子加群為    ,    , 

18、60;  ,    ,    ,    .直接驗(yàn)證可知, 以上六個(gè)子加群都關(guān)于剩余類(lèi)的乘法封閉, 所以它們都是 的子環(huán). 于是 恰有6個(gè)子環(huán): 12. 試求 的所有理想.解 設(shè) 為 的任意理想, 則 為 的子環(huán)， 則,  ,  且 .    對(duì)任意的 , , 有,    從而由理想的定義知, 為 的理想. 由此知, 的全部理想為且 .13、數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)的理想是怎樣

19、的一個(gè)主理想。解 由于，所以，于是得。14、在 中, 求 的全部根.解 共有16個(gè)元素: , , , , 將它們分別代入 ,可知共有下列4個(gè)元素, , , 為 的根.15試舉例說(shuō)明，環(huán)中的m次與n次多項(xiàng)式的乘積可能不是一個(gè)m+n次多項(xiàng)式.解 例如，環(huán)中多項(xiàng)式 與 的乘積就不是3+2次多項(xiàng)式.16.求出域上的所有2次不可約多項(xiàng)式.解 經(jīng)驗(yàn)算得知，上的2次不可約多項(xiàng)式有三個(gè)，它們是： 17、指出下列哪些元素是給定的環(huán)的零因子.(1) 在中.設(shè).(2) 在中,它的全部零因子是哪些.(3) 中有零因子嗎?解 (1) 是零因子,但不是.(2) 中的零因子為(3) 中沒(méi)有零因子.18.求二階方陣環(huán)的中心.

20、解 高等代數(shù)已經(jīng)證明，n階方陣A與任何n階方陣可交換A是純量矩陣.因此的中心 19舉例說(shuō)明，非零因子的象可能會(huì)是零因子.解：設(shè) 是環(huán)同態(tài)滿(mǎn)射,其中:.則顯然是整環(huán)， 所以中沒(méi)有零因子。但在 中, 和 、 都是零因子.即 2顯然不是中的零因子,但卻是中的零因子.這告訴我們:非零因子的象可能會(huì)是零因子.20.設(shè)R為偶數(shù)環(huán).證明： 問(wèn)：是否成立？N是由哪個(gè)偶數(shù)生成的主理想？解： ： 故另外 故總之有另方面，由于且而且實(shí)際上N是偶數(shù)環(huán)中由8生成的主理想，即，但是因此，.實(shí)際上是21、舉例說(shuō)明，素理想不一定是極大理想。解 例如是有單位元的交換環(huán)，容易證明是它的一個(gè)素理想.而理想真包含且.從而知是的素理想

21、但不是極大理想.22、設(shè),求關(guān)于的所有左陪集以及右陪集.解 ,的所有左陪集為:;的所有右陪集為:;.四、綜合應(yīng)用能力。（五）證明題1在群 中, 對(duì)任意 , 方程 與 都有唯一解. 證明 令 , 那么 , 故 為方程 的解。 又如 為 的任一解, 即 ,則.這就證明了唯一性.   同理可證另一方程也有唯一解.2全體可逆的  階方陣的集合 ()關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)非交換群. 這個(gè)群的單位元是單位矩陣.每個(gè)元素(即可逆矩陣) 的逆元是 的逆矩陣 . 證明   (1) 設(shè) 都是 階可逆矩陣, 則 , , 從而 . 所以  也是 階

22、可逆矩陣. 這說(shuō)明矩陣的乘法是 的代數(shù)運(yùn)算;    (2) 因?yàn)榫仃嚨某朔M(mǎn)足結(jié)合律, 所以 的乘法也滿(mǎn)足結(jié)合律;    (3) 設(shè) 為 階單位矩陣, 則 , 故 , 且對(duì)任意的 , 有 所以, 是 的單位元.     (4) 設(shè) , 則 . 從而 可逆, 設(shè) 為 的逆矩陣, 則 , 故 , 且 . 所以 的逆矩陣 為 在 中的逆元. 因此, 構(gòu)成群. 由矩陣的乘法易知, 當(dāng) 時(shí) 是非交換群.3  ，。那么H是的一個(gè)子群。 &

23、#160; 證明  I.H對(duì)于G的乘法來(lái)說(shuō)是閉的，        (1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)；    II.結(jié)合律對(duì)于所有G的元都對(duì)，對(duì)于H的元也對(duì)；    IV.；    V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。4一個(gè)群G的一個(gè)不空有限子集H作成G的一個(gè)子群的充分而且必要條件是： 證明 必要性

24、。H是G的非空子集且H的每一個(gè)元素的階都有限。若H是子群，則由子群的條件必有充分性。由于H是G的非空子集，若又H的每一個(gè)元素的階都有限 ，綜上知H是G的子群。5 設(shè) 是所有 階可逆矩陣關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成的群. 是所有行列式等于1的 階矩陣所組成的集合. 則 是 的子群.證明 首先, 單位矩陣 的行列式為 1, 所以 非空. 又對(duì)任一 階方陣 , 如果 , 則 , 所以  可逆, 故 是 的子集. 又對(duì)任意的 , 有 , 所以 .這說(shuō)明 . 從而由定理知, 是 的子群.6群 的任何兩個(gè)子群的交集也是 的子群. 證明     設(shè) 為  

25、的兩個(gè)子群, 則    (1) , 所以 , 即 ;    (2) 任給 , 則 , 因此 ;    (3) 任給 , 那么 , 因此 , 所以 . 從而由定理2知, 是  的子群.7 設(shè) 為 的子群. 則 在 中左陪集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相同.證明 設(shè) , 分別表示 在 中的左、右陪集所組成的集合. 令             

26、;                                ,  .則 是 到 的雙射.    事實(shí)上    (1) 如果 , 那么 , 故 , 所以, . 于是, 為 到 的映射.  

27、;   (2) 任給 , 有 , 因此, 為滿(mǎn)射.     (3) 如果 , 那么 , 因此 , 從而得 為雙射.即在 中左陪集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相同.8有限群 的任一元素的階都是群 的階數(shù)的因子.證明 設(shè)G的元a的階為n, 則a生成一個(gè)階是n的子群，由以上定理，n整除G的階。9 設(shè) 與 為群, 是 與 的同構(gòu)映射, 則    (1) 如果 為 的單位元, 則 為 的單位元;    (2) 任給 , 為 的逆元, 即 證明

28、(1) 因?yàn)?由消去律知, 為 的單位元.    (2) 任給 ,從而知 為 的逆元. 所以, .10如果 是交換群, 則 的每個(gè)子群 都是 的正規(guī)子群.    證明 因?yàn)?為交換群, 所以 的每個(gè)左陪集 也就是右陪集 .11 設(shè) 為群 的子群. 若 , 那么 .證明 任給 , 如果 , 那么 . 如果 , 那么 與 是 在 中的兩個(gè)不同的左陪集, 所以,同理,.因?yàn)?, 而 , 所以 . 同理可證: . 從而 . 由此知 .12 設(shè) , , 則 .    證明 (1) , , , 則所以, 為 的子群.

29、    (2) 任給 , , 則所以, , 從而 .13群 的任何兩個(gè)正規(guī)子群的交還是 的正規(guī)子群.證明 設(shè) 與 為 的兩個(gè)正規(guī)子群, , 則 為 的子群. 又任給 , , 則因?yàn)?與 都是 的正規(guī)子群, 所以所以, . 故 .14 設(shè) 與 是群, 是 到 的同態(tài)映射.    (1) 如果 是 的單位元, 則 是 的單位元;    (2) 對(duì)于任意的 , 是 在 中的逆元. 即證明 (1) 因?yàn)?是 的單位元, 設(shè) 是 的單位元, 則從而有消去律得: . 

30、   (2) 因?yàn)?從而可知, .15  設(shè) 與 是群, 是 到 的滿(mǎn)同態(tài).如果 是 的正規(guī)子群, 則 是 的正規(guī)子群.證明 由定理知, 是 的子群. 又對(duì)任意的 , 因?yàn)?是滿(mǎn)同態(tài), 所以存在 , 使得 . 從而所以, 是 的正規(guī)子群.16  設(shè)，的階為，證明的階是，其中。    證明：首先，；    其次，若，即，因?yàn)榈碾A為，所以 ，而   ，故的階是。17 設(shè)是循環(huán)群，G與同態(tài)，證明是循環(huán)群

31、。    證明：設(shè)G()，下證。    ，存在，使，    又，    所以。   18  證明循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。    證明：設(shè)，H是G的子群，又設(shè)是屬于H且指數(shù)最小的正整數(shù)，下證。    ，設(shè)，則，若    ，這與的取法矛盾，故。19 假定和是一個(gè)群

32、G的兩個(gè)元，并且，又假定的階是，的階是，證明：的階是。    證明：一方面，；    另一方面，若，則 ；    同理，；于是由   ，有，故，的階是。20假定H是G的子群，N是G的不變子群，證明HN是G的子群。    證明：，    ，    。21設(shè) 是一個(gè)環(huán), 如果 有單位元, 則 的單位元是唯一的. 的單位元常

33、記作 .      證明    設(shè) 都是 的單位元, 則所以, .22、設(shè)為實(shí)數(shù)集，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，作成一個(gè)群。證明 (1)(封閉性) 我們有: 由于 中元素是封閉的.(2)(結(jié)合律)凡是映射的合成都滿(mǎn)足結(jié)合律.故中的元素也滿(mǎn)足結(jié)合律.(3)(單位元)顯然是的恒等變換,由定義2知必是的單位元.(4)(左逆元) 那么 故 并且 . (這個(gè)等式可以驗(yàn)證)故知.由上述是一個(gè)的變換群.23全體偶數(shù) 關(guān)于通常的數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)沒(méi)有單位元的交換環(huán).證明 (1) 任

34、給 , 則所以, 數(shù)的加法與乘法是 的代數(shù)運(yùn)算.(2) 因?yàn)閿?shù)的加法與乘法滿(mǎn)足交換律, 結(jié)合律, 且乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律, 所以 的加法與乘法也滿(mǎn)足這些運(yùn)算律.    (3) 因?yàn)?, 且對(duì)任意的 , 有所以數(shù)零是 的加法零元.    (4) 任給 , ,所以 的每個(gè)元都有負(fù)元, 且 .    從而由環(huán)的定義知, 構(gòu)成交換環(huán), 顯然 無(wú)單位元.    事實(shí)上， 如果 有單位元 , 則 , , 且對(duì)任意的 , 有 ，即 , 所以 , ,

35、矛盾.24、設(shè)群G的每個(gè)元素x都適合方程x2= e，這里e是G的單位元，求證：G是交換群。證明：任意x、yG，由x2= e，y2= e有x-1= x，y-1= y。又由(xy)2= e有(xy)-1= xy。從而yx= y-1 x-1= (xy)-1= xy即G是交換群25 證明數(shù)集 關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)有單位元的交換環(huán).證明 (1) 任給 , , 則所以, 數(shù)的加法與乘法是 的代數(shù)運(yùn)算.(2) 因?yàn)閿?shù)的加法與乘法滿(mǎn)足交換律, 結(jié)合律, 且乘法對(duì)加法有分配律, 所以 的加法與乘法也滿(mǎn)足這些運(yùn)算律.(3) 因?yàn)?, 且對(duì)任意的 , 有所以數(shù)零為 的零元.(4) 任給 , , 且所以, 的負(fù)

36、元為 .    (5) 因?yàn)?, 且對(duì)任意的 , 有所以數(shù)1為 的單位元.26 在一個(gè)無(wú)零因子環(huán)中, 兩個(gè)消去律成立. 即設(shè) , , 如果 , 或 , 則 .證明 設(shè) , 則 . 因?yàn)?無(wú)零因子, 且 , 所以 , 從而 . 同理可證另一個(gè)消去律成立.27、群G的兩個(gè)子群的交集還是G的子群。證明：設(shè)H1、H2為G之子群，a、bH1H2，則a、bH1，且a、bH2又H1、H2為子群，故ab-1H1，ab-1H2，從而ab-1H1H2又顯然eH1H2，即H1H2非空，故H1H2是G之子群28 證明 為域.證明 可先證 是有單位元的交換環(huán). 下證,

37、的每個(gè)非零元都可逆.設(shè) , , 則 . 令 , 則 , 且 . 故為域.29、設(shè)R是階大于1的交換環(huán)。證明：當(dāng)R不含零因子時(shí)，Rx亦然。證明：因?yàn)?R >1，故Rx有非零多項(xiàng)式。 設(shè)Rx有零因子，即存在非零多項(xiàng)式f(x)，g(x)，f(x)g(x) g(x)，使f(x)g(x)=0。 (*) 令a0，b0分別是f(x)，g(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)，則ab為f(x)g(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)。從而由(*)知，ab0即是R的零因子，這R與無(wú)零因子矛盾。 因此，當(dāng)R無(wú)零因子時(shí)，Rx也沒(méi)有零因子。 30 在一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)里所有不等于零的元對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階都是一樣的。  

38、  證明：如果的每一個(gè)不等于零的元的階都是無(wú)限大，那么定理是對(duì)的。假定的某一個(gè)元的階是有限整數(shù)，而是的另一個(gè)不等于零的元。由 ，可得，所以 的階的階；同樣可得，的階的階。所以的階的階。31、設(shè)f：是環(huán)到環(huán)的同態(tài)滿(mǎn)射，求證：f是到的同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)f的核是的零理想。證明：由于f為同態(tài)滿(mǎn)射，故f為同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)f為單射，從而只須證明f為單射當(dāng)且僅當(dāng)f的核是的零理想若f單射，則由f(0)0知f的核是0。反之，若f的核是0，對(duì)任意x、yG，若f(x)f (y)，則f(x-y)0即x-yKerf=0，故x-y0即x= y，f為單射。32 如果無(wú)零因子環(huán)的特征是有限整數(shù)，那么是一個(gè)

39、素?cái)?shù)。證明：假設(shè)n不是素?cái)?shù)，但這與環(huán)R無(wú)零因子矛盾。 33、求證：若a生成一個(gè)n階循環(huán)群G，k與n互素，則ak也生成G。證明：只須證明ak的階是n設(shè)ak的階是r，e是G的單位元。由于a的階是n，故 (ak)n=ak n =e，知r整除n。又由ak的階是r知ak r =(ak)r =e，而a的階是n，故n整除kr但k與n互素，故n整除r，從而n等于r，即ak的階是n34 設(shè) 為 的非空子集. 證明: 為 的子環(huán)的充分必要條件時(shí), 存在非負(fù)整數(shù) , 使得證明 (充分性) 設(shè) . 則任給 , , 有    (1) ;   

40、0;(2) .從而由定理知, 為 的子環(huán).    (必要性) 設(shè) 為 的子環(huán), 則 為 的子群. 因 為無(wú)限循環(huán)群, 所以存在非負(fù)整數(shù) , 使得                             .          35、求證：一個(gè)至少有兩個(gè)元而且沒(méi)有零因子的有限環(huán)是一個(gè)除環(huán) 。證明：不妨設(shè)R=0，a1，an-1，a1，an-1不為0，R是一個(gè)沒(méi)有零因子的有限環(huán)。由于R沒(méi)有零因子，故a1，是R的n非0元，但R只有n-1個(gè)非0元，故必有i<j，使=對(duì)任意的有，即，又由于R沒(méi)有零因子，則，知是R之單位元，且a1是R之單位同理，對(duì)任意的可有s<t，使得是R之單位元，故ak是R之單位從而R是一個(gè)除環(huán) 36 設(shè) 為環(huán). 證明