第66課等差、等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用21772299

1、第66課 等差、等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1. 能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差，等比數(shù)列模型，并能運(yùn)用有關(guān)知識解決相應(yīng)問題2. 通過建立數(shù)列模型，以及應(yīng)用數(shù)列模型解決實際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的提出，分析，解決問 題的能力，提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、基礎(chǔ)知識回顧與梳理1. 數(shù)列應(yīng)用題常見模型 等差模型:如果增加（或減少）的量是一個固定值時，該模型就是等差模型 等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，該模型是等比模型 混合模型：在一個問題中同吋涉及等比數(shù)列和等差數(shù)列的模型 生長模型：某一個量，每一時期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增加（或減少），同時

2、又以一個固定的具體量增加（或 減少），該模型為生長模型，如分期付款，樹木的生長與砍伐等問題2. 回顧課本題：題1.（課本第52頁練習(xí)1）某廠去年的產(chǎn)值記為1,若計劃在今后的五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長10%, 則從今年起到第五年，這個廠的總產(chǎn)值為.【分析于點(diǎn)評】問題1第一年產(chǎn)值為多少？第二年，第三年，第四年，第五年依次為多少？有什么規(guī)律？本題幫 助學(xué)生復(fù)習(xí)回憶起增長率問題，由學(xué)生口答增長率計算公式：an =«（! + p）期中p為增長率，g為初始 值，g”為n期以后的值.題2.（課本第42頁例6）教育儲蓄是一種零存整取定期儲蓄存款，它享受整存整収利率，利息免稅.教育 儲蓄的對象為在校小

3、學(xué)四年級（含四年級）以上的學(xué)生。假設(shè)零存整取3年期教育儲蓄的月利率為2. 1%0,（1）欲在3年后一次支取本息合計2萬元，每月大約存入多少元？（2）零存整取3年期教育儲蓄每月至多存入多少元？此時3年后本息合計約為多少元？（精確到1 元）.【教學(xué)處理】學(xué)生閱讀該例題，教師提問每月存入的錢，存期分別為多少個月？到期后本利和分別為多少？ 這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律？總和是多少？引導(dǎo)學(xué)生回憶單利計算公式，回憶怎樣建立等差數(shù)列模型解決實際 問題。同時歸納整理增長率問題；單利，復(fù)利問題，簡單的分期付款問題： 增長率模型：an - a（ + py : 單利模型：an = a +a- r-n a為本金,r為利息率，n

4、為借貸期限，a“為本金和利息之和（簡 稱本利和）； 復(fù)利模型：an = 6f（l + r）n a二本金；r二利率；n二持有期限，a“為本金和利息之和（簡稱本利和）.ny（ + 廠）" 分期付款的數(shù)學(xué)模型x =,期中q為應(yīng)付金額，x為每期所付金額，r為期利率.d + rf-1三、診斷練習(xí)1. 教學(xué)處理：課前由學(xué)生自主完成4道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學(xué)習(xí)筆記欄。課前抽查批閱部 分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的思路及主要錯誤。將知識問題化，通過問題驅(qū)動，使教學(xué)言而有物，幫助學(xué)生 內(nèi)化知識，初步形成能力。點(diǎn)評時要簡潔，要點(diǎn)擊要害.2. 診斷練習(xí)點(diǎn)評題1、用火柴棒按下圖的方法搭按圖示的規(guī)律搭下

5、去，則可推測第ii個圖中所用的火柴棒數(shù)色=.【分析與點(diǎn)評】問題仁 前四個圖形中火柴棒數(shù)分別是多少？問題2：前四個圖形中火柴棒數(shù)有什么規(guī)律？構(gòu)成什么數(shù)列模型？問題3：在這個數(shù)列模型中已知什么？要求什么？這是個等差數(shù)列模型 an -an_ = 2（n> 2）,an - ax +（一 1）x2 = 3 + 2一2 = 2m + 1 題2、某種細(xì)胞在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個變成兩個），那么經(jīng)過3個小時，這種細(xì)胞由1個可以繁 殖成個.【分析與點(diǎn)評】問題1：經(jīng)過3小時一共分裂了多少次？問題2：第一次分裂成幾個？第二次、第三次、第四次呢？問題3：前四次個數(shù)成什么規(guī)律？構(gòu)成什么數(shù)列模型？問題

6、4：在這個數(shù)列模型中已知什么？要求什么？這是個等比數(shù)列模型，£= 2, q二2心| =2°, 3個小時分裂了 9次，分裂了九次應(yīng)得到務(wù)°%【變式】：經(jīng)過30個小時呢?題3、設(shè)某工廠生產(chǎn)總值月平均增長率為則年平均增長率為【分析與點(diǎn)評】問題1:何為月平均增長率？年平均增長率？問題2：缺少起始量怎么辦？題4、某人2012年向銀行申請個人住房公積金貸款a元購房，月利率r,按復(fù)利計算，每月等額還款一次，在貸款后的次月初開始還款，如果n個月還清，則每月應(yīng)還貸元.【分析與點(diǎn)評】問題1:作為顧客每月還貸x元，到期后，其本利和為多少？如何計算？問題2:作為銀行，a元到n個月后本利和

7、為多少？問題3:等比數(shù)列的求和公式是什么？cir（ + 廠）"分期付款的數(shù)學(xué)模型x =；（1+廠）"-1【變式】：改為單利計算結(jié)果呢？3、要點(diǎn)歸納1. 有些數(shù)學(xué)問題需要由特殊事例歸納出一般性結(jié)論，然后運(yùn)用數(shù)列知識給予解答.2. 數(shù)列與函數(shù)、與不等式、與解析幾何的綜合問題是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn).3. 解題中要體會轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、分類討論等思想方法.四. 范例導(dǎo)析例1某屋頂?shù)囊粋€斜面成等腰梯形，最上面一行鋪瓦片21片，下一行總是比上一行多鋪2片瓦片，已知斜面上共鋪了 19行瓦片，試問：（1）最下而一行鋪了多少片瓦片？（2）從上往下數(shù)，哪一行鋪了 39片瓦片？【教學(xué)處理】

8、引導(dǎo)學(xué)生閱讀分析問題，由學(xué)生自主解決.【引導(dǎo)分析與精講建議】閱讀題目可知，各行瓦片構(gòu)成什么數(shù)列？(等差數(shù)列)等差數(shù)列通項公式是什么？(要突出強(qiáng)調(diào)首項為21,公差 為2,項數(shù)為19,最后用等差數(shù)列通項公式求解。)變式：屋頂共鋪了多少瓦片？例2某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)，已知該廠連續(xù)生產(chǎn)n 個月的累計產(chǎn)量為/(/?) = /2(a? + 1)(2a2-1)噸，但如果月產(chǎn)量超過96噸，將會給環(huán)境造成危害(1)請你代 表環(huán)保部門給廠擬定最長的生產(chǎn)周期(2)若該廠在環(huán)保部門的規(guī)定下生產(chǎn)，但需要每月交納a萬元壞保稅，q2已知每噸售價0.6萬元，第n個月的工人工資為

9、g(n) = -n(舍去)或x< 5 -一n 萬元,若每月都贏利，求出a的范圍【教學(xué)處理】帶領(lǐng)學(xué)生理清題意引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】問題1:已知什么(連續(xù)生產(chǎn)n個月的累計產(chǎn)量)要求什么月產(chǎn)量a.問題2：如何求月產(chǎn)量a“問題3:不造成危害是什么意思an<96從而構(gòu)建不等關(guān)系問題4：對于(2)弄清利潤含義利潤二售價x月產(chǎn)董m工人工資例3某旅游縣區(qū)計劃投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)計劃，2010年投入800萬元, 以后每年投入將比上年減少丄，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計400萬元，市于該項目對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加

10、丄.4(1) 設(shè)n年內(nèi)總投入為色萬元(2010為第一年),旅游業(yè)總收入仇萬元,寫出©,仇的表達(dá)式(2) 至少經(jīng)過多少年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？【教學(xué)處理】帶領(lǐng)學(xué)生理清題意，突出關(guān)鍵詞，“逐年減少”，“逐年增加”。引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】提出問題：1、每年投入的錢數(shù)成什么數(shù)列？如何求和？ 2、每年收入成什么數(shù)列？ 如何求和？投入情況：800,800x-,5800x($4.800x收入情況400,400x -,4400x (-)2 .400x44第問題是等比數(shù)列求和模型.第問題是數(shù)列與不等式的綜合問題.由題意知 bfl -an > 0令!600&l

11、t;4v-1 -4000x 1>0 ,'5丿(4 y換元令x = 得1.5丿5x2 -7x + 2>0/-%>(4 j;解答:f 4 y4000 x 1:bn5= 1600x |-| -1至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.五、解題反思數(shù)列應(yīng)用題的一般思路：讀題分析，明確哪些量成等差數(shù)列，哪些成等比數(shù)列，哪些量給岀的是遞推關(guān)系若是等差，等比數(shù)列的應(yīng)用題，則要明確ci,gn,qdsn這些量中，哪些已知，哪些未知應(yīng)用相關(guān)數(shù)列知識解答.六、當(dāng)堂反饋1. 夏季高山上溫度從山腳起每升高100米，降低0.7°c,已知山頂?shù)臏囟仁?4. 1°c,山腳的溫

12、度是26°c,則山的相對高度是米.【教學(xué)處理】學(xué)生板演【引導(dǎo)分析與精講建議】等差數(shù)列已知首項、末項、公差求項數(shù)解答：1800.2. 隨看計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，電腦的價格不斷降低，若每隔4年電腦的價格就降低三分之一，則現(xiàn)在價格8100元的電腦12年后的價格為元.【教學(xué)處理】學(xué)生板演【引導(dǎo)分析與精講建議】這是等差數(shù)列模型求通項12（1v解答：聯(lián)想到等比數(shù)列，a =8100, = 1一一 = 一12年后的價格為8100x 1一一 =2400元3 3i3丿3. 數(shù)列仏”滿足：=2,aw =1一一 5 = 2,3,4,.）,若數(shù)列%有一個形如a” = asin伽+ 0） +b的通項公式，其中a,b

13、, 00均為實數(shù)，且a>0, q>o,|0| v彳，則=.（只要寫出一個通項公式即可）.【教學(xué)處理】學(xué)生板演，教師點(diǎn)評.【引導(dǎo)分析與精講建議】d“具有周期性=2.,色二丄,如=一1，。4 =2,=亍。6 =一1由圖像可知表2 2達(dá)式.解答：v3sin4. 設(shè) d=log“+m + 2）（m）,觀察下列運(yùn)算：67i-tz2=log23-log34=|- = 2 定義：使igz lg3a、® 55為整數(shù)的k伙w "）叫做企盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)1,2009的所有企盼數(shù)的和m二.【教學(xué)處理】學(xué)生板演，教師點(diǎn)評.【引導(dǎo)分析與精講建議】該題與函數(shù)知識整合，同時是新情境下的等比數(shù)列求和問題 解答: an = logrt