橢圓的基本知識(shí)

1、橢圓的基本知識(shí)一、基本知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義：橢圓三定義，簡(jiǎn)稱和比積1定義1:(和)至倆定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距,定值為。2、定義2：(比)到定點(diǎn)和定直線的距離之比是定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線，定值為。3、定義3：(積)到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓。兩定點(diǎn)是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，定值為 m e21( 1< mv 0)。知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，其中c2a2b2。2、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，其中c2a2b2。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的參數(shù)方程2 2X

2、y22 1(a> b> 0)的參數(shù)方程為。a b知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的一些重要性質(zhì)(1 )對(duì)稱性：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是以 x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì) 稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心就是橢圓的中心。(2) 范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線 xa和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x a, y b。(3) 頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)；2 2橢圓% 厶 1(a > b> 0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)頂點(diǎn)分別為 a b用e表示，記作e2c2a橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。(4) 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率,因?yàn)閍>c>0,所以e

3、的取值范圍是0<e<1。(5) 焦半徑：橢圓上任一點(diǎn) P(x°,y°)到焦點(diǎn)的連線段叫做焦半徑。對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的橢 圓，左焦半徑r1 a exo，右焦半徑r2 a exo。a2(6) 準(zhǔn)線方程：xcb2(7 )焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，用 P表示，記作p 。(8)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓的兩交點(diǎn)之間的距離稱為橢圓的通徑，長(zhǎng)用表示，記作d2ep2b2a2(9)切線方程：過(guò)橢圓冷a1( a > b> 0)上xo, yo點(diǎn)的切線方程，可以用xo,yo等效代替橢圓方程得到。等效代替后的切線方程是:XXo2ayyob2-2x(io)極點(diǎn)與極線：右P

4、o Xo , yo是橢圓一2 a2 y b21(a>b>0)外一點(diǎn)，過(guò)Po作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為 R,F2，則點(diǎn)Po和切點(diǎn)弦RP2分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線。切點(diǎn)弦P1P2的直線方程即極線方程是(11)中點(diǎn)弦方程和弦中點(diǎn)軌跡：中點(diǎn)弦AB的方程：在橢圓中，若弦爭(zhēng)晉1 (極線定理)AB的中點(diǎn)為M(x°,y°)，弦AB稱為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)2 2弦的方程就是 笙餐 篤退，是直線方程。a b a b弦中點(diǎn)M的軌跡方程：在橢圓中，過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)Po xo,yo的弦AB，其中點(diǎn)M的方程就是XoX2ayoy2y，仍為橢圓。b22 2 2知識(shí)點(diǎn)五：橢圓務(wù)篤 1和篤a ba2x1(a&g

5、t; b> o)的區(qū)別和聯(lián)系b2標(biāo)準(zhǔn)方程2 2篤1(a > b > o)ab2 2yx2 721(a> b>o)a b圖形性質(zhì)焦占八 '、八、焦距范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)軸長(zhǎng)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑、規(guī)律方法1、 如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a,b ；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2、 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a,b,c的幾何意義a,b, c構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三邊，滿足勾股定理。3、如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置？橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判2 2斷焦點(diǎn)位置的方法是：看 x ,y的分

6、母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4、方程Ax2 By2 C(ABC 0)是表示橢圓的條件。5、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6、共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異2共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓篤a2b 1(a> b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為2x2a m2y.2b m1(m>b2)，此類問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7、如何求解與焦三角形PFiF2(P是橢圓上的點(diǎn))有

7、關(guān)的計(jì)算問(wèn)題?焦三角形：以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) B,F2為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)P在橢圓上的三角形稱為焦三角形。2半角是指F1PF2的一半。則焦三角形的面積為：S b tan。28、直線與橢圓問(wèn)題的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題(韋達(dá)定理的應(yīng)用)(1 )弦長(zhǎng)公式(2)中點(diǎn)弦問(wèn)題(點(diǎn)差法)三、四種題型與三種方法(一)四種題型2 21、已知橢圓C:1內(nèi)有一點(diǎn)A(2,1), F為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一動(dòng)2516點(diǎn)，求PA 5PF的最小值。2、已知橢圓c：X2521內(nèi)有一點(diǎn)A(2,1), F為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一動(dòng)16點(diǎn)，求PA PF的最大值與最小值。2 2x y3、已知橢圓C :1外有一點(diǎn)A(5,6) ,1

8、為橢圓C的左準(zhǔn)線，P為橢圓C上的一動(dòng)2516點(diǎn)，點(diǎn)P到I的距離為d，求 PA54、定長(zhǎng)為d(d型)的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓2&b>0)上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線I的最短距離。(二)三種方法2 21橢圓蕓1(a > b>0)的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，求三角形AOB的最小面積。2 22、已知橢圓丄 1和直線l : x y 9 0，在I上取一點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且以橢圓的123焦點(diǎn)Fi,F2為焦點(diǎn)做橢圓，求 M在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求此橢圓。3、過(guò)橢圓2x22的焦點(diǎn)的直線交橢圓于 A, B，求 AOB面積的最大值。四、經(jīng)典例題1、如圖，把橢圓2X2

9、52紅 1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作X軸的垂線交橢圓的上16半部分于Pl,P2, P3, P4, P5, P6,P7 七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則RFP2FP7FX22、已知F1,F2是橢圓162y91的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與橢圓交于M , N兩點(diǎn)，則MNF2的周長(zhǎng)為（）.32A. 8 B3、過(guò)點(diǎn)A（ 1,2）且與橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是24、若橢圓k 82y_91的離心率是5、F1, F2分別是橢圓2X2 2a b止 1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓上，POF2是面積為.3的正三角形，則b2的值是6、在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為2，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為（）f再- 1.2A