高考數(shù)學一輪復習總教案：3.4　定積分與微積分基本定理

1、淘寶店鋪：漫兮教育3.4定積分與微積分基本定理典例精析題型一求常見函數(shù)的定積分來源:數(shù)理化網(wǎng)【例1】 計算下列定積分的值.(1)(x1)5dx；來源:(2) (xsin x)dx.【解析】(1)因為(x1)6(x1)5，所以 (x1)5dx.(2)因為(cos x)xsin x，所以(xsin x)dx1.【點撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值；(2)當被積函數(shù)是分段函數(shù)時，應對每個區(qū)間分段積分，再求和；(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，應先去掉絕對值符號后積分；(4)當被積函數(shù)具有奇偶性時，可用以下結(jié)論：若f(x)是偶函數(shù)時，則f(x)dx2f(x)dx；

2、若f(x)是奇函數(shù)時，則f(x)dx0.【變式訓練1】求(3x34sin x)dx.【解析】(3x34sin x)dx表示直線x5，x5，y0和曲線y3x34sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號.又f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x).所以f(x)3x34sin x在5,5上是奇函數(shù)，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0.來源:題型二利用定積分計算曲邊梯形的面積【例2】求拋物線y22x與直線y4x所圍成的平面圖形

3、的面積.【解析】方法一：如圖，由得交點A(2,2)，B(8，4)，則S()dx4x()dx18.方法二：S(4y)dy18.【點撥】根據(jù)圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計算簡捷，在以y為積分變量時，應注意將曲線方程變?yōu)閤(y)的形式，同時，積分上、下限必須對應y的取值.【變式訓練2】設k是一個正整數(shù)，(1)k的展開式中x3的系數(shù)為，則函數(shù)yx2與ykx3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為.【解析】Tr1C()r，令r3，得x3的系數(shù)為C，解得k4.由得函數(shù)yx2與y4x3的圖象的交點的橫坐標分別為1,3.所以陰影部分的面積為S(4x3x2)dx(2x23x.題型三定積分在物理中的應用【

4、例3】 (1) 變速直線運動的物體的速度為v (t)1t2，初始位置為x01，求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置；(2)一物體按規(guī)律xbt3作直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x0運動到xa時阻力所做的功.【解析】(1)當0t1時，v(t)0，當1t2時，v(t)0，所以前2秒內(nèi)所走過的路程為sv(t)dt(v(t)dt(1t2)dt(t21)dt=2.2秒末所在的位置為x1x0v(t)dt1(1t2)dt.所以它在前2秒內(nèi)所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1.(2) 物體的速度為v(bt3)3bt2.媒質(zhì)阻力F阻kv2k(3bt2)29

5、kb2t4，其中k為比例常數(shù)，且k0.來源:當x0時，t0；當xa時，tt1()，又dsvdt，故阻力所做的功為W阻ds kv2·vdtkv3dt k(3bt2)3dtkb3t k.【點撥】定積分在物理學中的應用應注意：v(t)a(t)dt，s(t)v(t)dt和WF(x)dx這三個公式.【變式訓練3】定義F(x，y)(1x)y，x，y(0，).令函數(shù)f(x)F1，log2(x24x9)的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點A(0，m)，過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B(n，t)(n0)，設曲線C1在點A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值.【解析】因為F(x，y)(1x)y，所以f(x)F(1，log2(x24x9)x24x9，故A(0,9)，又過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B(n，t)(n0)，f(x)2x4.所以解得B(3,6)，所以S(x24x92x)dx(3x29x)=9.總結(jié)提高1.定積分的計算關鍵是通過逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).2.定積分在物理學中的應用必須遵循相應的物理過程和物理原理.3.利用定積分求平面圖形面積的步驟：（1）畫出草圖，在直