正多邊形與圓分析

1、九年級上24.3正多邊形和圓一：知識點導(dǎo)入1. 圓上各點到圓心的距離都等于.2. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的垂直于弦，并且平分 .3. 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個圓周角中有一組量 ，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別_4. 同弧或等弧所對的圓周角，都等于它所對的圓心角的5. 直徑所對的圓周角是，90°所對的弦是 .二：新知識回顧（一）正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形 正多邊形的性質(zhì)：1. 正多邊形各邊相等；正多邊形各角相等。2. 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正 n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都 通過正n

2、邊形的中心邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心 就是對稱中心.3. 邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于 相似比，面積的比等于相似比的平方.正多邊形的判定:1. 依次連結(jié)圓的n（n >3）等分點，所得的多邊形是正多迫形2. 經(jīng)過圓的n（n >3）等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊 形（二）正多邊形和圓的關(guān)系：1. 將一個圓n （n三）3等分（可以借助量角器），依次連接各等分點所得的多 邊形就叫做這個圓的 內(nèi)接正多邊形，這個圓是這個正多邊形的 外接圓.正多邊形的中心：把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心正多邊形的半徑：

3、外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心,中心角的度數(shù)是360.n正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距2. 經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外 切正n邊形,這個圓叫做這個正多邊形的 內(nèi)接圓，這個多邊形叫做 外接正多 邊形。3. 正多邊形外接圓和內(nèi)接圓的關(guān)系定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.（三）正多邊形的有關(guān)計算（«-2） 180°1. 正n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是;W2. 正n邊形每個中心角的度數(shù)是;W3. 正n邊形每個外角的度數(shù)是二.

4、（四）正多邊形的畫法1. 用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圓心角可以等 分圓.2. 用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.三：例題剖析（至少10個例題與習(xí)題）【例1】已知正六邊形ABCDEF ,如圖所示，其外接圓的半徑是a，?求正六 邊形的周長和面積.分析：要求正六邊形的周長，只要求 AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接 OA過0點作OMLAB垂 于M,在Rt AOIM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得 AB的長.正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的.解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所

5、以它的中心角等于型=60°, ? OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的6半徑.因此，所求的正六邊形的周長為 6a1 i在 Rt OAM中, OA=a AMaB亠 a2 2OM= a2 _(ja)2 =1 73a【變式練習(xí)】 已知，如圖，正八邊形 ABCDEFGH內(nèi)接于半徑為R的OO,求這個八邊形 的面積.四：思維誤區(qū)判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2) 各角相等；缺一不可如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不 是正多邊形(正方形).例2.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，若分別以A、B、C、D為圓心，以O(shè)A長為半

6、徑作弧，分別與各邊交于 E、F、G、H、K、L、M、N 點.求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.例3:已知：如圖， ABC是。O的內(nèi)接等腰三角形，頂角/ A=36 °，弦BD、CE分別平分/ABC、/ACB.求證：五邊形 AEBCD是正五邊形AD【變式練習(xí)】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進(jìn)行如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形，如圖1，丄二】是正三角形，可以證明六邊形 ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；D7時，它2）是正丙同學(xué)：我能證明邊數(shù)是5時，它是正多邊形，我想

7、，邊數(shù)是可能也是正多邊形；（1）請你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形 ABCDEFG如圖七邊形（不必寫已知、求證）；（3）根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想（不必證明）1的起始2cm，例4 （2013?內(nèi)江）如圖，正六邊形硬紙片 ABCDEF在桌面上由圖位置沿直線I不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為則正六邊形的中心 0運動的路程為cm .五：難點講解例5:已知。O的半徑為R,求它的內(nèi)接正三角形 ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積例6:右圖的花環(huán)狀圖案中，ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六邊形.(1) 求證:Z1= Z2;(

8、2) 找出一對全等的三角形并給予證明例7:如圖M、N分別是O O的內(nèi)接正三角形 ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點，且BM=CN ,連結(jié)0M、ON圖2(1)求圖1中ZMON的度數(shù);(2) 圖2中ZMON的度數(shù)是_圖3中ZMON的度數(shù)是；(3) 試探究/MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系.例8:正八邊形有 對稱軸，它不僅是寸稱圖形，還是寸稱圖形.【提示】正n邊形有n條對稱軸正2n邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.【答案】8，軸，中心.鞏固練習(xí)(一) 填空1. 邊長為2 a的正六邊形的面積為 .(二) 判斷2. 各角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

9、()【答案】X.【點評】矩形內(nèi)接于以對角線為直徑的圓，但它不是正多邊形.3. 正五邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()【答案】x.【點評】正五邊形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.(三) 選擇4 .下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是 () A .等腰梯形 B .平行四邊形 C.等邊三角形D .圓例9:如圖O是等邊三角形ABC的外接圓，D、E是。O上兩點，則/ D0【變式練習(xí)】如圖,正方形ABCD內(nèi)接于。O,點E在弧AD上，則ZBEC等于多少？六：拓展講解例10 :如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O, AB是直徑.（1）請你添加一個條件，使圖中的四邊形 ABCD成等腰梯形，這個條

10、件是 （只1需填一個條件）。2）如果CD = 2 AB，請你設(shè)計一種方案，使等腰梯形ABCD分成面積相等的三部分，并給予證明.七：總結(jié)知識點一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.知識點二、正多邊形的重要元素1. 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形， 這個圓就是這個正多邊形的外接圓.2. 正多邊形的有關(guān)概念(1) 一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.(2) 正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3) 正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.(4) 正多邊形的中心到

11、正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.3. 正多邊形的有關(guān)計算(«-2) 180°(1) 正n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是<360°(2) 正n邊形每個中心角的度數(shù)是J.;360°(3) 正n邊形每個外角的度數(shù)是< .知識點三、正多邊形的性質(zhì)1. 正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形2. 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2 n個全等的直角三角形3. 正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.八：家庭作業(yè)-溫方才能知新起填一填1 已

12、知正方形面積為8cm二、判斷題（一）判斷：1.正多邊形的中心角等于它的每一個外角.（） 若一個正多邊形的每一個內(nèi)角是150。，則這個正多邊形是正十二邊形.（） 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.（）（二）判斷下列各種圖形是否一定是正多邊形（是打“/” ，不是打“X”）。（1）等邊三角形（）（2）矩形（）（3）菱形（）（4）正方形（）（5）各角相等的圓內(nèi)接多邊形（）（6）各邊相等的圓內(nèi)接多邊形（）（7）順次連接正多邊形各邊中點所得3. 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成 全等的直角三角形，每個直角三角形的邊分別是指正 n邊形的4. 一個外角等于它的一個內(nèi)角的正多邊形是正 形.5. 正八邊形的中

13、心角的度數(shù)為 每一個內(nèi)角度數(shù)為 每一個外角度數(shù)為6. 邊長為6cm的正三角形的半徑是 cm邊心距是cm,面積是cm.7. 面積等于6 3cm2的正六邊形的周長是 .8. 正多邊形的面積是240cm 2,周長是60cm 2,則邊心距是cm.9. 正六邊形的兩對邊之間的距離是 12cm,則邊長是cm.10. 若一個正多邊形的一個外角大于它的一個內(nèi)角，則它的邊數(shù)是11. 正六邊形的兩條平行邊間距離是1,則邊長是12. 周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、S4、S6之間的大,求此正方形邊心距. 2. 一個正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn) 60。和原來的圖形重合，那么這個正多邊形是3. 有一邊長為4

14、的正n邊形，它的一個內(nèi)角是120。，則其外接圓的半徑為4. 正六邊形一組對邊間的距離為6，那么這個正六邊形的半徑是5. 同圓中，內(nèi)接正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形中周長最大的是6. 正九邊形的半徑為R,則它的邊長是 7. 一個正n邊形的中心角是它的一個內(nèi)角的1/5，則n=.8. 兩個正六邊形的邊長分別是 3和4，則這兩個正六邊形的面積之比是的多邊形（）（8 ）既有內(nèi)切圓又有外接圓，并且這兩個圓是同心圓的多邊形（）B組三、填空題1. 正n邊形的中心角等于 ，正n邊形的每一個內(nèi)角等于 。正n邊形的每一個外角等于 正n邊形內(nèi)角和。2. 正n邊形都是稱圖形，正n邊形共有條對稱軸；正n邊形滿足什么

15、條件時 那又是中心對稱圖形，對稱中心是0小關(guān)系是：13. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是 四、簡答題如圖：四邊形ABCD為正方形，M、N分別是BC和CD中點，AM與BN 交于點P，(1) 請你用幾何變換的觀點寫出 BCN是AABM經(jīng)過什么幾何變換得來的；(2) 觀察圖，圖中是否存在一個四邊形，這個四邊形的面積與厶 APB的 面積相等？寫出你的結(jié)論.(不必證明)(3) 如圖：六邊形ABCDEF為正六邊形，M、N分別是CD和DE的中 點，AM與BN交于點P,問：你在中所得的結(jié)論是否成立？若成立，寫一、選擇題(題型注釋)1 在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是()A. 三條中線的交點B. 三條

16、高線交點C. 三個內(nèi)角平分線交點D. 三邊垂直平分線交點2三角形的外心是（）.A. 各內(nèi)角的平分線的交點B. 各邊中線的交點C. 各邊垂線的交點D. 各邊垂直平分線的交點3 .如圖O內(nèi)切于 ABC，切點分別為D, E, F . ZB = 50 ° ,憶C = 60° , 連結(jié) OE, OF , DE, DF，貝，EDF 等于（）A. 40 °B . 55 ° C . 65° D . 70 °4. 正多邊形的中心角是36°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（）A. 10B . 8C . 6D . 55. 下列命題中，正確的有（） 平分

17、弦的直徑垂直于弦； 三角形的三個頂點確定一個圓； 圓內(nèi)接四邊形的對角相等； 圓的切線垂直于過切點的半徑； 過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等.A. 1個B . 2個 C . 3個 D . 4個6 . （3分）如圖，正方形ABCD和正厶AEF都內(nèi)接于。0, EF與BC CD分別相 交于點G H,則匡的值是（）GH-622 C .、3 D . 27 .如圖，正方形 ABCD勺四個頂點分別在。0上，點P在CD上不同于點C的任意一點，則/ BPC的度數(shù)是（）A 45° B 、60°C 、75°D 、90°8 .如圖，正六邊形螺帽的邊長是 2cm這個扳手的開口 a

18、的值應(yīng)是A. 2 .3 cm B . . 3 cmC.二 cm D . 1cm39. 若正多邊形的一個外角為60o,則這個正多邊形的中心角的度數(shù)是 （）A. 30°B . 60°C . 90°D . 120°10. 如圖，正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于。O,若直線PA與。O相切于點A,則A. 30° B . 35° C . 45° D. 60°11. 如果正三角形的內(nèi)切圓半徑為1,那么這個正三角形的邊長為（）A. 2 B . 2 3 C . 3 D .-312 .圓內(nèi)接四邊形 ABCDZ A,Z B,Z C的度數(shù)之比

19、為3:4:6，則/ D的度 數(shù)為（）A . 60° B . 80° C . 100°D . 120°13 .同圓的內(nèi)接正三角形與正六邊形的邊長之比為（）A . 1: 2 B . 1: 1 C .3: 1 D . 2: 114 .如圖，O0是正方形ABCD勺外接圓，點P在。O上，則/APB等于（PA. 30° B . 45° C . 55° D . 60°15.已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長為 36,那么圓的半徑為（）A. 6 B . 4 C . 3 D . 216 .正六邊形內(nèi)切圓面積與外接圓面積之比為（）.A. T

20、B . 2 C .寸17 .如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個五邊形，要完成這一圓環(huán)還需（）個五邊形.A .C . 818 . （3分）一元錢硬幣的直徑約為 24mm則用它能完全覆蓋住的正六邊形 的邊長最大不能超過（）A . 12mmB . 12.3mm C . 6mm D . 6-3 mm19 .如圖，正六邊形 ABCDEF1的邊長為2,正六邊形 AB2GDEF2的外接圓 與正六邊形 AB1CDE1F1的各邊相切，正六邊形 AbBbCbDbEbFs的外接圓與正六邊形AB2CDE2F2的各邊相切，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A0B10C10D0E10F10的邊長為（）地81G8129

21、81/320.有一個邊長為50cm的正方形洞口，要用一個圓蓋去蓋住這個洞口，那 么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（）A. 50cm B . 25 ,2 cm C . 502 cm D . 503 cm21如圖，正六邊形 ABCDE內(nèi)接于。0,半徑為4,則這個正六邊形的邊心 距OM和BC弧線的長分別為（）八cJIfA.2, B3C.、3 , D322.已知圓的半徑是2、3，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（）23 .邊長為1的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為(A) 2(B) 1(C 1(D)匸2(A) 3、3(B) 9、. 3(C) 18 3( D) 36、324.如圖，一個半徑為r （rv 1）的圓形紙片在邊長為10

22、的正六邊形內(nèi)任意運動，則在該六邊形內(nèi)，這個圓形紙片不能接觸到的部分的面積是（2A.二 rBr42 3r2 -二 r2 D25.如圖O的半徑為1cm正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,則圖中陰影部分面積為cm 2.（結(jié)果保留n ）26.正方形的邊長為6,則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（A. 6, 3 2 B3、2 , 3 C . 6,3 D.6.2，3、227.同圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的周長之比為B . 2 : 1 C . 1 : 2 D28.半徑為R的圓內(nèi)接正三角形的面積是（A fR2衣C .寧R229.正六邊形的邊心距為；，則該正六邊形的邊長是（A.二 B . 2 C . 3 D .

23、 2 二30.如圖，在 PQF是OO的內(nèi)接三角形，四邊形 ABCD1O O的內(nèi)接正方形,BC/ QR 貝U/ AOR=()o.72°.75°31 .周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積Ss、S、S6之間的大小關(guān)系是A.S3 > S4> S3 B.S 6> S> Sb C.S6 > S3> S D.S4> Ss > Sb32 .如圖，要擰開一個邊長為a=6cm的正六邊形螺帽,扳手張開的開口 b至A. 6 2mm B . 12mm C . 6 3mm D . 4 3mm33. （2014?和平區(qū)三模）同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)

24、接正方形的邊長的比是（）A. - B. ； C.立 D.243334. （2014?南開區(qū)二模）若正六邊形的邊長為6,則其外接圓半徑與內(nèi)切圓 半徑的大小分別為（）A.6, 3心 B.6, 3C.3# ：, 6D.6, 335. （2014?可西區(qū)一模）正六邊形的邊心距與邊長之比為（）A.1 : 2 B.心：2 C. 二：1 D. 二：236. （2014?閔行區(qū)三模）如圖，在O O中，OA=AB OCLAB,交O O于點C, 那么下列結(jié)論錯誤的是（）A. / BAC=30B. 弧AC等于弧BCC. 線段OB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的半徑D. 弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長37. （2014

25、?東麗區(qū)一模）正六邊形的邊長等于2,則這個正六邊形的面積等 于（）A.4 -B.6 I C.7-D.838. （2014?寶坻區(qū)一模）圓內(nèi)接正六邊形的周長為 24,則該圓的內(nèi)接正三角 形的周長為（）A.12 二' B.6C.12D.639. （2014?漢沽區(qū)一模）O O的半徑等于3,則OO的內(nèi)接正方形的邊長等于 （）A.3B.2 二 C.3 匚 D.640. （2014?建湖縣一模）半徑為8cm的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為（）A.8 1：cm B.4 卅二cm C.8cm D.4cm41. （2014?天津）正六邊形的邊心距為；，則該正六邊形的邊長是（）A.二 B.2C.3D.2-42如圖，