D多元復合函數(shù)的求導法則學習教案

1、會計學1D多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則v 一元復合函數(shù)一元復合函數(shù)求導法則求導法則微分法則微分法則v 二元復合函數(shù)二元復合函數(shù)求導法則求導法則微分法則微分法則若多元復合函數(shù)的若多元復合函數(shù)的中間變量不止一個中間變量不止一個,結果如何結果如何?第1頁/共19頁定理定理 處處偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù), 在點 t 可導, 則復合函數(shù)證明證明:則相應中間變量且vutt有增量u ,v ,（全導數(shù)）（全導數(shù)）若函數(shù)設 t 取得增量t ,由題設知),(vufz 可微則則第2頁/共19頁( 全導數(shù)公式全導數(shù)公式 )zvutt(t0 時,根式前加“”號)第3頁/共19頁(1) 中間變量多于兩個的情形

2、中間變量多于兩個的情形. 設下面所涉及的函數(shù)都可微(2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.z如如如如yx第4頁/共19頁(3) 中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形.xzyzzvuyxxuuzyuuz如如第5頁/共19頁當它們都具有可微條件時當它們都具有可微條件時, 有有注意注意:這里這里xzxz表示表示 f ( x, ( x, y ) )固定固定 y 對對 x 求導求導xf表示表示f ( x, v )固定固定 v 對對 x 求導求導與與不不同同x第6頁/共19頁解解:xzyzvusinexvvzyvvzvucosezyx第7頁/共19

3、頁解解:y第8頁/共19頁zt求全導數(shù)解解:(4) 多元抽象復合函數(shù)求導多元抽象復合函數(shù)求導下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數(shù)符號技巧與常用導數(shù)符號.推廣推廣:t第9頁/共19頁為簡便起見為簡便起見 , 引入記號引入記號f 具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù),求求解解:zyx則則(,)xyz xyz令令第10頁/共19頁xzxyx 全微全微分分其中其中f偏導數(shù)，求偏導數(shù)，求解解: 具具有二階連續(xù)的有二階連續(xù)的y第11頁/共19頁設函數(shù)設函數(shù)的全微分的全微分為為可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 則復

4、合函數(shù)則復合函數(shù)都可微都可微, , 其全微分表達其全微分表達 形式都一樣形式都一樣, 這性質叫做這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.第12頁/共19頁例例1 .,yzxz求利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例1解解: :所以所以 練習練習例1 第13頁/共19頁1 復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則如如 3f2 全微分形式不變性全微分形式不變性不論不論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量,第14頁/共19頁解答提示解答提示:P31 題題71 xzP31 題題7; 8(2)zyxvuvu第15頁/共19頁P31 題題8(2)y11f 1f )(2yx2f yx zy第16頁/共19頁1 已知求解解:兩邊對 x 求導, 得由