正多邊形與圓分析

1、九年級(jí)上24.3正多邊形和圓一：知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入1. 圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于.2. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的垂直于弦，并且平分 .3. 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個(gè)圓周角中有一組量 ，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別_4. 同弧或等弧所對(duì)的圓周角，都等于它所對(duì)的圓心角的5. 直徑所對(duì)的圓周角是，90°所對(duì)的弦是 .二：新知識(shí)回顧（一）正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形 正多邊形的性質(zhì)：1. 正多邊形各邊相等；正多邊形各角相等。2. 正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)正 n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都 通過(guò)正n

2、邊形的中心邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心 就是對(duì)稱(chēng)中心.3. 邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于 相似比，面積的比等于相似比的平方.正多邊形的判定:1. 依次連結(jié)圓的n（n >3）等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形2. 經(jīng)過(guò)圓的n（n >3）等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊 形（二）正多邊形和圓的關(guān)系：1. 將一個(gè)圓n （n三）3等分（可以借助量角器），依次連接各等分點(diǎn)所得的多 邊形就叫做這個(gè)圓的 內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的 外接圓.正多邊形的中心：把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心正多邊形的半徑：

3、外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心,中心角的度數(shù)是360.n正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距2. 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外 切正n邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的 內(nèi)接圓，這個(gè)多邊形叫做 外接正多 邊形。3. 正多邊形外接圓和內(nèi)接圓的關(guān)系定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.（三）正多邊形的有關(guān)計(jì)算（«-2） 180°1. 正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是;W2. 正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是;W3. 正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是二.

4、（四）正多邊形的畫(huà)法1. 用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此作相等的圓心角可以等 分圓.2. 用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.三：例題剖析（至少10個(gè)例題與習(xí)題）【例1】已知正六邊形ABCDEF ,如圖所示，其外接圓的半徑是a，?求正六 邊形的周長(zhǎng)和面積.分析：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求 AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接 OA過(guò)0點(diǎn)作OMLAB垂 于M,在Rt AOIM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得 AB的長(zhǎng).正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的.解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所

5、以它的中心角等于型=60°, ? OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的6半徑.因此，所求的正六邊形的周長(zhǎng)為 6a1 i在 Rt OAM中, OA=a AMaB亠 a2 2OM= a2 _(ja)2 =1 73a【變式練習(xí)】 已知，如圖，正八邊形 ABCDEFGH內(nèi)接于半徑為R的OO,求這個(gè)八邊形 的面積.四：思維誤區(qū)判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2) 各角相等；缺一不可如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不 是正多邊形(正方形).例2.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，若分別以A、B、C、D為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半

6、徑作弧，分別與各邊交于 E、F、G、H、K、L、M、N 點(diǎn).求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.例3:已知：如圖， ABC是。O的內(nèi)接等腰三角形，頂角/ A=36 °，弦BD、CE分別平分/ABC、/ACB.求證：五邊形 AEBCD是正五邊形AD【變式練習(xí)】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形，如圖1，丄二】是正三角形，可以證明六邊形 ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；D7時(shí)，它2）是正丙同學(xué)：我能證明邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形，我想

7、，邊數(shù)是可能也是正多邊形；（1）請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；（2）請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形 ABCDEFG如圖七邊形（不必寫(xiě)已知、求證）；（3）根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想（不必證明）1的起始2cm，例4 （2013?內(nèi)江）如圖，正六邊形硬紙片 ABCDEF在桌面上由圖位置沿直線I不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長(zhǎng)為則正六邊形的中心 0運(yùn)動(dòng)的路程為cm .五：難點(diǎn)講解例5:已知。O的半徑為R,求它的內(nèi)接正三角形 ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積例6:右圖的花環(huán)狀圖案中，ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六邊形.(1) 求證:Z1= Z2;(

8、2) 找出一對(duì)全等的三角形并給予證明例7:如圖M、N分別是O O的內(nèi)接正三角形 ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN ,連結(jié)0M、ON圖2(1)求圖1中ZMON的度數(shù);(2) 圖2中ZMON的度數(shù)是_圖3中ZMON的度數(shù)是；(3) 試探究/MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系.例8:正八邊形有 對(duì)稱(chēng)軸，它不僅是寸稱(chēng)圖形，還是寸稱(chēng)圖形.【提示】正n邊形有n條對(duì)稱(chēng)軸正2n邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.【答案】8，軸，中心.鞏固練習(xí)(一) 填空1. 邊長(zhǎng)為2 a的正六邊形的面積為 .(二) 判斷2. 各角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

9、()【答案】X.【點(diǎn)評(píng)】矩形內(nèi)接于以對(duì)角線為直徑的圓，但它不是正多邊形.3. 正五邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形()【答案】x.【點(diǎn)評(píng)】正五邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.(三) 選擇4 .下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是 () A .等腰梯形 B .平行四邊形 C.等邊三角形D .圓例9:如圖O是等邊三角形ABC的外接圓，D、E是。O上兩點(diǎn)，則/ D0【變式練習(xí)】如圖,正方形ABCD內(nèi)接于。O,點(diǎn)E在弧AD上，則ZBEC等于多少？六：拓展講解例10 :如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O, AB是直徑.（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中的四邊形 ABCD成等腰梯形，這個(gè)條

10、件是 （只1需填一個(gè)條件）。2）如果CD = 2 AB，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使等腰梯形ABCD分成面積相等的三部分，并給予證明.七：總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.知識(shí)點(diǎn)二、正多邊形的重要元素1. 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形， 這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.2. 正多邊形的有關(guān)概念(1) 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.(2) 正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3) 正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.(4) 正多邊形的中心到

11、正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算(«-2) 180°(1) 正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是<360°(2) 正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是J.;360°(3) 正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是< .知識(shí)點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì)1. 正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形2. 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2 n個(gè)全等的直角三角形3. 正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心.八：家庭作業(yè)-溫方才能知新起填一填1 已

12、知正方形面積為8cm二、判斷題（一）判斷：1.正多邊形的中心角等于它的每一個(gè)外角.（） 若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是150。，則這個(gè)正多邊形是正十二邊形.（） 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.（）（二）判斷下列各種圖形是否一定是正多邊形（是打“/” ，不是打“X”）。（1）等邊三角形（）（2）矩形（）（3）菱形（）（4）正方形（）（5）各角相等的圓內(nèi)接多邊形（）（6）各邊相等的圓內(nèi)接多邊形（）（7）順次連接正多邊形各邊中點(diǎn)所得3. 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成 全等的直角三角形，每個(gè)直角三角形的邊分別是指正 n邊形的4. 一個(gè)外角等于它的一個(gè)內(nèi)角的正多邊形是正 形.5. 正八邊形的中

13、心角的度數(shù)為 每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為 每一個(gè)外角度數(shù)為6. 邊長(zhǎng)為6cm的正三角形的半徑是 cm邊心距是cm,面積是cm.7. 面積等于6 3cm2的正六邊形的周長(zhǎng)是 .8. 正多邊形的面積是240cm 2,周長(zhǎng)是60cm 2,則邊心距是cm.9. 正六邊形的兩對(duì)邊之間的距離是 12cm,則邊長(zhǎng)是cm.10. 若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角大于它的一個(gè)內(nèi)角，則它的邊數(shù)是11. 正六邊形的兩條平行邊間距離是1,則邊長(zhǎng)是12. 周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、S4、S6之間的大,求此正方形邊心距. 2. 一個(gè)正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn) 60。和原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)正多邊形是3. 有一邊長(zhǎng)為4

14、的正n邊形，它的一個(gè)內(nèi)角是120。，則其外接圓的半徑為4. 正六邊形一組對(duì)邊間的距離為6，那么這個(gè)正六邊形的半徑是5. 同圓中，內(nèi)接正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形中周長(zhǎng)最大的是6. 正九邊形的半徑為R,則它的邊長(zhǎng)是 7. 一個(gè)正n邊形的中心角是它的一個(gè)內(nèi)角的1/5，則n=.8. 兩個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)分別是 3和4，則這兩個(gè)正六邊形的面積之比是的多邊形（）（8 ）既有內(nèi)切圓又有外接圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓的多邊形（）B組三、填空題1. 正n邊形的中心角等于 ，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于 。正n邊形的每一個(gè)外角等于 正n邊形內(nèi)角和。2. 正n邊形都是稱(chēng)圖形，正n邊形共有條對(duì)稱(chēng)軸；正n邊形滿足什么

15、條件時(shí) 那又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是0小關(guān)系是：13. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是 四、簡(jiǎn)答題如圖：四邊形ABCD為正方形，M、N分別是BC和CD中點(diǎn)，AM與BN 交于點(diǎn)P，(1) 請(qǐng)你用幾何變換的觀點(diǎn)寫(xiě)出 BCN是AABM經(jīng)過(guò)什么幾何變換得來(lái)的；(2) 觀察圖，圖中是否存在一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的面積與厶 APB的 面積相等？寫(xiě)出你的結(jié)論.(不必證明)(3) 如圖：六邊形ABCDEF為正六邊形，M、N分別是CD和DE的中 點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)P,問(wèn)：你在中所得的結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)一、選擇題(題型注釋)1 在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是()A. 三條中線的交點(diǎn)B. 三條

16、高線交點(diǎn)C. 三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)D. 三邊垂直平分線交點(diǎn)2三角形的外心是（）.A. 各內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)B. 各邊中線的交點(diǎn)C. 各邊垂線的交點(diǎn)D. 各邊垂直平分線的交點(diǎn)3 .如圖O內(nèi)切于 ABC，切點(diǎn)分別為D, E, F . ZB = 50 ° ,憶C = 60° , 連結(jié) OE, OF , DE, DF，貝，EDF 等于（）A. 40 °B . 55 ° C . 65° D . 70 °4. 正多邊形的中心角是36°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A. 10B . 8C . 6D . 55. 下列命題中，正確的有（） 平分

17、弦的直徑垂直于弦； 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓； 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角相等； 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑； 過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線長(zhǎng)相等.A. 1個(gè)B . 2個(gè) C . 3個(gè) D . 4個(gè)6 . （3分）如圖，正方形ABCD和正厶AEF都內(nèi)接于。0, EF與BC CD分別相 交于點(diǎn)G H,則匡的值是（）GH-622 C .、3 D . 27 .如圖，正方形 ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)分別在。0上，點(diǎn)P在CD上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則/ BPC的度數(shù)是（）A 45° B 、60°C 、75°D 、90°8 .如圖，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是 2cm這個(gè)扳手的開(kāi)口 a

18、的值應(yīng)是A. 2 .3 cm B . . 3 cmC.二 cm D . 1cm39. 若正多邊形的一個(gè)外角為60o,則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是 （）A. 30°B . 60°C . 90°D . 120°10. 如圖，正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于。O,若直線PA與。O相切于點(diǎn)A,則A. 30° B . 35° C . 45° D. 60°11. 如果正三角形的內(nèi)切圓半徑為1,那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為（）A. 2 B . 2 3 C . 3 D .-312 .圓內(nèi)接四邊形 ABCDZ A,Z B,Z C的度數(shù)之比

19、為3:4:6，則/ D的度 數(shù)為（）A . 60° B . 80° C . 100°D . 120°13 .同圓的內(nèi)接正三角形與正六邊形的邊長(zhǎng)之比為（）A . 1: 2 B . 1: 1 C .3: 1 D . 2: 114 .如圖，O0是正方形ABCD勺外接圓，點(diǎn)P在。O上，則/APB等于（PA. 30° B . 45° C . 55° D . 60°15.已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為 36,那么圓的半徑為（）A. 6 B . 4 C . 3 D . 216 .正六邊形內(nèi)切圓面積與外接圓面積之比為（）.A. T

20、B . 2 C .寸17 .如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一圓環(huán)還需（）個(gè)五邊形.A .C . 818 . （3分）一元錢(qián)硬幣的直徑約為 24mm則用它能完全覆蓋住的正六邊形 的邊長(zhǎng)最大不能超過(guò)（）A . 12mmB . 12.3mm C . 6mm D . 6-3 mm19 .如圖，正六邊形 ABCDEF1的邊長(zhǎng)為2,正六邊形 AB2GDEF2的外接圓 與正六邊形 AB1CDE1F1的各邊相切，正六邊形 AbBbCbDbEbFs的外接圓與正六邊形AB2CDE2F2的各邊相切，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A0B10C10D0E10F10的邊長(zhǎng)為（）地81G8129

21、81/320.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那 么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（）A. 50cm B . 25 ,2 cm C . 502 cm D . 503 cm21如圖，正六邊形 ABCDE內(nèi)接于。0,半徑為4,則這個(gè)正六邊形的邊心 距OM和BC弧線的長(zhǎng)分別為（）八cJIfA.2, B3C.、3 , D322.已知圓的半徑是2、3，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（）23 .邊長(zhǎng)為1的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為(A) 2(B) 1(C 1(D)匸2(A) 3、3(B) 9、. 3(C) 18 3( D) 36、324.如圖，一個(gè)半徑為r （rv 1）的圓形紙片在邊長(zhǎng)為10

22、的正六邊形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，則在該六邊形內(nèi)，這個(gè)圓形紙片不能接觸到的部分的面積是（2A.二 rBr42 3r2 -二 r2 D25.如圖O的半徑為1cm正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,則圖中陰影部分面積為cm 2.（結(jié)果保留n ）26.正方形的邊長(zhǎng)為6,則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（A. 6, 3 2 B3、2 , 3 C . 6,3 D.6.2，3、227.同圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的周長(zhǎng)之比為B . 2 : 1 C . 1 : 2 D28.半徑為R的圓內(nèi)接正三角形的面積是（A fR2衣C .寧R229.正六邊形的邊心距為；，則該正六邊形的邊長(zhǎng)是（A.二 B . 2 C . 3 D .

23、 2 二30.如圖，在 PQF是OO的內(nèi)接三角形，四邊形 ABCD1O O的內(nèi)接正方形,BC/ QR 貝U/ AOR=()o.72°.75°31 .周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積Ss、S、S6之間的大小關(guān)系是A.S3 > S4> S3 B.S 6> S> Sb C.S6 > S3> S D.S4> Ss > Sb32 .如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a=6cm的正六邊形螺帽,扳手張開(kāi)的開(kāi)口 b至A. 6 2mm B . 12mm C . 6 3mm D . 4 3mm33. （2014?和平區(qū)三模）同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)

24、接正方形的邊長(zhǎng)的比是（）A. - B. ； C.立 D.243334. （2014?南開(kāi)區(qū)二模）若正六邊形的邊長(zhǎng)為6,則其外接圓半徑與內(nèi)切圓 半徑的大小分別為（）A.6, 3心 B.6, 3C.3# ：, 6D.6, 335. （2014?可西區(qū)一模）正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為（）A.1 : 2 B.心：2 C. 二：1 D. 二：236. （2014?閔行區(qū)三模）如圖，在O O中，OA=AB OCLAB,交O O于點(diǎn)C, 那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. / BAC=30B. 弧AC等于弧BCC. 線段OB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的半徑D. 弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)37. （2014

25、?東麗區(qū)一模）正六邊形的邊長(zhǎng)等于2,則這個(gè)正六邊形的面積等 于（）A.4 -B.6 I C.7-D.838. （2014?寶坻區(qū)一模）圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為 24,則該圓的內(nèi)接正三角 形的周長(zhǎng)為（）A.12 二' B.6C.12D.639. （2014?漢沽區(qū)一模）O O的半徑等于3,則OO的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)等于 （）A.3B.2 二 C.3 匚 D.640. （2014?建湖縣一模）半徑為8cm的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為（）A.8 1：cm B.4 卅二cm C.8cm D.4cm41. （2014?天津）正六邊形的邊心距為；，則該正六邊形的邊長(zhǎng)是（）A.二 B.2C.3D.2-42如圖，