D85隱函數(shù)求導(dǎo)65303學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D85隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)65303定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)/共21頁(yè)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共21頁(yè)若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),xy則還有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共21頁(yè)在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解解: 令連續(xù) ,由 定理1 可知, )(xfy 導(dǎo)的隱函

2、數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 并求第4頁(yè)/共21頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共21頁(yè)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)令 x = 0 , 注意此時(shí) 利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共21頁(yè)若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共21頁(yè)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第

3、8頁(yè)/共21頁(yè)解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 再對(duì) x 求導(dǎo)第9頁(yè)/共21頁(yè)設(shè)則兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共21頁(yè)設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故第11頁(yè)/共21頁(yè)對(duì)方程兩邊求微分:解法解法2 微分法. 2F機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共21頁(yè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 目

4、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共21頁(yè)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共21頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxGFyyGF第15頁(yè)/共21頁(yè)有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得在點(diǎn) P 的某鄰域內(nèi)xuxvxF00公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故得系數(shù)行列式第16頁(yè)/共21頁(yè)同樣可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)/共21頁(yè)解解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí)練習(xí): 求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有第18頁(yè)/共21頁(yè)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)