D24隱函數(shù)求導21044學習教案

1、會計學1D24隱函數(shù)求導隱函數(shù)求導21044若由方程可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導方法求導方法: 0),(yxF兩邊對 x 求導( 注意 y = y(x) )(含導數(shù) 的方程)y第1頁/共25頁03275xxyy在 x = 0 處的導數(shù)解解: 方程兩邊對 x 求導得因 x = 0 時 y = 0 , 故確定的隱函數(shù)第2頁/共25頁在點處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導02323xy故切線方程為即第3頁/共25頁的導數(shù) . 解解: 兩邊

2、取對數(shù) , 化為隱式兩邊對 x 求導第4頁/共25頁 1) 對冪指函數(shù)可用對數(shù)yy1按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意注意:求導法求導 :第5頁/共25頁例如例如,兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導balnxaxb第6頁/共25頁對 x 求導兩邊取對數(shù)第7頁/共25頁若參數(shù)方程可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)可導, 且則時, 有時, 有(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,第8頁/共25頁)(, )(tt二階可導,且則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得記記第9頁/共25頁xydd?, 且求)(tf 已知解解:練習練習: 書P112 題8(1)解解:注意注意 :對誰

3、求導? 第10頁/共25頁求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,xydd則yxO第11頁/共25頁yxO速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvty12vtgv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向2vt g22vt g0ddty第12頁/共25頁確定函數(shù)求解解: 方程組兩邊對 t 求導 , 得故xyddtydd0tyddtxdd第13頁/共25頁為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)

4、變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第14頁/共25頁其速率為當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 解解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則兩邊對 t 求導已知 h = 500m 時,第15頁/共25頁100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tan對 t 求導2sec已知500求第16頁/共25頁試求當容器內(nèi)水今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x ,水的h兩邊

5、對 t 求導而hxhRr故體積為 V , 則xr第17頁/共25頁1. 隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2. 對數(shù)求導法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導法極坐標方程求導4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式第18頁/共25頁1. 求螺線在對應于的點處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程xydd當時對應點斜率 切線方程為22MxO點擊圖中任意處動畫播放暫停第19頁/共25頁求提示提示: 分別用對數(shù)微分法求答案答案: :第20頁/共25頁)(xyy 由方程確定 , 解解:方程兩邊對 x 求導,得再求導, 得當時,故由 得再代入 得 求第21頁/共25頁P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五節(jié) 第2