第01節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程

1、第）加章平面解析幾阿課詢回顧教材第一節(jié) 直線的傾斜甬與斜率、直線方程考占j 八、高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)直線的斜率和傾斜角2017-全國(guó)卷 i t20-12分以圓錐曲線為載體的直線斜率問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算直線方程2017-全國(guó)卷i t14-5分直線的斜率和直線方程數(shù)學(xué)運(yùn)算2016-全國(guó)卷iii t16-5 分導(dǎo)數(shù)的幾何意義少直線 方程數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析直線方程與直線的斜率傾斜角在近兒年的高考屮多以屮低檔題出 現(xiàn)，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，往往會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的兒何意義， 或線性規(guī)劃進(jìn)行考查.劇知識(shí)清單1. 直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線/,把x軸（正方向）按逆時(shí) 蜀:方

2、向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線/重合所成的角，叫作直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為以.傾斜角的収值范圍為0,180。）.2. 直線的斜率 （1）定義：若直線的傾斜角0不是90。，則斜率k=tan 0.（2）計(jì)算公式：若由伽，川，砥2,旳）確定的直線不垂直于x軸，則片冗3. 直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范馬點(diǎn)斜式斜率與點(diǎn)（x。，yo）vvo=k（xx（）不含直線兀=xo斜截式斜率r與截距by=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)（xi，刃），（兀2, yi）yy不含直線x=x（x =兀2）和 直線 y=yi（y =yi）xxx2x截距式截距a與b陽(yáng)不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)

3、原 點(diǎn)的直線一般式ax+bv+c=0（/+爐工0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用提醒：(1)求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率.(2) 根-據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍.(3) 直線的截距式宇易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式.(4) 白一.般式ax+by+c= 0確定斜率&時(shí)易忽視判斷3是否為0,當(dāng)=0時(shí)，k不存a在；當(dāng)b工0時(shí)，k= p.小題查檢1. 判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“丿”，錯(cuò)誤的打“ x”)(1) 直線的傾斜角越大，其斜率就越大.()(2) 直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.()(3) 斜率相

4、等的兩直線的傾斜角不一定相等.()(4) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(x(),刃)的直線都可以用方程尹一_y()=£(xx()表示.()(5) 經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)尸1(x1，尹1),卩2(兀2，乃)的直線都可以用方程(y x1)(x2x1) =(x表示.()答案： x (2)x x (4)x(5) v2. (教材習(xí)題改編)一條直線過(guò)點(diǎn)a(2f -3),并且它的斜率等于直線x+y/3y=0的斜率 的2倍，則這條直線的方程為()a. x+価+3邁一2 = 0b. 2x+伍+3邁一4 = 0c. x+y/3y+y/3 = 0d. 2x+yyf3=0解析：選b 直線x+y3y=0的斜率為一羋，則所求直線的斜

5、率為£=卑2由點(diǎn)斜式 得：尹+3 =豐(x_2),即：2x+羽y+3羽一4 = 0.3. 若直線/與直線y=, x=7分別交于點(diǎn)p, q,且線段p0的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -1), 則直線/的斜率為()a. |b. -*d.c.g+7 = 2,解析：選b 依題意，設(shè)點(diǎn) mi), qb),則有 r 解得a=5, b=3,b 十 1 = 2,3 1|從而可知直線/的斜率為7 + 5 =亍4. 若點(diǎn)力(4,3), 3(5, a), c(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為解析:kic= 6_4 = 1，“m=5_4=a_*由于力，b, c三點(diǎn)共線，所以a3 = 1,即a=4.答案:45. (教材習(xí)題改

6、編)若直線ax+my+2a = q(a0)過(guò)點(diǎn)(1,邁)，則該直線的斜率為解析：扌巴點(diǎn)(1,萌)代入方程ax+/ny+2a=0得:q筋? + 2a=0,所以fn=y3a9所以直線的斜率為k=答案：一誓課堂考點(diǎn)突就直線的傾斜角與斜率斧生工劭講緋給鐵支皐我栄握倆明技法求傾斜角的取值范圍的2個(gè)步驟及1個(gè)注意點(diǎn)(1) 2個(gè)步驟： 求出斜率k=na的取值范圍； 利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖彖或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角a的取值范圍.(2) 1個(gè)注意點(diǎn):求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.提能力【典例】(1)直線2xcosay3 = 0w務(wù)扌)的傾斜角的變化范圍是()a.7t3b.7t tt3 37171c.

7、u，2d.7i 2n"49 t若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)a(4,2y+1)9 b(2, 3)的直線的傾斜角為亍，則尹等于解析：(l)z:=2cos a,a cos auwkw晶lwtan&wj5(0 為傾斜角).tttt由于ow/vit, .才£冬亍(2)由 k=2-4=tan= -l.得一 4一2尹=2,j=-3.答案：(1)b (2)-3刷好題1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(0, 1)作直線/,若直線/與連接力(1, -2), b(2, 1)的線段總有公共點(diǎn),則直線/的傾斜角g的范圍是2 ( 1)解析：方法一如圖所示，kpa= jtzq = 1，1 ( 1) kpb= 2】0 =由圖可觀察出：直

8、線/傾斜角a的范圍是乎，ju 0,于方法二 由題意知，直線/存在斜率.設(shè)直線/的斜率為曲 則直線/的方程為y+l = kx,即也一尹一1=0.力，3兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線/上，伙+2-l)(2a-l 3兀、 兀1一l)w0,即2伙+1)伙一l)w0,一 1wrw1.直線/的傾斜角a的范圍是才,兀丿uo,才.“4 3兀 八 兀1答案：lt*兀丿u|_o，y2. (201&常州模擬)若必0,則過(guò)點(diǎn)彳0, 一活與盅'0)的直線pq的傾斜角的取值 范圍是.直線方程明技法1. 求直線方程的方法(1) 直接法：根據(jù)己知條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程.(2) 待定系數(shù)

9、法：先根據(jù)己知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的 方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程.2. 直線方程求法中2個(gè)注意點(diǎn)(1) 在求直線方程吋，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件.(2) 對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考 慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).提能力【典例】根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：(1) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) >1(-3,2),鳳一3,5)；(2) 直線過(guò)點(diǎn)(一4,0),傾斜角的正弦值為穿；直線過(guò)點(diǎn)(5,10),到原點(diǎn)的距離為5.解：(1)顯然/、8的橫坐標(biāo)相同，故直線與歹軸平行，其方程為

10、x=-3.(2)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式. 設(shè)傾斜角為a,則sin a=斗亨(owqvji),從而 cos a=±3,貝u k=tan故所求直線方程為y=±|(x+4).即 x+3y+4=0 或兀一3y+4=0.(3) 當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x-5 = 0; 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為則所求直線方程為y 10=k(x-5)t即也一尹+(105約=0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得學(xué)歲屮+3=5,解得斤=才.故所求直線方程為3x-4j；+25=0.綜上知，所求直線方程為x5=0或3x4尹+25 = 0.刷好題求適合下列條件的直線方程：(1) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(3,2)且

11、在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2) 過(guò)點(diǎn)/(1, -3),斜率是直線y=3x的斜率的一土倍.解：(1)設(shè)直線/在x,尹軸上的截距均為g,若 g=0,即 i 過(guò)點(diǎn)(0,0)牙口(3,2),、 2：.1 的方程為即 2x3y=0.若aho,則設(shè)i的方程為三+上=1, a a3 2/過(guò)點(diǎn)(3,2),：+：= 1,.*.£7=5, /./ 的方程為 x+y5 = 0,綜上可知，直線i的方程為2x3>,=0或x+y5 = 0.13(2)設(shè)所求直線的斜率為依題意一才><3 = 才.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)71(-1, -3),3因此所求直線方程為尹+3=不x+1),即 3x+4y+15 = 0

12、.直線方程的綜合應(yīng)用析考情直線及英方程在高考中單獨(dú)命題的較少，通常與其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，有兩種常 見方式：一是與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，求曲線的斜率、傾斜角和切線方程等；二是與圓、圓錐曲線結(jié)合, 考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等.提能力命題點(diǎn)1：與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題【典例1】(201&濰坊模擬)直線/過(guò)點(diǎn)p(l,4)，分別交x軸的正半軸和，軸的正半軸于 力，b兩點(diǎn)、,o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oa + ob最小時(shí)，求直線/的方程.解：依題意，直線/的斜率存在且斜率為負(fù)，設(shè)直線/的斜率為人則直線/的方程為y-4=k(x-l)伙v0).令y=o,可得力(1壬，o)；25+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)一£=

13、7且v0,即k=-2時(shí)，|oa + ob取最小值.這時(shí)直線/的方程為2x+y-6=0. 命題點(diǎn)2：由直線方程解決參數(shù)問(wèn)題【典例2】 己知直線/： kx-y+2k=0伙wr).(1) 證明：直線/過(guò)定點(diǎn)；(2) 若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求斤的取值范圍.(1)證明：直線/的方程是r(x+2) + (l y) = 0,兀+2 = 0,x= 2,無(wú)論k取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,1).1 +2k要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則$解得k>0;(2)解：由方程知，當(dāng)aho時(shí)直線在x軸上的截距為一一在尹軸上的截距為1+2久1+2q1,當(dāng)k=0時(shí)，直線為y=l,符合題意，故k20.悟技法處理直線方程綜合應(yīng)用的

14、2大策略(1) 含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過(guò)定點(diǎn)的直線系，即能 夠看出“動(dòng)中有定”.(2) 求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再 利用基本不等式求解最值.刷好題1已知直線厶：ax-2y=2a4f /2： 2x+a2y=2a2+4,當(dāng) 0<a<2 時(shí)，直線厶，h 與 兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)g的值.解：由題意知直線/i, 12恒過(guò)定點(diǎn)p(2,2),直線/i在尹軸上的截距為2°,直線/2在x軸上的截距為/ + 2,所以四邊形的面積 s=*x2x(26?)+*><2><(/+2)=/-q+4 = (q井+乎，當(dāng)時(shí)，面積最小.2.如圖所示，射線cm, oe分別與x軸正半軸成45。和30。角，過(guò)點(diǎn)卩(1,0)作直線m求直線的方分別交04, 03于3兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹?/p>