正四面體性質(zhì)及其應(yīng)用

1、正四面體性質(zhì)及其應(yīng)用Document numberNOCG-YU正四面體的性質(zhì)及其應(yīng)用具有一些特有的性質(zhì)，設(shè)正四面體的棱長為4則(1)全面積S全二羽a2 ；對棱中點的連線是對棱的公垂線, 相鄰兩面所成的二面角a=arccos ； 棱與其相交的面所成的角朋arctan邁；(7)正四面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，內(nèi)切球半徑廠二羋"外接球半徑R(8)正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。將正四面體置于正方體中.結(jié)合正方體的性質(zhì)以上諸性質(zhì)容易得到證明?？疾檎?四面體的性質(zhì)多出選擇或填空題，熟記以上八條性質(zhì)對快速求解相關(guān)問題有很大幫 肋，例如：例1 :已知半徑為1的球

2、面上有A、B、C三個點，且它們之間的球面距離都為扌，則球心O到平面ABC的距離為()/7解析：如右圖所示，OA=OB=OC=AB=BC = CA = ,球的半徑&：1:.ZAOB=ZBOC=ZCOA 貝AB=BC=CA=所以o-ABC為棱長為1的正四面體，貝IJ由正四面體的性質(zhì)得球心o到平面ABC的距離即其高為魯，答案B。例2: （05年湖南省十所示范校聯(lián)考）已知棱長為"的正四面體ABCD有內(nèi)切球O,經(jīng)過該棱錐A-BCD的中截面為則O到平面M的距離為（）AB尊/ C暮D卑a,中截面到底面的距離為.因此選C。解析：直接運用正四面體的性質(zhì)，內(nèi)切球的半徑 高的一半% 則o到平面M的

3、距離為罟D例3: （06年陜西卷）將半徑為/?的四個球兩兩相切地放在桌面上t則上面一個球的球心到桌面的距離為解析：注意分析四個球的球心的位置關(guān)系。設(shè)四個球心:4、B、C、D、因為四個球兩兩相切，則ABCD是棱長為2R的正四面體，A到面BCD的距離為 距離為/?+普7?二（1-斗'）R。,則上面一個球的球心4到桌面的例4: （06年山東卷）如圖1,在等腰梯形ABCD中 AB=2DC=23 /D4B二60°, E為AC的中點，將厶ADE與厶BEC分別沿ED、D I卜折起.C 、B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）ABCD A ：E解析：三棱錐P-DCE實質(zhì)上是棱長

4、為1的正四面體,則其外接球的體積為例5: （06年湖南卷）棱長為2的正四面體的四個頂點都在J司二球面上，若過該M)A球球心的一個截面如圖1,則圖中三角形（正四面體的截ABC 2D 羽解析：由截面圖形可知，正四面體恰好有兩個頂點在球面上，且截面圓經(jīng)過其外接球的球心（正四面體的中心），由正四面體的對稱性可知M為對棱CD的中點，M到腦的距離即為正四面體對棱公垂線的長申“所以 a5c=2x2xa/2 x2 二血。例6： （07年安徽卷）半徑為1的球面上的四點A、B、C、D是正四面體的頂點,則A與3兩點間的球面距離為（）A atrcosB arccos (-C arccos(-g)D arccos(-)解析：由題意可知，此球O為正四面體的外接球，且外接球的半徑為1,則正四2 R1 + 1 -（-）21面體的棱長為己一，根據(jù)余弦定理得cos乙二2X1X1二一予所以乙AO