大學(xué)解析幾何

1、word.空間解析幾何根本知識一、向量1、空間中任意兩點和，那么向量2、向量、，那么1向量的模為233、向量的內(nèi)積12其中為向量的夾角，且注意：利用向量的內(nèi)積可求直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。4、向量的外積遵循右手原那么，且、5、12二、平面1、平面的點法式方程平面過點，且法向量為，那么平面方程為注意：法向量為垂直于平面2、平面的一般方程，其中法向量為3、1平面過原點 2平面與軸平行與面垂直法向量垂直于軸如果，那么平面過軸平面與軸平行與面垂直法向量垂直于軸如果，那么平面過軸平面與軸平行與面垂直法向量垂直于軸如果，那么平面過軸3平面與面平行法向量垂直于面平面與面平行法向量

2、垂直于面平面與面平行法向量垂直于面注意：法向量的表示三、直線1、直線的對稱式方程過點且方向向量為直線方程注意：方向向量和直線平行2、直線的一般方程，注意該直線為平面和的交線3、直線的參數(shù)方程4、1方向向量，直線垂直于軸2方向向量，直線垂直于軸3方向向量，直線垂直于軸5、1方向向量，直線垂直于面2方向向量，直線垂直于面3方向向量，直線垂直于面應(yīng)用一、柱面1、設(shè)柱面的準線方程為，母線的方向向量，求柱面方程方法：在準線上任取一點，那么過點的母線為 又因為在準線上，故 1 2令 3由1、2、3消去求出，再把代入求出關(guān)于的方程，那么該方程為所求柱面方程例1：柱面的準線為，而母線的方向為，求這柱面方程。

3、解：在柱面的準線上任取一點，那么過點的母線為即1又因為在準線上，故2，3由123得2、圓柱面是動點到對稱軸的距離相等的點的軌跡，該距離為圓柱面的半徑方法：在圓柱面上任取一點，過點做一平面垂直于對稱軸，該平面的法向量為對稱軸的方向向量，把該平面方程和對稱軸方程聯(lián)立求得平面和對稱軸的交點，那么為圓柱的半徑例2：圓柱面的軸為，點1，-2，1在此圓柱面上，求這個圓柱面的方程。解：設(shè)圓柱面上任取一點，過點且垂直于軸的平面為軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得 故該平面和軸的交點為過點1，-2，1和軸垂直的平面和軸的交點為因為圓柱截面的半徑相等，故利用距離公式得注意：也可找圓柱面的準線圓處理例3：求以直線x=y

4、=z為對稱軸，半徑R=1的圓柱面方程解：在圓柱面上任取一點，過點且垂直于軸的平面為軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得 故該平面和軸的交點為M1那么的長等于半徑R=1故利用距離公式得即所求方程為二、錐面錐面是指過定點且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點為頂點，定曲線為準線。1、設(shè)錐面的準線為，頂點為，求錐面方程方法：在準線上任取一點，那么過點的母線為 1又因為在準線上，故 2 2由1、2、3消去求出關(guān)于的方程，那么該方程為所求錐面方程例1錐面的頂點在原點，且準線為，求這錐面方程。解：在準線上任取一點，那么過點的母線為 又因為在準線上，故且上面三個方程消去得2、圓錐面圓錐面的頂點，

5、對稱軸或軸的方向向量為，求圓錐面方程方法：在母線上任取一點，那么過該點的母線的方向向量為利用和的夾角不變建立關(guān)于的方程，該方程為所求例2求以三根坐標軸為母線的圓錐面的方程。解：在坐標軸上取三點，那么過三點的平面為故對稱軸的方向向量為，一條母線的方向向量為，那么母線和對稱軸的夾角為，即在母線上任取一點，那么過該點的母線的方向向量為所以例3圓錐面的頂點為，軸垂直于平面，母線和軸成，求圓錐面方程解：在母線上任取一點，軸的方向向量為，母線的方向向量為那么即 三、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程為，旋轉(zhuǎn)軸為，求旋轉(zhuǎn)曲面方程方法：在母線上任取一點，所以過的緯圓方程又因為在母線上，有由上述四個方程消去的方程為旋

6、轉(zhuǎn)曲面例4求直線繞直線：旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：在母線上任取一點，那么過的緯圓方程又因為在母線上，有由上述方程消去的方程得四、幾種特殊的曲面方程1、母線平行于坐標軸的柱面方程設(shè)柱面的準線是平面上的曲線，那么柱面方程為設(shè)柱面的準線是平面上的曲線，那么柱面方程為設(shè)柱面的準線是平面上的曲線，那么柱面方程為注意：1母線平行于坐標軸的柱面方程中只含兩個字母 2準線為坐標平面內(nèi)的橢圓、雙曲線、拋物線等柱面稱為橢圓柱面、雙曲線柱面、拋物線柱面例求柱面方程1準線是，母線平行于軸解：柱面方程為2準線是，母線平行于軸解：柱面方程為3準線是，母線平行于軸解：2、母線在坐標面上，旋轉(zhuǎn)軸是坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)母

7、線是，旋轉(zhuǎn)軸是軸的旋轉(zhuǎn)曲面為；旋轉(zhuǎn)軸是軸的旋轉(zhuǎn)曲面為同理可寫出其它形式的旋轉(zhuǎn)曲面方程注意：此類旋轉(zhuǎn)方程中一定含有兩個字母的平方和的形式，且它們的系數(shù)相等。例方程是什么曲面，它是由面上的什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的解：面上的繞軸旋轉(zhuǎn)而成的3、平行于坐標面的平面和曲面的交線方程平行于面的平面和曲面的交線為平行于面的平面和曲面的交線為平行于面的平面和曲面的交線為例求曲面和三個坐標面的交線1解：、2解：注意在面上無交線3解：在面上交于一點五、求投影 1、求點在平面上的投影、求點到平面的距離、求關(guān)于平面的對稱點方法：1過點作直線垂直于平面，該直線的方向向量為平面的法向量2求直線和平面的交點，該交點為點在平

8、面上的投影例51求點在平面上的投影2求點到平面的距離，并求該點關(guān)于平面的對稱點坐標1求過直線且與點的距離為1的平面方程2、求點在直線上的投影、求點到直線的距離、求關(guān)于直線的對稱點方法：1過點作平面垂直于直線，該平面的法向量為直線的方向向量2求直線和平面的交點，該交點為點在直線上的投影例61求點到直線的距離，該點在直線上的投影2求點到直線的距離3、直線在平面上的投影方法：1過直線作平面和平面垂直，該平面的法向量為直線的方向向量和平面法向量的外積2聯(lián)立兩個平面方程所得直線為該直線在平面上的投影例71求直線在平面上的投影直線的方程2直線在面上的投影為，在面上的投影為，求直線在面上的投影4、曲線在坐標

9、面上的投影柱面及投影方法：1消去得，那么為曲線在面上的投影2消去得，那么為曲線在面上的投影3消去得，那么為曲線在面上的投影例1求球面與平面的交線在面上的投影柱面及投影2把曲線的方程用母線平行于軸和軸的兩個投影柱面方程表示解：消去得母線平行于軸的投影柱面方程；消去得母線平行于軸的投影柱面方程，因此曲線可表示為五、求平面方程1、過直線的平面方程可設(shè)為如果直線方程是點向式或參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理例1在過直線的平面中找出一個平面，使原點到它的距離最長。2平面過軸，且與平面的夾角為，求該平面方程兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補角3求過點和直線的平面方程4過直線作平面，使它平行于直線

10、(5)過平面和的交線作切于球面的平面6求由平面所構(gòu)成的兩面角的平分面方程 2、利用點法式求平面方程注意：1任何垂直于平面的向量均可作為平面的法向量2和平面平行的平面可設(shè)為3如存在兩個向量、和平面平行或在平面內(nèi)，那么平面的法向量為例1兩直線為，求過兩直線的平面方程2求過和兩點，且垂直于平面的平面3一平面垂直于向量且與坐標面圍成的四面體體積為9，求平面方程4球面與一通過球心且與直線垂直的平面相交，求它們的交線在面上的投影3、軌跡法求方程方法：1設(shè)平面上任一一點2列出含有的方程化簡的平面方程例求由平面和所構(gòu)成的二面角的平分面的方程六、求直線方程1、把直線的一般方程化為點向式方程方法：直線方程為，那么

11、該直線的方向向量為在直線上任取一點，那么直線方程為例化直線的一般方程為標準方程2、根據(jù)直線的方向向量求直線方程例1過點，且平行于兩相交平面和的直線方程2求過點，且與直線平行的直線方程3求過點，且與平面平行，又與直線垂直的直線方程注意：一直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行，和另一直線垂直均可確定直線的方向向量3、利用直線和直線的位置關(guān)系求直線方程注意：1兩直線平行，那么，其中和為直線的方向向量2兩直線和相交，那么且3兩直線和異面，其中公垂線的方向向量為，那么兩異面直線的距離為；公垂線方程為例1求通過點且與兩直線和都相交的直線方程解：設(shè)所求直線的方向向量為，兩直線的方向向量為

12、、，且分別過點、那么，即；，即故，故所求直線為2兩異面直線和，求它們的距離與公垂線方程3求與直線平行且與以下兩直線相交的直線和4求過點與軸相交，且與直線垂直的直線方程習題1、柱面的準線為且1母線平行于軸2母線平行于直線，求柱面方程2、柱面的準線為母線垂直于準線所在的方程，求柱面方程3、求過三條平行線的圓柱面方程4、求頂點為原點，準線為的錐面方程5、頂點為，準線為，求錐面方程6、頂點為，軸垂直于平面，且過點，求該圓錐面的方程7、求以下旋轉(zhuǎn)曲面方程1直線繞直線旋轉(zhuǎn)2直線繞直線旋轉(zhuǎn)3直線繞直線旋轉(zhuǎn)4曲線繞直線旋轉(zhuǎn)8例求曲面和三個坐標面的交線1 2 391求點關(guān)于直線的對稱點2求點到直線的距離，10求直線在平面上的投影直線的方程11求曲線在三個坐標面的投影柱面和投影 121過直線作平面，使它垂直于平面2求過點和直線的平面方程3求過兩平面、交線且與平面垂直的平面4求過點和直線的平面方程5過直線且與直線垂直6過直線且與平面垂直的平面(7)在過直線的所有平面中找出一個平面，使它與原點的距離最遠131求平行于平面且與球面相切的平面方程2求過兩直線、的平面方程3求和平面平行，且距離為3的平面4求和兩直線，平行且與兩直線等距離的平面方程5求過點，且垂直于平面與的平面方程141求由平面和所構(gòu)成的二面角的平分面的方程2動