D多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則v 一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則微分法則微分法則v 二元復(fù)合函數(shù)二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則微分法則微分法則若多元復(fù)合函數(shù)的若多元復(fù)合函數(shù)的中間變量不止一個中間變量不止一個,結(jié)果如何結(jié)果如何?第1頁/共19頁定理定理 處處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在點 t 可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)證明證明:則相應(yīng)中間變量且vutt有增量u ,v ,（全導(dǎo)數(shù)）（全導(dǎo)數(shù)）若函數(shù)設(shè) t 取得增量t ,由題設(shè)知),(vufz 可微則則第2頁/共19頁( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )zvutt(t0 時,根式前加“”號)第3頁/共19頁(1) 中間變量多于兩個的情形

2、中間變量多于兩個的情形. 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微(2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.z如如如如yx第4頁/共19頁(3) 中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形.xzyzzvuyxxuuzyuuz如如第5頁/共19頁當(dāng)它們都具有可微條件時當(dāng)它們都具有可微條件時, 有有注意注意:這里這里xzxz表示表示 f ( x, ( x, y ) )固定固定 y 對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)xf表示表示f ( x, v )固定固定 v 對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)與與不不同同x第6頁/共19頁解解:xzyzvusinexvvzyvvzvucosezyx第7頁/共19

3、頁解解:y第8頁/共19頁zt求全導(dǎo)數(shù)解解:(4) 多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.推廣推廣:t第9頁/共19頁為簡便起見為簡便起見 , 引入記號引入記號f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求求解解:zyx則則(,)xyz xyz令令第10頁/共19頁xzxyx 全微全微分分其中其中f偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，求解解: 具具有二階連續(xù)的有二階連續(xù)的y第11頁/共19頁設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的全微分的全微分為為可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 則復(fù)

4、合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)都可微都可微, , 其全微分表達其全微分表達 形式都一樣形式都一樣, 這性質(zhì)叫做這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.第12頁/共19頁例例1 .,yzxz求利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例1解解: :所以所以 練習(xí)練習(xí)例1 第13頁/共19頁1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如如 3f2 全微分形式不變性全微分形式不變性不論不論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量,第14頁/共19頁解答提示解答提示:P31 題題71 xzP31 題題7; 8(2)zyxvuvu第15頁/共19頁P31 題題8(2)y11f 1f )(2yx2f yx zy第16頁/共19頁1 已知求解解:兩邊對 x 求導(dǎo), 得由