平行線及其判定(提高)知識講解

1、平行線及其判定（提高）知識講解撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平行線的概念，會用作圖工具畫平行線，了解在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運(yùn)用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線的定義及畫法1定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a及b平行，記作ab要點(diǎn)詮釋：(1)平行線的定義有三個(gè)特征：一是在同一個(gè)平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時(shí)說兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系

2、只有相交和平行兩種特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：落：用三角板的一條直角邊及已知直線重合.靠：用直尺緊靠三角板另一條直角邊.推：沿著直尺平移三角板,使及已知直線重合的直角邊通過已知點(diǎn).畫：沿著這條直角邊畫一條直線,所畫直線及已知直線平行.要點(diǎn)二、平行公理及推論1平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線及這條直線平行2推論：如果兩條直線都及第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行要點(diǎn)詮釋：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一（3）“平

3、行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.要點(diǎn)三、直線平行的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：32ABCD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：12ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語言：42180°ABCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）要點(diǎn)詮釋：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、平行線的定義及表示1下列說法正確的是 () A不相交的兩條線段是平行線. B不相交的兩條直線是平行線.C不相交的兩條射線是平行線. D在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線

4、叫做平行線.【答案】D【解析】平行線定義中三個(gè)關(guān)鍵詞語：“同一平面內(nèi)”，“不相交”，“兩條直線”.【總結(jié)升華】本例屬于對概念的考查，應(yīng)從平行線的概念入手進(jìn)行判斷類型二、平行公理及推論2在同一平面內(nèi)，下列說法：（1）過兩點(diǎn)有且只有一條直線；（2）兩條直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）過一點(diǎn)有且只有一條直線及已知直線垂直；（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線及已知直線平行。其中正確的個(gè)數(shù)為：( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】B【解析】正確的是：（1）(3).【總結(jié)升華】對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意區(qū)分不同表述之間的聯(lián)系和區(qū)別舉

5、一反三：【變式】下列說法正確的個(gè)數(shù)是 ()（1）直線a、b、c、d，如果ab、cb、cd，則ad.（2）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.（4）在同一平面內(nèi)，如果兩直線都垂直于同一條直線，那么這兩直線平行A1個(gè) B .2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】B類型三、兩直線平行的判定3.如圖，給出下列四個(gè)條件：（1）ACBD； （2）DACBCA； （3）ABDCDB；（4）ADBCBD,其中能使ADBC的條件有 （ ）.A（1）（2） B（3）（4） C（2）（4） D（1）（3）（4）【思路點(diǎn)撥】欲證ADBC，在圖中發(fā)現(xiàn)AD、BC被一直線所

6、截，故可按同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行補(bǔ)充條件【答案】C【解析】從分解圖形入手，即尋找AD、BC的截線.【總結(jié)升華】從題目的結(jié)論出發(fā)分析所要說明的結(jié)論能成立，必須具備的是哪些條件，再看這些條件成立又需具備什么條件，直到追溯到已知條件為止舉一反三：【變式】一個(gè)學(xué)員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向及原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是() A第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D第一次向左拐50°，第二次向左

7、拐130°【答案】A提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出示意圖 圖B顯然不同向，因?yàn)槁肪€不平行 圖C中，1180°-130°50°，路線平行但不同向 圖D中，1180°-130°50°，路線平行但不同向 只有圖A路線平行且同向，故應(yīng)選A4.如圖所示，已知B25°，BCD45°，CDE30°，E10°試說明ABEF的理由【思路點(diǎn)撥】利用輔助線把AB、EF聯(lián)系起來【答案及解析】 解法1：如圖所示，在BCD的內(nèi)部作BCM25°，在CDE的內(nèi)部作ED

8、N10°B25°，E10°(已知)，BBCM，EEDN(等量代換) ABCM，EFDN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行) 又BCD45°，CDE30°(已知)，DCM20°，CDN20°(等式性質(zhì))DCMCDN(等量代換)CMDN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行) ABCM，EFDN(已證)， ABEF(平行線的傳遞性)解法2：如圖所示，分別向兩方延長線段CD交EF于M點(diǎn)、交AB于N點(diǎn)BCD45°，NCB135°B25°，CNB180°-NCB-B20°(三角形的內(nèi)角和等于180°

9、) 又CDE30°，EDM150° 又E10°，EMD180°-EDM-E20°(三角形的內(nèi)角和等于180°)CNBEMD(等量代換) 所以ABEF(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)【總結(jié)升華】判定兩條直線平行的方法有四種，選擇哪種方法要根據(jù)問題提供的條件來靈活選取舉一反三：【高清課堂：平行線及判定403102經(jīng)典例題2】【變式1】已知，如圖，BE平分ÐABD，DE平分ÐCDB，且Ð1及Ð2互余，試判斷直線AB、CD的位置關(guān)系，請說明理由【答案】解：ABCD，理由如下： BE平分ABD，DE平分CDB，ABD21，CDB22 又1+290°，ABD+CDB180° ABCD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)【高清課