本科畢業(yè)論文--非線性常微分方程解法初探--賀建霞(4)

1、成績（采用四級記分制）本科畢業(yè)論文（設計）題目： 非線性常微分方程解法初探 學生姓名 賀建霞 學 號 2013114010 指導教師 郭真華 院 系 數學學院 專 業(yè) 數學與應用數學 年 級 2013級 教務處制誠信聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的畢業(yè)論文（設計），是在導師的指導下獨立進行研究所取得的成果。畢業(yè)論文（設計）中凡引用他人已經發(fā)表或未發(fā)表的成果、數據、觀點等，均已明確注明出處。除文中已經注明引用的內容外，不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或在網上發(fā)表的論文。特此聲明。論文作者簽名： 日 期： 2017 年 5 月 2日摘要本文在線性常微分方程理論的基礎之上，對非線性常微分方程的解法進行

2、了初步探討。對于某些特殊類型的非線性常微分方程，可借助變量替換方法將其轉化為線性常微分方程，進而運用初等積分法求出非線性常微分方程的解。對于不能轉化為線性常微分方程的類型，分為連續(xù)解和非連續(xù)解兩種情況來討論。針對連續(xù)解，根據不同的情況分別用不同的理論證明解的存在唯一性。針對非連續(xù)解，首先，用能量法對相應的解作線性估計，適當地確定解空間；然后，利用巴拿赫壓縮映像原理證明解的適定性，初步求出非線性方程的弱解；最后，將非線性常微分方程看作特殊的偏微分方程，應用橢圓方程的弱解正則性理論來研究非線性常微分方程弱解的正則性，將弱解轉變?yōu)閺娊?。關鍵字：非線性常微分方程；線性常微分方程 ；變量替換；適定性；正

3、則性Abstract Based on the theory of linear ordinary differential equations, the solution of nonlinear ordinary differential equations is discussed. For some special types of nonlinear ordinary differential equations, it can be transformed into linear ordinary differential equations by means of variabl

4、e substitution method, and then the solutions of nonlinear ordinary differential equations are obtained by elementary integral method. For the types that can not be transformed into linear ordinary differential equations, it is divided into two cases: continuous solution and discontinuous solution.

5、For the continuous solution, the existence and uniqueness of the solution is proved by the corresponding theory. For the discontinuous solution, firstly, the solution of the corresponding solution is linearly estimated by the energy method. Then, the solution space is determined by using the Banachi

6、an compression image principle. Then, the weak solution of the nonlinear equation is obtained. The nonlinear ordinary differential equation is regarded as a special partial differential equation. The weak solution regularity theory of elliptic equation is used to study the regularity of weak solutio

7、n of nonlinear ordinary differential equation, and the weak solution is transformed into strong solution.Keyword: nonlinear ordinary differential equation；linear ordinary differential equation ；variable substitution； well-posedness of solution；regularity 目 錄序言1第一章 將非線性常微分方程轉化為線性常微分方程2 1.1 伯努利微分方程2 1

8、.2 變量分離型方程3 1.3 可轉化為變量分離型方程的方程類型3 1.4 全微分方程5 1.5 可轉化為全微分方程的方程類型6 第二章 非線性微分方程解的適定性 72.1 連續(xù)解72.1.1 解的存在唯一性7 2.1.2 解的延拓72.2 非連續(xù)解82.2.1巴拿赫壓縮映像原理8 2.2.2解的適定性82.2.3弱解的正則性 10第三章 總結28參考文獻29序言  常微分方程是伴隨著微積分慢慢發(fā)展起來的，隨著各種各樣實際問題的出現以及根據實際生活中的問題建立方程以后在數學方面所作的推廣，常微分方程日益引起人們的關注，該問題已成為近代數學的一個重要研究方向。常微分方程在很多科學技術領

9、域內提供了關鍵性的理論支撐,發(fā)揮著重要的作用,比如在力學、經濟學、生物技術、電子技術領域等等。自動控制、人口問題、彈道軌道問題、導彈飛行的穩(wěn)定性研究、經濟問題等等,這些實際問題最終都要么轉化為求微分方程的解，要么轉化為研究方程對應的解的性質. 實際生活中的問題大多轉變?yōu)榍鬂M足給定初邊值條件的微分方程的特解. 一方面，常微分方程理論的逐步發(fā)展推動了諸多技術領域的發(fā)展。另一方面，這些技術的出現也促進了常微分方程理論日益走向成熟。非線性常微分方程作為常微分方程的重要構成內容，在理論和實踐方面均有著重要的意義。非線性常微分方程遠復雜于線性常微分方程，運用初等積分法求解非線性常微分方程幾乎是不可行的，所

10、以我們必須用不同于線性微分方程理論的方法去研究非線性微分方程的解。已有的研究給出了一些可以求解的特殊的非線性常微分方程以及關于方程對應的解的定性分析。本文在線性常微分方程和偏微分方程的理論基礎之上，對非線性常微分方程的解法進行了初步研究，主要包括兩部分內容。第一部分內容整理歸納出可轉化為線性常微分方程的特殊類型的非線性常微分方程；第二部分內容在研究了微分方程的連續(xù)解之外，還研究了其非連續(xù)解。針對連續(xù)解，通過判斷已知函數關于自變量是否滿足利普希茨條件分別用不同的方法來證明解的適定性。針對非連續(xù)解，其適定性可應用巴拿赫壓縮映像原理來證明。其中，第二部分內容是本文的重點，將非線性常微分方程看作特殊的

11、偏微分方程，借助偏微分方程中的理論和方法來研究非線性常微分方程的解。1將非線性常微分方程轉化為線性常微分方程對于某些特殊類型的一階非線性常微分方程，可以用積分法求解。極少數高階方程可以通過變量替換使方程降階，進而可以用積分法求解。在每一次降階的過程當中，都是在解一階常微分方程。因此，對于非線性常微分方程，下面先介紹幾類能用初等積分的方法求解的一階非線性微分方程。考慮如下形式的一階非線性常微分方程 dydx=fx,y, x,yD （1.1）其中，D是R2中的一個單連通區(qū)域，f對x和y連續(xù)。1.1 伯努利微分方程 dydx=Pxy+Qxyn （1.2）其中P(x),Q(x)為x的連續(xù)函數，且n0,

12、1。通過變量替換可將伯努利微分方程化為線性常微分方程。y=0為方程的解。當y0時，在（1.2）式兩邊同乘以y-n,得 y-ndydx=y1-nPx+Qx （1.3）作變量替換 z=y1-n （1.4）則dzdx=1-ny-ndydx （1.5）將（1.4）式和（1.5）式代入(1.3)式，得dzdx=1-nPxz+1-nQx因此，得到一階線性微分方程。該方程的解是zx=Ce-1-nPxdx+1-ne-1-nPxdxQxe1-nPxdxdx再將z=y1-n代入 ，得y1-nx=Ce-1-nPxdx+1-ne-1-nPxdxQxe1-nPxdxdx1.2 變量分離型方程若一階非線性方程右方函數fx

13、,y可以分離為兩個單變量函數的乘積，即fx,y=gxhy其中gx，hy分別是x,y的連續(xù)函數。則有dydx=gxhy, x,yD1×D2（1.6）且fx,y的定義域D=D1×D2，D1和D2均為R上的區(qū)間。形如（1.6）形式的方程為變量分離方程。如果h(y)在D2上有零點，不妨設hy0=0,則y=y0就是方程（1.6）的一個解。在D2上由定常解劃分的各個區(qū)間內，給方程（1.6）兩邊同除以h(y),得1hydydx=gx即ddxdyhy=gx作變量替換w=dyhy,得到線性方程dwdx=gx求解該方程得w=c+gxdx再將w=dyhy代入，得dyhy=w=c+gxdx1.3可

14、化為變量分離型方程的類型1. dydx=fax+by+c (1.7)作變量替換z=ax+by+c,則有dzdx=a+bfz 上述方程為一個變量分離型方程。令gx=1,hz=a+bfz,即為方程（1.6）的形式，按照1.2節(jié)中介紹的方法進行求解，然后換回最初的變量，便得到原方程（1.7）的解。2. dydx=fyx (1.8)作變量替換 u=yx （1.9）即y=ux，則 dydx=u+xdudx (1.10)將（1.9）和（1.10）代入（1.8），于是原方程轉化為u+xdudx=f(u)由于x0 ,進一步整理后，得到dudx=1xfu-u 該方程屬于變量分離型方程。按照1.2節(jié)中介紹的方法進

15、行求解，然后換回最初的變量，即可得到原方程（2.8）的解。3. dydx=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 (1.11)形如（1.11）的方程也可通過變量替換轉化為變量分離型方程，其中a1 ,a2 ,b1 ,b2 ,c1 ,c2均為常數。下面分情況討論：（1）a12+a22=0情形此時方程變?yōu)閐ydx=fb1y+c1b2y+c2該方程為一個變量分離方程。（2） a12+a220情形。下面分三種情況進行討論： 若a1a2=b1b2=c1c2=k則方程變?yōu)閐ydx=fk于是，得到通解y=fkx+c其中c為任意常數。若a1a2=b1b2=kc1c2,這時方程變?yōu)閐ydx=fka2x+b2y

16、+c1a2x+b2y+c2令u=a2x+b2y，則a1x+b1y=ku于是dudx=a2+b2dydx因此dudx=a2+b2fku+c1u+c2此方程是一個變量分離方程。若a1a2b1b2a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2中分子、分母均為關于自變量x,y的一次多項式。方程組 a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 (1.12) 表示Oxy平面上兩條直線的交點，設交點為，作變量替換 X=x-Y=y- (1.13)則dYdX=dydx于是，（1.12）化為a1X+b1Y=0a2X+b2Y=0從而dydx=fa1X+b1Y+c1a2X+b2Y+c2 =fa1X+b1Y+a1+b1+

17、c1a2X+b2Y+a2+b2+c2 =fa1X+b1Ya2X+b2Y =fa1+b1YXa2+b2YX =gYX因此dYdX=gYX 該方程是一個形如（1.8）形式的變量分離方程。按照變量分離方程的方法求解上述方程，最后代回原來的變量，即可得到原方程（1.11）的解。1.4全微分方程當一階非線性方程（1.1）中的已知函數fx,y=-Qx,yPx,y時，方程（1.1）就轉變?yōu)?Px,ydydx+ Qx,y=0 (1.14)方程（1.14）的定義域是Px,y和Qx,y各自定義域的公共集合。即Px,ydy+ Qx,ydx=0 (1.15)設Px,y和Qx,y在區(qū)域D'=a,b×a

18、,b上連續(xù)，而且Px,y關于第一個自變量x是可微的，Qx,y關于第二個自變量y是可微的。則當Px,yx=Qx,yy , x,yD' (1.16)滿足上述條件的方程（1.15）為全微分方程。在平面區(qū)域D'上取定一點x0，y0，則對于區(qū)域D'內的任意一點x,y以及這兩點之間的任意 一條連線L,曲線積分LPx,ydy+ Qx,ydx與路徑無關。記ux,y=LPx,ydy+ Qx,ydx由于該積分與路徑的選取無關，故可選取積分路徑為：首先沿著水平線L1從x0，y0積分至x，y0,然后再沿著垂直線L2從x，y0積分至x,y，則有ux,y=L1Px,ydy+ Qx,ydx+L2Px

19、,ydy+ Qx,ydx =x0xPx,y0dy+y0yQx,ydx =x0xPs,y0ds+y0yQx,tdt于是dudx=Px,ydydx+ Qx,y由dudx=0，可得ux,y=C。所以，在（1.16）成立的條件下，方程（1.14）的通解為x0xPs,y0ds+y0yQx,tdt=C1.5可轉化為全微分方程的類型若方程（1.15）在其定義域D'上不屬于全微分方程類型，但是存在二元連續(xù)函數Rx,yC1D'，且Rx,y0，x,yD'使得 RPx=RQy （1.17）那么，方程 Rx,yPx,ydy+Rx,y Qx,ydx=0 （1.18）就為一個全微分方程。按照2.4

20、節(jié)中全微分方程的解法來求解方程（1.18），得到其通解ux,y=C由于方程（1.15）和方程（1.17）同解，則ux,y=C即為所求方程的解。2非線性微分方程解的適定性2.1 連續(xù)解2.1.1解的存在唯一性1. 已知函數關于自變量滿足利普希茨條件考慮導數已解出的一階微分方程dydx=fx,y (2.1) 其中，fx,y為定義在矩形區(qū)域R:x-x0a,y-y0b上的關于x,y的連續(xù)函數。 微分方程解的存在唯一性定理1：若fx,y在矩形區(qū)域R上連續(xù)且關于y滿足利普希茨條件，則方程（2.1）存在唯一的定義于區(qū)間x-x0h上的解y=x，該解連續(xù)且滿足初值條件x0=y0其中h=mina,bM,M=max

21、x,yRfx,y。由此可知，如果fx,y連續(xù)，則可得到連續(xù)解。2.已知函數關于自變量不一定滿足利普希茨條件此外，即便有些已知函數關于自變量不滿足利普希茨條件或我們不容易驗證函數關于自變量滿足利普希茨條件，仍然可以證明解的存在唯一性。下面以具體的方程來說明： 考慮徑向對稱可壓縮Navier-Stokes方程 t +(u)r + 2ur=0 2.2(u)t+u2+r+2u2r-ur+2urr+r2ur=0 2.3,ut=0=0r,u0r ,0ra0 2.4其中，a0為大于零的常數，而且自由邊界條件為 at,t=0 (2.5)或者為在at上=ur+2ur （2.6）且 a't=uat,t,a

22、0=a0,t0 (2.7)對于方程（2.2）-（2.3）滿足邊界條件（2.5）或（2.6）的光滑解，很容易得到以下通常的先驗能量估計：ddt0at(12u2+1-1)r2+-10aturr+2u2dr+0atur2r2+2u2dr0,1 對于任意兩個C1中的函數fz0和at0,定義r,t=fratat3ur,t=a'tatr （2.8）則,ur,t是連續(xù)性方程（2.2）的解，即t +ru+ur + 2ur=0 (2.9) 這里，我們可以選擇a(t) 作為滿足條件（2.5）或（2.6）的自由邊界。所以，下面我們將確定函數fx的形式，然后證明自由邊界a(t) 的全局存在性。記z=rat,可

23、以從（2.3）式得fza''tat4r+fz-1f'z1at3+1+ 2-3fz-1f'za'tat3+2=0 (2.10)接下來，我們將分別根據自由邊界條件（2.5）或（2.6）求解方程(2.10)。(1)根據自由邊界條件（2.5）求解方程(2.10)假設=>1。對于帶有邊界條件（2.5）的方程（2.2）-（2.3），存在如下形式的解： r,t=1at312-1r2at2-11-1,ur,t=a'tatr (2.11)其中，a(t)C10,是滿足(2.7)的自由邊界，對于所有t0均存在。顯然，如果at>0是滿足條件（2.5）的自由邊

24、界，則可以直接驗證由（2.11）式定義的,u是方程（2.2）-（2.3）的一個解，其中at可以由以下方程確定：a't=a1+a0 2-3-at2-3-0tas2-3dsa0=a0 ,a'0=a1 (2.12)其中，a0 >0和a1分別是自由邊界的初始位置和斜率。 因此，我們需要解決邊界值問題(2.12)。首先，我們對方程(2.12)的解作估計。設atC10,T是方程(2.12)的一個解，其中T>0。則存在兩個一致的獨立于T的正常數C1和C2>0，使C11+t2-3-3atC21+t9-83-3 ,t0,T 其中=1 ， >431+ ， =435-3， 1

25、<<43下面給出邊值問題(2.12)的解的存在和唯一性證明：令gat=a1+a0 2-3-at2-3-0tas2-3ds則問題(2.12)就轉化為datdt=gata0=a0 ,ga0=a1 (2.13)設T1為一個需要確定的正的足夠小的常數。定義X=atC10,T1，0<12a0 <at<2a0 ，t0,T1對于任意的a1t,a2tX,則有ga1t-ga2t=a2t2-3-a1t2-3+0ta2s2-3-a1s2-3ds33-112a0 1-31+T1sup0tT1a1t-a2t其中，33-112a0 1-31+T1是一個常數。定義X上的映射如下：Hat=a0

26、+0tgasds ,t0,T1 那么，對于任意的t<T1，HatC10,T1。而且當ta0 a1+a0 2-3=T2時，Hata0 +ta1+a0 2-32a0 當0<ta1+2a0 2-32+a0 2a0 2-3-a1+2a0 2-32a0 2-3=T3時，Hata0 -a1t-0tas2-3ds-0t0sa2-3dds12a0 因此，如果T1minT2,T3，則HatX。此外，因為Ha1t-Ha2t=0tga1sds-0tga2sds33-112a0 1-31+T1T1sup0tT1a1t-a2t當33-112a0 1-31+T1T1<1即T1<1+412a0 3-

27、1331-1=T4時，H為一個壓縮映射。由以上的證明可知，對任意的T1=minT2,T3，T4，H:XX是一個壓縮。根據壓縮映像原理可知，映射H在X中存在唯一的atC10,T1，使得Hat=at則a't=gat所以，方程(2.14)在C10,T1中存在唯一的解at，并且滿足0<12a0 <at<2a0 (2)根據自由邊界條件（2.6）求解方程(2.10)。假設 =2-13，>53首先，結合自由邊界條件（2.6）和方程（2.2）可得at,t=0a0-+-t1-由（2.8）中定義的函數可知，自由邊界為at=f1130a0-+-t13- (2.14)則（2.8）和(2

28、.10)分別變?yōu)閞,t=fratat3ur,t=r30a0-+3-t (2.15)其中，fz>0,fzC0,1C1(0,1滿足6-13+12z-f113-fz-2f'z+-12f116-2fz3-116f'z=0 （2.16）令=f1>0；gz=fz3-56，z0,1。則（2.16）等價于g'zgz3-13-5-12=23-13-5z3+12g1=1 （2.17）下面證明方程（2.17）可以在0,1上求解，而且解是唯一的。首先做先驗估計：設gz為系統(tǒng)（2.17）在空間C0,1C1(0,1中的解，則有-123-53-1<gz1 ，z(0,1 （2.18）

29、存在性將（2.17）改寫為如下形式：g'z=Ggz，z=1gz3-13-5-1223-13-5z3+12g1=1 （2.19）于是問題就轉化為尋找（2.19）的解，使得gzC0,1C1(0,1而且滿足-123-53-1<gz1 ，z(0,1設Y=z,gz01-za,01-gzb對于很小的a0,1,b(0,1-123-53-1)那么,可以容易地推斷出Ggz，zM ,z,gzY其中，M為正常數，僅取決于，a，b。若選取h=mina,bM,因為Ggz，z在Y中是連續(xù)的，所以初值問題在鄰域01-zh內存在解。類似地，可以從鄰域01-zh的左邊一步步地擴展這個解。設解的最大存在區(qū)間為，1，

30、其中0，,gzC,1C1(,1。經證明可知，0。唯一性設gzC0,1C1(0,1是問題（2.17）的另外一個解，滿足g1=1-123-53-1<gz1，z(0,1構造函數wz=gz-gz,則wz滿足下列方程ddzwz-3-53-12wz+gz6-13-5-gz6-13-5=0w1=0,g1=1 （2.20）記E=z0,1w0,z1由于1E,所以E。定義z0=infE,則z00,1。顯然，證明系統(tǒng)（2.17）解的唯一性等價于證明z00和連續(xù)性論證。下面用反證法證明z00：如果z00不成立，則z0(0,1,且wz0=0。對于任意的z(0,z0),由（2.18）可知-123-53-1<g

31、z1 ，z(0,z0) （2.21）將（2.20）式兩端從z到z0進行積分，可得wz-3-53-12wz+gz6-13-5-gz6-13-5=0 （2.22）由于對于任意的>53，都有6-13-5>2。利用泰勒展開式知wz+gz6-13-5-gz6-13-5=6-13-5gz3-13-5wz+O1wz2 （2.23） 上述等式中的wz要求充分小。將（2.23）代入（2.22），再結合wz0=0，可以得到1-2-1gz3-13-5wz-3-53-12O1wz2=0其中，z接近z0。又根據（2.21）可得到1-2-1gz3-13-5<0,z(0,z0)于是，可以容易地推導出存在&

32、gt;0，使得wz0,z(z0-,z0)這與z0=infE相矛盾。故z00。最后，綜合以上的證明以及結合(2.15)，得到了方程（2.16）的全局解fzC0,1C1(0,1。2.1.2解的延拓 由微分方程解的存在唯一性定理獲得的解是局部解，該定理只說明了在有限區(qū)間x-x0h上解是存在的。進一步，我們可將局部解進行延拓，使解的存在區(qū)間盡可能地擴大，因而微分方程的局部解變?yōu)檫m用區(qū)間更大的解。具體延拓方法如下：1.fx,y是定義在有界區(qū)域上的：若fx,y在整個有界區(qū)間上關于y符合利普希茨條件，則可將局部解延拓至區(qū)域邊界；若在有界區(qū)間內存在某些點，使得fx,y在這些點處關于y不滿足利普希茨條件，則在這

33、些點處fx,y取值為無窮大。2.fx,y是定義在無界區(qū)域上的：若fx,y連續(xù)且在整個區(qū)間上關于y滿足利普希茨條件，則可將局部解延拓至邊界；若fx,y在某些點處無窮，則在這些點處取值為無窮大。2.2非連續(xù)解2.2.1巴拿赫壓縮映像原理巴拿赫壓縮映像原理2：設X是一個巴拿赫空間，其上的度量為。T為由XX的映射，并且對于任意x、yX,不等式Tx,Tyx,y恒成立，其中為常數，且0<1，那么T在X中存在唯一的不動點，即存在唯一的xX,使得Tx=x ,而且x可以用迭代法求出。具體的選取方式為：第一步: x0X第二步：x1=Tx0第三步：x2=Tx1 第n+1步：xn=Txn-1最后: xnx2.2

34、.2解的適定性在非線性方程的研究過程中，壓縮映像原理是一種非常有用的理論工具。在常微分方程理論中，解的存在性、唯一性以及解的收斂性都是微分方程中的關鍵性問題。為了探究常微分方程解的存在性和唯一性，可以將此問題等價地轉化成求映射的不動點問題。考慮一階常微分方程dydx=gx,y （2.24）求上述常微分方程符合初值條件yx0=y0的解等價于求解如下積分方程y=y0+x0xgt,ytdt在求解此積分方程時，根據gx,y滿足的條件適當地選取一個距離空間，進一步，在這個空間中構造映射Tx=y0+x0xgt,tdt因此，求解原積分方程就等價地轉變?yōu)榍笫沟仁絋=成立的。于是，求常微分方程（2.24）的解的

35、問題就轉變?yōu)榍笏鶚嬙斓挠成銽在解空間中的不動點問題。下面以具體的常微分方程為例介紹如何用巴拿赫映像原理來證明解的適定性：考慮方程u'=f+12u ,在內 u=0 ，在上 （2.25）其中，為R中的一個有界區(qū)域。1.首先，用能量法對其作線性估計，進而適當地確定解空間。方程 u'=f+12u （2.26）對方程（2.26）兩端點乘u，然后進行積分，得u'·udx=f+12u·udx'即12ddtu2dx=(f·u+12u2)dx根據Holder不等式的積分形式可知，（f·u）dxfL2uL2則有(f·u+12u2)d

36、xfL2uL2+12uL22于是12ddtuL22fL2uL2+12uL22又由Young不等式可知，fL2uL212fL22+12uL22因此12ddtuL22uL22+12fL22即ddtuL222uL22+fL22若fL2 ,那么存在正常數C，使得fL2C所以ddtuL222uL22+C2再由Gronwall不等式可知, uL22<,則方程的解uL2 ,即原方程的解空間為L2 。L2 是巴拿赫空間。2.其次，構造壓縮映射，用巴拿赫映像原理來證明解的適定性。對方程（2.26）兩端從0到t進行積分，得u=0tf+12udx構造映射:：Tut=0tf+12udx經過計算可知，TutL2

37、因此，T為由L2 到其自身的映射。Tx,Ty=0tTx-Ty2d12 =0t0t12xs-ysds2d12 0txs-ys2ds12 =x,y其中，0<<1。 所以，T為壓縮映射。又解空間L2 是巴拿赫空間，根據巴拿赫壓縮映像原理可知，存在唯一的u，滿足等式Tu=u。由此獲得的u為原方程的弱解。2.2.3弱解的正則性把常微分方程看作特殊的偏微分方程，討論其弱解的正則性，進一步地，將弱解轉變?yōu)閺娊狻?.首先討論弱解的內部正則性。設已知函數fL2 ，uH01()是方程（3.3）的弱解。那么，對于任意雙包含于的子區(qū)域 '，都有uH2 '，而且uH2 'CuH1+f

38、L2這里，C為常數，且只依賴于dist, '的大小和空間的維數。2.接下來討論弱解的近邊正則性。設已知函數fL2 ，uH01是方程（3.3）的弱解。如果滿足C2,那么對于任意一點x0，都存在x0的一個鄰域，使得uH2，而且uH2CuH1+fL2這里，C為常數，且只依賴于區(qū)域和空間的維數。3.最后討論弱解的全局正則性。設已知函數fL2 ，uH01是方程（3.3）的弱解。如果滿足C2，就有uH2，而且uH2CuH1+fL2這里，C為常數，且只依賴于區(qū)域和空間的維數。下面以具體的例子來說明弱解的正則性：考慮方程-u''=fx，xu=0 （2.27） 其中，為R中的一個有界區(qū)域

39、，函數fL2 。設uH01()是方程（2.27）的弱解，下面證明其弱解的正則性：(1)首先討論弱解的內部正則性。設ux為R上的函數，定義差分算子如下：hux=ux+h-uxhh的共軛算子h*=-h。任取 '，記d=14dist, '。取上相對于 '的截斷因子xC0，滿足0x1x1,在 '上distsupp,2d根據弱解的定義知u'v'dx=fvdx ,vC0 （2.28）由于C0在H01中稠密，則（2.28）式等價于下列式子u'v'dx=fvdx ,vH01 （2.29）選取h,滿足0<h<d。令v=h*2hu,則di

40、stsuppv,d。由于uH01，則vH01。將v=h*2hu代入到（2.29）式，得到u'h*2hu'dx=fh*2hudx （2.30）利用求導運算和差分運算可以交換次序，以及差分算子的性質，則（2.30）可轉化為hu'2hu'dx=fh*2hudx （2.31）因為 h*2hu2dx=suppv-h2hu2dx 2hu'2dx =(hu)2'+2hu'2dx2(hu)2'2dx+22hu'2dx 8(hu)2'2dx+22hu'2dx由（2.30）式并運用Cauchy不等式，可得2hu'2dx

41、=-2(hu)'hu'+fh*2hudx122hu'2dx+5(hu)2'2dx+2f2dx亦即2hu'2dx10(hu)2'2dx+4f2dx（2.32）又(hu)2'2dxCsupphu2dxCu'2dx （2.33）其中，C為常數。聯合式（2.32）和式（2.33），得'hu'2dxCu'2dx+Cf2dx由于當h充分小時，若'hu'2dxK，則'u''2dxK。所以uH2 '，而且uH2 'CuH1+fL2(2)其次討論弱解的近邊正則性。設x0

42、，則存在一個x0的領域0以及可逆映射:0B10,滿足0=B1+=B1+0=xB10x>00=B1+x=0這里，B10表示單位球面。構造函數ux=u-1x，-1為映射的逆映射。容易驗證ux是下列方程的弱解B1+axuxvxdx=B1+fvdx ,vxC0B1+ （2.34）其中，ax=Jx'-1x'-1x, fx=Jxf-1xJx表示映射y=-1x的雅可比行列式。取B1上相對于B12的截斷因子x，令v=h*2hu。由于uH01，則vH01B1+。于是，可將v=h*2hu代入到（2.34）式，得到B1+axuxxh*2hudx=B1+fxh*2hudx （2.35）利用求導運算和差分運算可以交換次序，以及差分算子的性質，則式（2.34）可轉化為B1+haxuxx2hudx=B1+fxh*2hudx類似于內部正則性的證明，可以得到B12+hu'2dxCB1+u'2dx+CB1+f2dx容易驗證2u2xL2B12+ ,而且B12+2u2x2dxCB1+u'2dx+CB1+f2dx由此可知，uxH2B12+。令=-1B12+，則uH2，且滿