D多元函數(shù)的微積分學習教案

1、會計學1D多元函數(shù)的微積分多元函數(shù)的微積分第1頁/共62頁定義定義1的函數(shù)值，函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。類似地，可定義三元函數(shù)及其他多元函數(shù)。第2頁/共62頁例例第3頁/共62頁例例2 一個有火爐的房間內(nèi)一個有火爐的房間內(nèi),在同一時刻的溫度分布在同一時刻的溫度分布唯一的溫度類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數(shù)。第4頁/共62頁 一般地講，二元函數(shù)的幾何意義表示空間直角坐標系中的一個曲面。第5頁/共62頁（2） 二元函數(shù)二元函數(shù) z=f (x,y) 的圖形的圖形通常是一張曲面（通常是一張曲面（函數(shù)曲面函數(shù)曲面）.第6頁/共62頁第7頁/共62頁小結(jié)小結(jié)：（）（） （）（）第8頁/共

2、62頁例例 求證求證證明證明第9頁/共62頁0),(lim00yxfyx由于平面上由一點到另一點有無數(shù)條路線，因此二元函數(shù)第10頁/共62頁性質(zhì)性質(zhì)（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）第11頁/共62頁性質(zhì)性質(zhì)（零點定理）（零點定理）性質(zhì)性質(zhì)（有界性定理）（有界性定理）性質(zhì)性質(zhì)（介值定理）（介值定理）第12頁/共62頁例例設(shè)設(shè)解解因此第13頁/共62頁小結(jié)：小結(jié)：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點第14頁/共62頁第15頁/共62頁第16頁/共62頁同理,如果極限導數(shù),記作第17頁/共62頁偏導函數(shù)

3、,簡稱偏導數(shù),記作記作第18頁/共62頁解解根據(jù)偏導數(shù)的定義可知,求多元函數(shù)關(guān)于某個自變量的偏導數(shù),并不需要新的方法,只需將其他自變量看作常數(shù),僅對一個自變量求導,因此,一元函數(shù)的求導法則和求導公式,對求多元函數(shù)的偏導數(shù)仍然適用.例例1第19頁/共62頁例例2解解所以第20頁/共62頁例例3解解第21頁/共62頁意義.第22頁/共62頁如下圖所示如下圖所示第23頁/共62頁例如例如第24頁/共62頁第25頁/共62頁高階偏導數(shù)可定義為相應低一階偏導數(shù)的偏導數(shù).例如設(shè)一般來說,這兩個偏導數(shù)還是可定義二元函數(shù)的二階偏導數(shù)如下第26頁/共62頁第27頁/共62頁例例 4 4解解第28頁/共62頁二階

4、以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)第29頁/共62頁例例5解解第30頁/共62頁上述例子中二階混合偏導數(shù)都是相等的,但對許多二元函數(shù)來說,它們的二階混合偏導數(shù)并不相等,也就是說兩者相等是要有條件的.為此,給出下面的定理:定理定理6.1相等.例例6第31頁/共62頁解解 因為因為所以所以 第32頁/共62頁 第33頁/共62頁定理定理6.5第34頁/共62頁證明證明第35頁/共62頁第36頁/共62頁所以有xvvzxuuzxz完全類似地可以證明第二個等式。下面再介紹一特殊情形。第37頁/共62頁另外，對于自變量或中間變量多于兩個的情形，也有類似則則第38頁/共62頁 （1） 搞清函數(shù)的復合關(guān)系；（2）對

5、某個自變量求偏導數(shù)，應注意要經(jīng)過一切有關(guān)的中間變量而歸結(jié)到該自變量。例例1解解注意：注意：第39頁/共62頁例例2解解第40頁/共62頁第41頁/共62頁同理可證定理定理6.6（隱函數(shù)存在定理）（隱函數(shù)存在定理）第42頁/共62頁并有zxFFxzzyFFyz注意注意例例3解解第43頁/共62頁例例4解解第44頁/共62頁應用上面公式，得第45頁/共62頁第46頁/共62頁 1.空間曲線的切線與法平面ozyxMM 第47頁/共62頁即即第48頁/共62頁例例1解解第49頁/共62頁于是，切線方程為法平面方程為2.曲面的切平面方程與法線方程為第50頁/共62頁第51頁/共62頁例例2解解或法線方程

6、為第52頁/共62頁1、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導數(shù)來解決。定理定理6.7(極值存在必要條件極值存在必要條件)使第53頁/共62頁定理定理6.8（極值存在充分條件）（極值存在充分條件）在點設(shè)函數(shù)),(yxfz 令第54頁/共62頁的極值的求法總結(jié)如下第一步第二步CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000第三步第55頁/共62頁 例例3解解（1）求駐點解方程組（2）判斷駐點是否極值點，若是，說明取得極值情況又由于第56頁/共62頁2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法在前面所討論的極值中，除對自變量給出定義域外，并無其它條件限制，我們把這一類極值稱為無條件極值，而把對自變量還需附加其他條件的極值問題稱為條件極值。條件條件極值問題有如下兩種解法。方法方法1例例4解解第57頁/共62頁由一元函數(shù)極值存在的必要條件，得所以方法方法2 （拉格朗日數(shù)乘法）（拉格朗日數(shù)乘法）第58頁/共62頁這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。至于如何確定所求得的點是否為極值點