2017年中考數學《解直角三角形》專題練習含答案解析

1、第 1 頁（共 42 頁）解直角三角形一、選擇題（共13 小題，每小題 4 分，滿分 52 分）1在 abc中，已知 ab=5，ac=3 ，bc=4 ，則下列結論中正確的是（）asina=bcosb=ctana=dtanb=2如圖，abc為邊長是 5 的等邊三角形，點 e在 ac邊上，點 f在 ab邊上，ed bc ，且 ed=ae ，df=af ，則 ce的長是（）abc20+10d20103正方形網格中， aob如圖放置，則 cosaob的值為（）abcd24在 rtabc中， c=90 ，a，b，c 分別是 a，b，c的對邊，下列關系式中錯誤的是（）ab=c?cosbbb=a?tanbc

2、 a=c?sinada=b?cotb5如圖，已知 ?abcd中， dbc=45 ，de bc于 e，bf cd于 f，de 、bf相交于 h，bf、ad的延長線相交于 g，下面結論：db=be； a=bhe ；ab=bh ； bhd bdg 其中正確的結論是（）第 2 頁（共 42 頁）abcd6如圖，點 a 的坐標為（ 1，0），點 b在直線 y=x上運動，當線段 ab最短時，點 b的坐標為（）a（0，0）b（，） c（，） d（，）7如圖， ab為o 的直徑， ca切o于 a，cb交o于 d，若 cd=2 ，bd=6，則 sinb=（）abcd8在 rtabc中， c=90 ，ab=13，

3、bc=5 ，則 tana=（）abcd9已知在 rtabc中， c=90 ，sina= ，則 tanb的值為（）abcd10如圖為了測量某建筑物ab的高度，在平地上c處測得建筑物頂端a的仰角為 30 ，沿 cb方向前進 12m 到達 d 處，在 d 處測得建筑物頂端a 的仰角為 45 ，則建筑物 ab的高度等于（）a6（+1）m b6（1）m c12（+1）m d12（1）m11已知 為等邊三角形的一個內角，則cos 等于（）abcd第 3 頁（共 42 頁）12王英同學從 a 地沿北偏西 60 方向走 100m 到 b 地，再從 b 地向正南方向走200m到 c地，此時王英同學離a 地（）a

4、m b100m c150m dm13如圖， abc的頂點都是正方形網格中的格點，則cosabc等于（）abcd二、填空題（共10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分）14化簡=15如圖，鐵路的路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為1：1.5，上底寬為 6m，路基高為 4m，則路基的下底寬為m16如圖，某公園入口處原有三階臺階，每級臺階高為20cm，深為 30cm為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為a，斜坡的起始點為c，現將斜坡的坡度設計為 i=1：4.5，則 ac的長為cm17身高 1.6m 的小麗用一個兩銳角分別為30 和 60 的三角尺測量一棵樹的高度，已知第 4 頁（共 42

5、 頁）她與樹之間的距離為6m，那么這棵樹高大約為m（結果精確到0.1m，其中小麗眼睛距離地面的高度近似為身高）18如圖，在正方形網格中，abo的正切值是19若abc中， c=90 ，ac：bc=3 ：4，那么 sina=20如圖，有一個邊長為5 的正方形紙片 abcd ，要將其剪拼成邊長分別為a，b 的兩個小正方形，使得 a2+b2=52a，b 的值可以是（提示：答案不惟一）（寫出一組即可）；請你設計一種具有一般性的裁剪方法，在圖中畫出裁剪線，并拼接成兩個小正方形，同時說明該裁剪方法具有一般性：21將一個含 30 角的三角板和一個含45 角的三角板如圖擺放， acb與dce完全重合， c=90

6、 ，a=45 ，edc=60 ，ab=4，de=6 ，則 eb=第 5 頁（共 42 頁）22比較大?。?sin33 +cos331（可用計算器輔助）23在 rtabc中， c=rt ，如果 ac=3 ，bc=4 ，那么 sina=三、解答題24如圖，拋物線的頂點為a（2，1），且經過原點o，與 x 軸的另一個交點為b（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上求點m，使 mob 的面積是 aob面積的 3 倍；（3）連接 oa，ab，在 x軸下方的拋物線上是否存在點n，使obn與oab相似？若存在，求出 n 點的坐標；若不存在，說明理由25計算：26如圖，小明站在 a處放風箏，風箏飛到 c處時的

7、線長為 20 米，這時測得 cbd=60 ，若牽引底端 b離地面 1.5 米，求此時風箏離地面高度（計算結果精確到0.1 米，1.732）27計算：28為測量大樓 cd的高度，某人站在a 處測得樓頂的仰角為45 ，前進 20m 后到達 b處測得樓頂的仰角為60 ，求大樓 cd的高度29如圖，為測量某塔ab 的高度，在離該塔底部20 米處目測其頂 a，仰角為 60 ，目第 6 頁（共 42 頁）高 1.5 米，試求該塔的高度（1.7）30九年級甲班數學興趣小組組織社會實踐活動，目的是測量一山坡的護坡石壩高度及石壩與地面的傾角 （1）如圖 1，小明所在的小組用一根木條ef斜靠在護坡石壩上，使得bf

8、與 be的長度相等，如果測量得到 efb=36 ，那么 的度數是；（2）如圖 2，小亮所在的小組把一根長為5 米的竹竿 ag斜靠在石壩旁，量出竿長1 米時離地面的高度為0.6 米，請你求出護坡石壩的垂直高度ah；（3）全班總結了各組的方法后，設計了如圖3 方案：在護坡石壩頂部的影子處立一根長為 a 米的桿子 pd ，桿子與地面垂直，測得桿子的影子長為b 米，點 p 到護坡石壩底部 b 的距離為 c 米，如果利用（ 1）得到的結論，請你用a、b、c 表示出護坡石壩的垂直高度 ah（sin72 0.95，cos720.3，tan72 3）31如圖，某中學科學樓高15 米，計劃在科學樓正北方向的同一

9、水平地上建一幢宿舍樓，第一層是高2.5 米的自行車場，第二層起為宿舍已知該地區(qū)一年之中“ 冬至” 正午時分太陽高度最低，此時太陽光線ab的入射角 abd=55 ，為使第二層起能照到陽光，兩樓間距 ef至少是多少米（精確到0.1 米）（參考數據： tan55 =1.4281，tan35 =0.7002）第 7 頁（共 42 頁）32如圖，某電信部門計劃修建一條連接b、c兩地的電纜，測量人員在山腳a 點測得b、c兩地的仰角分別為30 、45 ，在 b地測得 c地的仰角為 60 度已知 c地比 a 地高200 米，電纜 bc至少長多少米？（精確到0.1 米）33如圖所示，把一個直角三角尺abc繞著

10、60 角的頂點 b順時針旋轉， 使得點 c與 ab的延長線上的點 d 重合，已知 bc=6 （1）三角尺旋轉了多少度？連接cd ，試判斷 bcd的形狀；（2）求 ad 的長；（3）連接 ce ，試猜想線段 ac與 ce的大小關系，并證明你的結論34計算：35計算：（ 2）3+（）1cos60 （1）036計算： 22+（）0+2sin30 37又到了一年中的春游季節(jié)，某班學生利用周末到白塔山去參觀“ 晏陽初博物館 ” 下面是兩位同學的一段對話：第 8 頁（共 42 頁）甲：我站在此處看塔頂仰角為60 ；乙：我站在此處看塔頂仰角為30 ；甲：我們的身高都是1.5m；乙：我們相距20m請你根據兩位

11、同學的對話，計算白塔的高度（精確到1 米）38如圖，有兩棵樹，一棵高14m，另一棵高 10m，兩樹相距 5m一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？39如圖，沿江堤壩的橫斷面是梯形abcd ，壩頂 ad=4m，壩高 ae=6 m ，斜坡 ab的坡比 i=1：2，c=60 ，求斜坡 ab、cd的長40如圖，為了測量電線桿的高度ab，在離電線桿 25 米的 d 處，用高 1.20米的測角儀cd測得電線桿頂端a 的仰角 =22，求電線桿 ab的高（精確到0.1 米）參考數據：sin22 =0.3746，cos22=0.9272，tan22 =0.4040，cot22 =2.4751

12、41蘭州市城市規(guī)劃期間，欲拆除黃河岸邊的一根電線桿ab（如圖），已知距電線桿ab水平距離 14 米處是河岸，即bd=14米，該河岸的坡面cd的坡角 cdf的正切值為2，岸高 cf為 2 米，在坡頂 c處測得桿頂 a 的仰角為 30 ，d、e之間是寬 2 米的人行道，第 9 頁（共 42 頁）請你通過計算說明在拆除電線桿ab 時，為確保安全，是否將此人行道封上？（在地面上以點 b為圓心，以 ab長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域）42課外實踐活動中，數學老師帶領學生測量學校旗桿的高度如圖，在a 處用測角儀（離地高度為 1.5 米）測得旗桿頂端的仰角為15 ，朝旗桿方向前進 23 米到 b處，再次測得旗

13、桿頂端的仰角為30 ，求旗桿 eg的高度43如圖所示，張伯伯利用假日在某釣魚場釣魚，風平浪靜時，魚漂露出水面部分ab=6cm，微風吹來，假設鉛垂p 不動，魚漂移動了一段距離bc ，且頂端恰好與水面齊平， （即 pa=pc ） 水平 l 與 oc的夾角 為 8（點 a 在 oc上）， 求鉛錘 p處的水深 h （參考數據： sin8 ，cos8 ，tan8 ）第 10 頁（共 42 頁）解直角三角形參考答案與試題解析一、選擇題（共13 小題，每小題 4 分，滿分 52 分）1在 abc中，已知 ab=5，ac=3 ，bc=4 ，則下列結論中正確的是（）asina=bcosb=ctana=dtanb

14、=【考點】銳角三角函數的定義【分析】先判定此三角形為直角三角形，再根據銳角三角函數的定義，分別求得sina、cosb、tana、tanb的值，即可判斷【解答】解：在 abc中， ab=5，ac=3，bc=4 ，abc是直角三角形，其中 c是直角sina= ，cosb= ，tana=，tanb= ，故選 a【點評】本題考查銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊2如圖，abc為邊長是 5 的等邊三角形，點 e在 ac邊上，點 f在 ab邊上，ed bc ，且 ed=ae ，df=af ，則 ce的長是（）abc20+10d2010【考點】等邊

15、三角形的性質【專題】計算題【分析】根據 edbc可得 ced=30 ，即可求得 ec與 ed的關系，設 de=x ，則 ae=x ，根據 de即可計算 ce ，根據 ae +ce=5即可計算 x 的值，根據 ce=ac ae即可求 ce的值第 11 頁（共 42 頁）【解答】解： edbc ，c=60 ，ced=30 ，設 de=x ，則 ae=x ，且 ce=x，又ae +ce=5 ，x+x=5，解得 x=1015，ce=5 （1015）=2010故選 d【點評】本題考查了特殊角的正弦值， 等邊三角形各內角為60的性質，本題中根據ae、ce求 x 的值是解題的關鍵3正方形網格中， aob如圖

16、放置，則 cosaob的值為（）abcd2【考點】銳角三角函數的定義【專題】網格型【分析】作 ef ob， 則求 cosaob的值的問題就可以轉化為直角三角形邊的比的問題【解答】解：如圖，作ef ob，則 ef=2 ，of=1 ，由勾股定理得， oe=cosaob=故選： a第 12 頁（共 42 頁）【點評】本題通過構造直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數的定義求解4在 rtabc中， c=90 ，a，b，c 分別是 a，b，c的對邊，下列關系式中錯誤的是（）ab=c?cosbbb=a?tanbc a=c?sinada=b?cotb【考點】銳角三角函數的定義【專題】計算題【分析】本題可以利

17、用銳角三角函數的定義求解即可【解答】解：在 rtabc中， c=90 ，則 cosa= ，sina= ，tanb= ，cosb= ，tana=，cota=；因而 b=ccosa=atanb ，a=csina=ccosb=btana=，錯誤的是 b=c?cosb 故選 a【點評】利用銳角三角函數的定義，正確理解直角三角形邊角之間的關系在直角三角形中，如果已知一邊及其中的一個銳角，就可以表示出另外的邊5如圖，已知 ?abcd中， dbc=45 ，de bc于 e，bf cd于 f，de 、bf相交于 h，bf、ad的延長線相交于 g，下面結論：db=be； a=bhe ；ab=bh ； bhd b

18、dg 其中正確的結論是（）abcd【考點】相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質第 13 頁（共 42 頁）【專題】幾何綜合題；壓軸題【分析】根據已知及相似三角形的判定方法對各個結論進行分析從而得到最后答案【解答】解： bde=45 ，de bcdb=be，be=dede bc ，bf cdbeh= dec=90 bhe= dhfebh= cdebeh decbhe= c，bh=cd?abcd中c= a，ab=cda=bhe ，ab=bh正確的有故選 b【點評】此題考查了相似三角形的判定和性質：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對

19、應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似相似三角形的對應邊成比例，對應角相等6如圖，點 a 的坐標為（ 1，0），點 b在直線 y=x上運動，當線段 ab最短時，點 b的坐標為（）a（0，0）b（，） c（，） d（，）【考點】垂線段最短；坐標與圖形性質【專題】計算題；壓軸題第 14 頁（共 42 頁）【分析】過 a 點作垂直于直線y=x的垂線 ab，此時線段 ab最短，因為直線 y=x的斜率為 1，所以 aob=45 ，aob 為等腰直角三角形，過b 作 bc

20、垂直 x 軸垂足為 c，則oc=bc= 因為 b在第三象限，所以點b 的坐標為（，）【解答】解：線段ab最短，說明 ab此時為點 a 到 y=x的距離過 a 點作垂直于直線 y=x的垂線 ab，直線 y=x 與 x 軸的夾角 aob=45 ，aob為等腰直角三角形，過 b作 bc垂直 x 軸，垂足為 c，則 bc為中垂線，則 oc=bc= 作圖可知 b在 x 軸下方， y 軸的左方點 b的橫坐標為負，縱坐標為負，當線段 ab最短時，點 b 的坐標為（，）故選： c【點評】本題考查了動點坐標的確定，還考查了學生的動手操作能力，本題涉及到的知識點為：垂線段最短7如圖， ab為o 的直徑， ca切o

21、于 a，cb交o于 d，若 cd=2 ，bd=6，則 sinb=（）第 15 頁（共 42 頁）abcd【考點】切線的性質；圓周角定理；銳角三角函數的定義【分析】根據切割線定理ca2=cd?cb 可得 ca=4，然后在 rtabc中，利用 ca=4 ，bc=8可以求出 sinb【解答】解：如圖， ca切o 于 a，ca2=cd?cb ，又 cd=2 ，bd=6，ca=4 在 rtabc中，ca=4 ，bc=8 ，故 sinb=故選 a【點評】此題主要考查銳角三角函數的概念及切割線定理等知識8在 rtabc中， c=90 ，ab=13，bc=5 ，則 tana=（）abcd【考點】解直角三角形【

22、分析】由勾股定理易得ac的值，進而根據三角函數的定義求解【解答】解：在 rtabc中， c=90 ，ab=13，bc=5 ，由勾股定理得： ac=12 則 tana=故選 a【點評】本題要求學生熟練掌握三角函數的定義與解直角三角形的方法9已知在 rtabc中， c=90 ，sina= ，則 tanb的值為（）abcd【考點】銳角三角函數的定義；互余兩角三角函數的關系【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義求解，也可以利用互為余角的三角函數關系式求解第 16 頁（共 42 頁）【解答】解：解法1：利用三角函數的定義及勾股定理求解在 rtabc中， c=90 ，sina= ，tanb=和 a2+b2

23、=c2sina= ，設 a=3x，則 c=5x，結合 a2+b2=c2得 b=4xtanb=故選 a解法 2：利用同角、互為余角的三角函數關系式求解a、b互為余角，cosb=sin （90 b）=sina= 又sin2b+cos2b=1，sinb=，tanb=故選 a【點評】求銳角的三角函數值的方法：利用銳角三角函數的定義，通過設參數的方法求三角函數值，或者利用同角（或余角）的三角函數關系式求三角函數值10如圖為了測量某建筑物ab的高度，在平地上c處測得建筑物頂端a的仰角為 30 ，沿 cb方向前進 12m 到達 d 處，在 d 處測得建筑物頂端a 的仰角為 45 ，則建筑物 ab的高度等于（

24、）a6（+1）m b6（1）m c12（+1）m d12（1）m【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題第 17 頁（共 42 頁）【分析】利用所給的角的三角函數用ab表示出 bd，cb ；根據 bc db=cd即可求出建筑物 ab的高度【解答】解：根據題意可得：bc=ab，bd=abcd=bc bd=ab （1）=12，ab=6 （+1）故選 a【點評】本題通過考查仰角的定義，構造兩個直角三角形求解考查了學生讀圖構造關系的能力11已知 為等邊三角形的一個內角，則cos 等于（）abcd【考點】特殊角的三角函數值；等邊三角形的性質【分析】先根據等邊三角形的性質求出的度數，再根據 cos60 =即

25、可解答【解答】解： 為等邊三角形的一個內角，=60cos=cos60= 故選 a【點評】本題考查的是等邊三角形的性質及特殊角的三角函數值，比較簡單12王英同學從 a 地沿北偏西 60 方向走 100m 到 b 地，再從 b 地向正南方向走200m到 c地，此時王英同學離a 地（）am b100m c150m dm【考點】解直角三角形的應用方向角問題第 18 頁（共 42 頁）【專題】壓軸題【分析】根據三角函數分別求ad，bd的長，從而得到 cd的長再利用勾股定理求ac的長即可【解答】解：ad=ab?sin60 =50；bd=ab?cos60 =50，cd=150 ac=100故選 d【點評】解

26、一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線13如圖， abc的頂點都是正方形網格中的格點，則cosabc等于（）abcd【考點】銳角三角函數的定義【專題】壓軸題；網格型【分析】找到 abc所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜邊長，進而求得abc的鄰邊與斜邊之比即可【解答】解：由格點可得abc所在的直角三角形的兩條直角邊為2，4，斜邊為=2cosabc=故選 b【點評】難點是構造相應的直角三角形利用勾股定理求得abc所在的直角三角形的斜邊長，關鍵是理解余弦等于鄰邊比斜邊二、填空題（共10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分）第 19 頁（共 42

27、頁）14化簡=【考點】特殊角的三角函數值【分析】運用特殊角三角函數值計算【解答】解：原式 =【點評】此題比較簡單，只要熟記特殊角的三角函數值即可15如圖，鐵路的路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為1：1.5，上底寬為 6m，路基高為 4m，則路基的下底寬為18m【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題【專題】計算題【分析】過 c作 cf ab，過 d 作 cf ab，根據 cf的長和坡度即可求得ae 、bf的值，根據 ab=ae +ef +bf即可計算 ab，即可解題【解答】解：如右圖，過c作 cf ab，過 d 作 deab，de=cf=4m坡度=，ae=bf=6m ，ab=ae +ef +f

28、b=6 +6+6（m）=18m故答案為18【點評】本題考查了坡度的定義，考查了坡度在直角三角形中的運用，本題中求ae、bf的長是解題的關鍵16如圖，某公園入口處原有三階臺階，每級臺階高為20cm，深為 30cm為方便殘疾第 20 頁（共 42 頁）人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為a，斜坡的起始點為c，現將斜坡的坡度設計為 i=1：4.5，則 ac的長為210cm【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題【專題】計算題【分析】如圖所示：所有臺階高度和為bd的長， 所有臺階深度和為ad的長， 即 bd=60m ，ad=60m然后根據坡度比解答【解答】解：由題可知bd=60cm ，ad=60cm坡

29、度 !=bd：dc=1 ：4.5，dc=270 ，ac=dc ad=27060=210（cm）【點評】運用所學的解直角三角形的知識解決實際生活中的問題，要求我們要具備數學建模能力（即將實際問題轉化為數學問題）17身高 1.6m 的小麗用一個兩銳角分別為30 和 60 的三角尺測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的距離為6m，那么這棵樹高大約為5.1m（結果精確到 0.1m，其中小麗眼睛距離地面的高度近似為身高）【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題第 21 頁（共 42 頁）【專題】壓軸題【分析】樹高等于cd與 de的和，利用三角函數求cd長即可【解答】解： cad=30 ，ad=6cd=2樹的高

30、 =1.6+25.1（米）【點評】此題主要考查三角函數定義的應用18如圖，在正方形網格中，abo的正切值是1【考點】銳角三角函數的定義【專題】網格型【分析】根據三角函數的定義即可求出tanabo的值【解答】解：利用三角函數的定義可知tanabo= =1【點評】本題考查銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊19若abc中， c=90 ，ac：bc=3 ：4，那么 sina=【考點】銳角三角函數的定義【分析】由題意得， ac ：bc ：ac=3 ：4：5，即可求得 sina 的值【解答】解：設 ac=3x ，bc=4x ，根據勾股定理可得ab

31、=5x ，sina=bc ：ab= 【點評】本題考查銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊20如圖，有一個邊長為5 的正方形紙片 abcd ，要將其剪拼成邊長分別為a，b 的兩個小正方形，使得 a2+b2=52a，b 的值可以是3，4（提示：答案不惟一）（寫出一組即可）；第 22 頁（共 42 頁）請你設計一種具有一般性的裁剪方法，在圖中畫出裁剪線，并拼接成兩個小正方形，同時說明該裁剪方法具有一般性：圖中的點 e可以是以 bc為直徑的半圓上的任意一點（點b，c除外） be ，ce的長分別為兩個小正方形的邊長【考點】勾股定理的應用【專題】壓軸題；開放型【分析】使得 a2+b2=5

32、2由直角三角形勾股定理的很容易聯想到a、b 的值是 3、4；要求設計一般性的剪裁，則先分割出來一個邊長為4 的正方形，再把剩下的部分分為兩個邊長為 1 的正方形和兩個長為3 寬為 1 的矩形，四個四邊形拼成一個邊長為3 的正方形【解答】解：要使得 a2+b2=52考慮到直角三角形的特殊情況，a，b 的取值可以使 3，4 一組（答案不唯一）；裁剪線及拼接方法如圖所示：按照上圖所示剪裁，先剪一個邊長是4 的正方形；剩下的剪三個邊長為1 的正方形和兩個長為 3 寬為 1 的矩形，然后將這些拼接成邊長為3 的正方形即可【點評】本題考查了學生的空間想象能力和發(fā)散思維能力解決本題的關鍵是緊緊抓住第 23

33、頁（共 42 頁）a2+b2=52這個已知條件及剪拼過程面積不變的這個線索21將一個含 30 角的三角板和一個含45 角的三角板如圖擺放， acb與dce完全重合，c=90 ，a=45 ，edc=60 ，ab=4，de=6，則eb=【考點】勾股定理；等腰三角形的性質【專題】壓軸題【分析】根據直角三角形的性質， 求得 bc ，再求得 ec ，由此可以求出 ce ，再利用 be=cebc即可求出 eb 【解答】解：在 rtabc中，ab=4，a=45 ，bc=4=4在 rtedc中，edc=60 ，de=6 ，ce=de?sin edc=6 =3be=ce bc=34故填空答案： 34【點評】本題

34、利用了直角三角形的性質和等腰三角形的性質求解22比較大?。?sin33 +cos33 1（可用計算器輔助）【考點】計算器 三角函數【專題】計算題【分析】先利用計算器求出33 的正弦值和余弦值，再計算兩者之和，與1 比較即可【解答】解： sin33 0.545，cos330.839，sin33 +cos33 0.545+0.8391.3841第 24 頁（共 42 頁）故答案是【點評】本題考查了計算器計算三角函數值，注意一般取到小數點后3 位23在 rtabc中， c=rt ，如果 ac=3 ，bc=4 ，那么 sina=【考點】銳角三角函數的定義【專題】壓軸題【分析】先由勾股定理求出ab，再利

35、用銳角三角函數的定義求解【解答】解：在 rtabc中， c=90 ，ac=3 ，bc=4 ，ab=5sina=【點評】本題考查勾股定理及銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊三、解答題24（2009?棗莊）如圖，拋物線的頂點為a（2，1），且經過原點 o，與 x 軸的另一個交點為 b（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上求點m，使 mob 的面積是 aob面積的 3 倍；（3）連接 oa，ab，在 x軸下方的拋物線上是否存在點n，使obn與oab相似？若存在，求出 n 點的坐標；若不存在，說明理由【考點】二次函數綜合題【專題】壓軸題【分

36、析】（ 1）已知頂點坐標，設拋物線解析式的頂點式y(tǒng)=a（x2）2+1，把 o（0，0）第 25 頁（共 42 頁）代入即可；（2） mob 與aob公共底邊 ob，最高點 a 的縱坐標為 1，只需要點 m 的縱坐標為3 即可，將 y=3，代入解析式可求m 點坐標；（3）由已知oab為等腰三角形，點n在拋物線上，只可能ob=bn，即要求aob=bon ，a、a要關于 x 軸對稱，通過計算，不存在【解答】解：（ 1）由題意，可設拋物線的解析式為y=a（x2）2+1，拋物線過原點，a（02）2+1=0，a=拋物線的解析式為y=（x2）2+1=x2+x（2）aob和所求mob同底不等高，且smob=3

37、saob，mob的高是 aob高的 3 倍，即 m 點的縱坐標是 33=x2+x，即 x24x12=0解之，得 x1=6，x2=2滿足條件的點有兩個：m1（6，3），m2（2，3）（3）不存在由拋物線的對稱性，知ao=ab ，aob= abo若obn與oab相似，必有 bon=boa= bno，即 ob平分 aon，設 on交拋物線的對稱軸于a點，則 a、a 關于 x 軸對稱，a（2，1）直線 on的解析式為 y=x由x=x2+x，得 x1=0，x2=6n（6，3）過 n 作 ne x 軸，垂足為 e在 rtben中，be=2 ，ne=3 ，nb=又ob=4，nbob，bon bno，obn與

38、oab不相似第 26 頁（共 42 頁）同理，在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的n 點所以在該拋物線上不存在點n，使 obn與oab相似【點評】本題考查了拋物線解析式的求法，坐標系里的面積問題，探求相似三角形的存在性問題，具有一定的綜合性25計算：【考點】特殊角的三角函數值；絕對值；零指數冪；負整數指數冪；二次根式的性質與化簡【專題】計算題【分析】本題涉及零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、二次根式化簡四個考點在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果【解答】解：原式 =5【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目

39、的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算26如圖，小明站在 a處放風箏，風箏飛到 c處時的線長為 20 米，這時測得 cbd=60 ，若牽引底端 b離地面 1.5 米，求此時風箏離地面高度（計算結果精確到0.1 米，1.732）第 27 頁（共 42 頁）【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【專題】計算題；壓軸題【分析】由題可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜邊，求對邊，可以用正弦值進行解答【解答】解：在 rtbcd中，cd=bc sin60 =20=10又 de=ab=1.5 ，ce=cd +de=cd +ab=10+1.518.8答：

40、此時風箏離地面的高度約是18.8 米【點評】本題考查直角三角形知識在解決實際問題中的應用27計算：【考點】實數的運算【分析】按照實數的運算法則依次計算【解答】解：原式 =2【點評】本題主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握零指數冪、二次根式、乘方、絕對值等考點的運算注意（1）2010=1，| | =，（ 2010）0=128為測量大樓 cd的高度，某人站在a 處測得樓頂的仰角為45 ，前進 20m 后到達 b處測得樓頂的仰角為60 ，求大樓 cd的高度第 28 頁（共 42 頁）【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【分析

41、】此題可利用兩仰角的正切值及cd的高度表示 ab，即 ab=，求得 cd即可【解答】解：如圖，依題意得 cbd=60 ，cad=45 ，ab=20m，設 cd=xm ，則 ab=，20=xx，解得： x=（30+10）m，答：大樓 cd的高為（ 30+10）m【點評】本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形29如圖，為測量某塔ab 的高度，在離該塔底部20 米處目測其頂 a，仰角為 60 ，目高 1.5 米，試求該塔的高度（1.7）【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【專題】應用題【分析】本題是一個直角梯形的問題作cd ab于點 d，把求 ab的問題轉化求 ad的第

42、 29 頁（共 42 頁）長，從而在 acd中利用三角函數求解【解答】解：如圖， cd=20 ，acd=60 在 rtacd中，tanacd=，=，ad=2034又bd=1.5 ，塔高 ab=34+1.5=35.5（米）【點評】解直角梯形可以通過作高線轉化為解直角三角形和矩形的問題30九年級甲班數學興趣小組組織社會實踐活動，目的是測量一山坡的護坡石壩高度及石壩與地面的傾角 （1）如圖 1，小明所在的小組用一根木條ef斜靠在護坡石壩上，使得bf與 be的長度相等，如果測量得到 efb=36 ，那么 的度數是72 ；（2）如圖 2，小亮所在的小組把一根長為5 米的竹竿 ag斜靠在石壩旁，量出竿長1

43、 米時離地面的高度為0.6 米，請你求出護坡石壩的垂直高度ah；（3）全班總結了各組的方法后，設計了如圖3 方案：在護坡石壩頂部的影子處立一根長為 a 米的桿子 pd ，桿子與地面垂直，測得桿子的影子長為b 米，點 p 到護坡石壩底部 b 的距離為 c 米，如果利用（ 1）得到的結論，請你用a、b、c 表示出護坡石壩的垂直高度 ah（sin72 0.95，cos720.3，tan72 3）【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題【專題】壓軸題；方案型【分析】（1）bf與 be的長度相等， 則由等邊對等角和三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角和，得到 的度數第 30 頁（共 42 頁）（2）由于竿長

44、 1 米時離地面的高度為0.6 米，則有 ag：ah=1：0.6，可求得 ah的長（3）由題意知， cpd pha ，根據相似三角形的對應邊相等可求得ah的長【解答】解：（ 1）bf=be bfe=feb=2 efb=72 （2）竿長 1 米時離地面的高度為0.6 米，mnahag：ah=1：0.6ah=3米（3）在 rtabh中，bh=ah tan72=ah3=由題意知， cpd pha dp ：cp=ah ：ph=ah ：（pb +bh）=ah：（pb+）即：a：b=ah：（c+）解得： ah=【點評】本題主要用到了等邊對等角和三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角和；平行線的性質，正切的概念

45、，相似三角形的性質等知識點求解31如圖，某中學科學樓高15 米，計劃在科學樓正北方向的同一水平地上建一幢宿舍樓，第一層是高2.5 米的自行車場，第二層起為宿舍已知該地區(qū)一年之中“ 冬至” 正午時分太陽高度最低，此時太陽光線ab的入射角 abd=55 ，為使第二層起能照到陽光，兩樓間距 ef至少是多少米（精確到0.1 米）（參考數據： tan55 =1.4281，tan35 =0.7002）第 31 頁（共 42 頁）【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題【專題】應用題【分析】易求出ac 長，由 cab= cbd=55 ，然后利用 55 的正切值就能求出bc ，求ef長求出bc長即可【解答】解：

46、由矩形bcef 得到 ce=bf ，bc=ef ，（2 分）得到 cab=55 ，（2 分）得到 bc=actan55 ，（2 分）bc=17.9米（ 1 分）答：兩樓間距至少17.9 米【點評】本題考查銳角三角函數的應用需注意構造直角三角形是常用的輔助線方法32如圖，某電信部門計劃修建一條連接b、c兩地的電纜，測量人員在山腳a 點測得b、c兩地的仰角分別為30 、45 ，在 b地測得 c地的仰角為 60 度已知 c地比 a 地高200 米，電纜 bc至少長多少米？（精確到0.1 米）【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【專題】計算題【分析】首先分析圖形：根據題意構造直角三角形；本題涉及到兩

47、個直角三角形，應利用其公共邊構造方程關系式，進而可解即可求出答案【解答】解：過 b點分別作 becd 、bf ad，垂足分別為 e、f設 bc=xm cbe=60 ，be= x，ce=xcd=200 ，第 32 頁（共 42 頁）de=200 xbf=de=200 x，df=be= xcad=45 ，ad=cd=200 af=200 x在 rtabf中，tan30 =，解得 x=200（1）146.5（m）答：電纜bc至少146.5米【點評】本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形33如圖所示，把一個直角三角尺abc繞著 60 角的頂點 b順時針旋轉， 使得點

48、 c與 ab的延長線上的點 d 重合，已知 bc=6 （1）三角尺旋轉了多少度？連接cd ，試判斷 bcd的形狀；（2）求 ad 的長；（3）連接 ce ，試猜想線段 ac與 ce的大小關系，并證明你的結論【考點】旋轉的性質第 33 頁（共 42 頁）【專題】探究型【分析】（ 1）由直角三角尺 abc繞著 60 角的頂點 b順時針旋轉，點 c與 ab的延長線上的點 d 重合， 根據旋轉的性質得bd=bc ， dbc等于旋轉角，且dbc=180 60 =120 ，即可判斷所三角尺旋轉的度數，bcd的形狀；（2）由三角尺abc 為直角三角形， acb=90 ，a=30 ，得到 ab=2bc=2 6

49、=12，而bd=bc ，即可得到 ad=ab +bd的長；（3）連接 ce ，bcd為等腰三角形，由 cbe=180 （ abc +ebd ）=60 =dbe ，根據等腰三角形的性質得到be垂直平分底邊 cd，則 ce=de ，即可得到 ac=ce 【解答】解：（ 1）直角三角尺 abc繞著 60 角的頂點 b順時針旋轉，點 c與 ab的延長線上的點 d 重合，bd=bc ，dbc等于旋轉角，且 dbc=180 60 =120 ，三角尺旋轉了 120 度， bcd為等腰三角形；（2）三角尺 abc為直角三角形， acb=90 ，a=30 ，ab=2bc=2 6=12，bd=bc ，a、b、d

50、三點在一直線上，ad=ab +bd=12+6=18；（3）如圖，連接 ce ，則 ac=ce 證明如下：bc=bd ，即bcd為等腰三角形，又 ebd= abc=60 ，而點 a、b、d 在一條直線上，cbe=180 （ abc +ebd ）=60 =dbe ，即 be平分等腰 bcd的頂角，be垂直平分底邊 cd，ce=de ，而 de=ac所以 ac=ce 第 34 頁（共 42 頁）【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等也考查了含30 度的直角三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質34計算：【考點】實數的運

51、算【分析】本題涉及零指數冪、開立方、特殊角的三角函數值、絕對值四個考點在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果【解答】解：原式 =3+121=1【點評】本題主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算35（2009?朝陽區(qū)二模）計算：（ 2）3+（）1cos60 （1）0【考點】實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值【專題】計算題【分析】本題涉及零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、二次根式化簡四個考點在計算時，需要針對每

52、個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則計算【解答】解：原式 =8+21=8【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算第 35 頁（共 42 頁）36計算： 22+（）0+2sin30 【考點】特殊角的三角函數值；有理數的乘方；零指數冪【專題】計算題【分析】按照實數的運算法則依次計算，注意：22=4，（）0=1【解答】解：原式 =4+1+2=2【點評】本題需注意的知識點是：乘方的相反數的符號問題任何不等于0 的數的 0 次冪是 137又到了一年中的春游季節(jié)，某班學生利

53、用周末到白塔山去參觀“ 晏陽初博物館 ” 下面是兩位同學的一段對話：甲：我站在此處看塔頂仰角為60 ；乙：我站在此處看塔頂仰角為30 ；甲：我們的身高都是1.5m；乙：我們相距 20m請你根據兩位同學的對話，計算白塔的高度（精確到1 米）【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【專題】計算題【分析】 根據三角形外角和定理， 可求得 cab= acb ， 等角對等邊，所以有 ab=bc=20 在rtcbd中，根據 60 角的正弦值可求出cd，再加上同學自身的身高1.5 米即可解答【解答】解：由題意，知：cab=30 ，cbd=60 ，ab=20m，am=bn=dp=1.5m ；在abc中， cbd

54、= acb +cab ，第 36 頁（共 42 頁）acb=60 30 =30 ；acb= cab ；bc=ab=20m ；在rtcbd中，bc=20m，cbd=60 ，sincbd=，即 sin60 =；cd=20sin60=20m；cp=cd +dp=10+1.519m答：白塔的高度約為19 米【點評】本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形38如圖，有兩棵樹，一棵高14m，另一棵高 10m，兩樹相距 5m一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？【考點】勾股定理的應用【專題】計算題；應用題【分析】根據樹高可以計算兩棵樹的高度的差值ac ，

55、由題意知bc=5m ，在直角 abc中，ab為斜邊，已知 ac ，bc根據勾股定理即可計算ab【解答】解：設從一棵樹的樹梢到另一棵樹的樹梢要飛行x m，則在直角 abc中，ac=14 10m=4m，且 ab為斜邊，x2=42+52=41，x6.4m第 37 頁（共 42 頁）答：鳥至少飛m6.4m【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中找出直角abc ，并且根據勾股定理正確的計算ab是解題的關鍵39如圖，沿江堤壩的橫斷面是梯形abcd ，壩頂 ad=4m，壩高 ae=6 m ，斜坡 ab的坡比i=1：2，c=60 ，求斜坡ab、cd的長【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題【專題】應用題【分析】本題中 ab的長可以在直角三角形abe中求出，已知 ab的坡度，已知 ae的長度，那么 ab就不難求出了，求cd的長可通過構造直角三角形來實現，過d 作 df bc于 f，直角三角形 dfc中，已知 c的度數，又知道 df的長（df=ae ），cd的長就能求出了【解答】解：斜坡ab的坡比 i=1：2，ae ：be=1 ：2又 ae=6mbe=12mab=（m）作 dfbc于 f，則得矩形 aefd ，有 df=ae=6mc=60 c