機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)1-2

1、傅立葉變換的主要性質(zhì) 一個(gè)信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一個(gè)信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。熟悉傅里葉變換的主要性質(zhì)，有助于了解信號(hào)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。熟悉傅里葉變換的主要性質(zhì)，有助于了解信號(hào)在某個(gè)域中的變化和運(yùn)算將在另一域中產(chǎn)生何種相應(yīng)的變化和運(yùn)在某個(gè)域中的變化和運(yùn)算將在另一域中產(chǎn)生何種相應(yīng)的變化和運(yùn)算關(guān)系，最終有助于對(duì)復(fù)雜工程問題的分析和簡化計(jì)算工作。算關(guān)系，最終有助于對(duì)復(fù)雜工程問題的分析和簡化計(jì)算工作。（一）奇偶虛實(shí)性（一）奇偶虛實(shí)性)(Im)(RefXjfXdtetxfXftj2)()(ftdttxfX2cos)()(ReftdttxfX2

2、sin)()(Im)()(Re)(fXfXfX)()(Im)(fXfXjfX如果如果x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則：為實(shí)偶函數(shù)，則：如果如果x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則為實(shí)奇函數(shù)，則：例例1 求雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜求雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜taetf)(a( 0) )(tft 1222)()(aadteedtetfFtjtatj解: 0)(,2)(22aaF aa1a2)(F當(dāng)當(dāng)x x( (t t) )是實(shí)偶函數(shù)時(shí)是實(shí)偶函數(shù)時(shí), ,頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)x x( (f f) )是實(shí)偶函數(shù)。是實(shí)偶函數(shù)。當(dāng)當(dāng)x x( (t t) )是實(shí)奇函數(shù)時(shí)是實(shí)奇函數(shù)時(shí), ,頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)x x( (f f) )是虛奇函數(shù)。是虛奇函數(shù)。

3、當(dāng)當(dāng)x x( (t t) )是虛偶函數(shù)時(shí)是虛偶函數(shù)時(shí), ,頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)x x( (f f) )是虛偶函數(shù)。是虛偶函數(shù)。當(dāng)當(dāng)x x( (t t) )是虛奇函數(shù)時(shí)是虛奇函數(shù)時(shí), ,頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)x x( (f f) )是實(shí)奇函數(shù)。是實(shí)奇函數(shù)。性質(zhì)性質(zhì)1 1結(jié)論：結(jié)論：（二）對(duì)稱性（二）對(duì)稱性)()(fXtx)()(fxtX（三）時(shí)間尺度改變特性（三）時(shí)間尺度改變特性kfXkktx1)()()(fXtx kfXkktdektxkdtektxktkfjftj1122證明：證明： 若若k1,則波形壓縮，若則波形壓縮，若0k M) )(21)(21cos)()(00-0tjtjetfFetfFttf

4、FtaF解：解：0011()()22FFMM2)(F)(A100（五）卷積特性（五）卷積特性兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)x1(t)與與x2(t)的卷積定義為：的卷積定義為：)(*)(21txtxdtxx)()(21)()(11fXtx)()(22fXtx)()()(*)(2121fXfXtxtx)(*)()()(2121fXfXtxtx記作：記作：若：若：則：則：)()(fXtx)()2()(fXfjdttxdnnnnnndffXdtxtj)()()2(tfXfjdttx)(21)(（六）微分和積分特性（六）微分和積分特性幾種典型信號(hào)的頻譜幾種典型信號(hào)的頻譜 01t22TtTt公式：公式： fTjfTjf

5、tjeefjdtetfW212頻譜：頻譜：一、矩形窗函數(shù)的頻譜一、矩形窗函數(shù)的頻譜)(FT1T2Tf 一個(gè)在時(shí)域有限區(qū)間內(nèi)有值的信一個(gè)在時(shí)域有限區(qū)間內(nèi)有值的信號(hào)，其頻譜卻延伸至無限頻率。若號(hào)，其頻譜卻延伸至無限頻率。若在信號(hào)中截取信號(hào)的一段記錄長度，在信號(hào)中截取信號(hào)的一段記錄長度，則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)之乘則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)之乘積，因而所得頻譜將是原信號(hào)頻域積，因而所得頻譜將是原信號(hào)頻域函數(shù)和函數(shù)和sinc函數(shù)的卷積，它將是連函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的、頻率無限延伸的頻譜。從其續(xù)的、頻率無限延伸的頻譜。從其頻譜圖上可以看到，在頻譜圖上可以看到，在f=01/T之間的譜峰之間的譜峰,幅值

6、最大幅值最大,稱為主瓣稱為主瓣.兩兩側(cè)其他各譜峰的峰值較低側(cè)其他各譜峰的峰值較低,稱為旁瓣稱為旁瓣.主瓣寬度為主瓣寬度為2/T,與時(shí)域窗寬度與時(shí)域窗寬度T成反成反比比.可見時(shí)域窗寬可見時(shí)域窗寬T越大越大,即截取信號(hào)即截取信號(hào)時(shí)長越長時(shí)長越長,主瓣寬度越小主瓣寬度越小.（二）（二） 函數(shù)及其頻譜函數(shù)及其頻譜 （1） 函數(shù)的定義：函數(shù)的定義：在在 時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖S (t)（或三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等），其面積或三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等），其面積為為1。當(dāng)。當(dāng) 0時(shí)時(shí)S (t)的極限就稱為的極限就稱為 函數(shù)，記作函數(shù)，記作 （t）。）。 函數(shù)也稱

7、為單位脈沖函數(shù)。函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)。 （t）的特點(diǎn)有：）的特點(diǎn)有： 從函數(shù)值極限角度看：從函數(shù)值極限角度看：0 00 )(ttt從面積（通常也稱其為從面積（通常也稱其為 函數(shù)的強(qiáng)度）的角度來看：函數(shù)的強(qiáng)度）的角度來看：1)()(lim0dttSdtt00( )0ttt且且 ( )1t dt+-稱之為稱之為函數(shù)。函數(shù)。 用它可描述一些作用時(shí)間極短、但取值極大的物理現(xiàn)象，如用它可描述一些作用時(shí)間極短、但取值極大的物理現(xiàn)象，如云層之間的放電，瞬時(shí)間的沖擊力等。定義中積分等于云層之間的放電，瞬時(shí)間的沖擊力等。定義中積分等于1，說明其強(qiáng)度為說明其強(qiáng)度為1，若強(qiáng)度為，若強(qiáng)度為K的脈沖用的脈沖用k(t)

8、表示。表示。(t)的圖示可用一長度為一個(gè)單位的線段來表示，線段位于的圖示可用一長度為一個(gè)單位的線段來表示，線段位于原點(diǎn)，表示當(dāng)時(shí)間原點(diǎn)，表示當(dāng)時(shí)間t0=0有一沖擊。若線段位于有一沖擊。若線段位于t=t0點(diǎn)，則點(diǎn)，則可定義可定義函數(shù)的延遲為：函數(shù)的延遲為： 0000()1tttttt，積分值仍為，積分值仍為1。 （2） 函數(shù)的采樣性質(zhì)：如果函數(shù)的采樣性質(zhì)：如果 函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)f(t)相相乘，顯然其乘積僅在乘，顯然其乘積僅在t=0處為處為f(0) (t)，其余各點(diǎn)（，其余各點(diǎn)（t 0）之乘積均為零。如果之乘積均為零。如果 函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)f(t)相乘，并在

9、相乘，并在（ ， ）區(qū)間中積分，則有：）區(qū)間中積分，則有：dttft)()(dtft)0()()0()()0(fdttf對(duì)于有延時(shí)對(duì)于有延時(shí)t0的的 函數(shù)函數(shù) (tt0)，則有：，則有：dttftt)()(0)()()(000tfdttftt由于經(jīng)過此種處理，可將由于經(jīng)過此種處理，可將f(t)在任何時(shí)刻的值提取出來，所在任何時(shí)刻的值提取出來，所以稱其為篩選性質(zhì)，或抽樣性質(zhì)。當(dāng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，采以稱其為篩選性質(zhì)，或抽樣性質(zhì)。當(dāng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，采樣的過程及采樣后信號(hào)即可利用此種性質(zhì)來進(jìn)行描述樣的過程及采樣后信號(hào)即可利用此種性質(zhì)來進(jìn)行描述. )(*)(ttxdtx)()()()()(txdtx)

10、(*)(0tttxdttx)()(0)(0ttx（3） 函數(shù)的與其他函數(shù)的卷積：任何函數(shù)和函數(shù)的與其他函數(shù)的卷積：任何函數(shù)和 函數(shù)函數(shù) (t)的卷的卷積是一種最簡單的卷積積分。例如，一個(gè)矩形函數(shù)積是一種最簡單的卷積積分。例如，一個(gè)矩形函數(shù)x(t)與與 函數(shù)函數(shù) (t)的卷積為的卷積為:x(t)x(t)函數(shù)和函數(shù)和函數(shù)的卷函數(shù)的卷積的結(jié)果，積的結(jié)果，就是在發(fā)生就是在發(fā)生函數(shù)的坐函數(shù)的坐標(biāo)位置上簡標(biāo)位置上簡單地將單地將x(t)x(t)重新構(gòu)圖。重新構(gòu)圖。 （4） 函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜1)()(02edtetfftjdfetftj21)( 這說明這說明函數(shù)的頻函數(shù)的頻譜密度是常數(shù)譜密度是常數(shù)1，即，

11、即函數(shù)是各種等強(qiáng)度的函數(shù)是各種等強(qiáng)度的各種頻率成分所組成各種頻率成分所組成的。的。1 ( ) tt( )F故知時(shí)域的故知時(shí)域的 函數(shù)具有函數(shù)具有無限寬廣的頻譜，而且在所無限寬廣的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度的，有的頻段上都是等強(qiáng)度的，即頻譜密度在整個(gè)頻率軸上即頻譜密度在整個(gè)頻率軸上處處為，這種頻譜常稱為處處為，這種頻譜常稱為“均勻譜均勻譜”。 由脈沖函數(shù)的定義不難由脈沖函數(shù)的定義不難看出，理想的脈沖函數(shù)是不看出，理想的脈沖函數(shù)是不可能實(shí)現(xiàn)的然而，與脈沖可能實(shí)現(xiàn)的然而，與脈沖函數(shù)類似，具有很小脈寬的函數(shù)類似，具有很小脈寬的脈沖函數(shù)在實(shí)際生活中卻比脈沖函數(shù)在實(shí)際生活中卻比比皆是，例如，力學(xué)中

12、瞬間比皆是，例如，力學(xué)中瞬間作用的沖擊力，電學(xué)中的脈作用的沖擊力，電學(xué)中的脈沖電擊，數(shù)字通訊信號(hào)采樣沖電擊，數(shù)字通訊信號(hào)采樣的抽樣脈沖等等實(shí)際上，的抽樣脈沖等等實(shí)際上，脈沖函數(shù)的概念正是以這些脈沖函數(shù)的概念正是以這些實(shí)際問題為背景引出的實(shí)際問題為背景引出的3 3、周期函數(shù)的傅立葉變換、周期函數(shù)的傅立葉變換 從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上講，一個(gè)函數(shù)傅立葉變換從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上講，一個(gè)函數(shù)傅立葉變換存在的條件是其在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件，即存在的條件是其在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件，即 dttx)(顯然，周期函數(shù)不滿足上述條件，然而，由于脈沖顯然，周期函數(shù)不滿足上述條件，然而，由于脈沖函數(shù)的引入，在有些

13、情況下絕對(duì)可積并不是傅立葉變函數(shù)的引入，在有些情況下絕對(duì)可積并不是傅立葉變換存在的必要條件。比如，直流信號(hào)就不滿足絕對(duì)可換存在的必要條件。比如，直流信號(hào)就不滿足絕對(duì)可積條件，但它的傅立葉變換存在，等于一個(gè)頻域脈沖積條件，但它的傅立葉變換存在，等于一個(gè)頻域脈沖函數(shù)函數(shù)(f)。由此可以預(yù)料，周期函數(shù)的傅立葉變換也是。由此可以預(yù)料，周期函數(shù)的傅立葉變換也是存在的。而且由于周期函數(shù)頻譜的離散性，它的傅立存在的。而且由于周期函數(shù)頻譜的離散性，它的傅立葉變換必定由頻域脈沖函數(shù)所組成。葉變換必定由頻域脈沖函數(shù)所組成。 簡諧函數(shù)的頻譜密度函數(shù)簡諧函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 由于正、余弦函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能

14、直由于正、余弦函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能直接進(jìn)行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時(shí)引如接進(jìn)行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時(shí)引如 函數(shù)：函數(shù)：tfjtfjeejtf00220212sintfjtfjeetf00220212cos)()(212sin000ffffjtf)()(212cos000fffftf、周期單位脈沖序列的頻譜、周期單位脈沖序列的頻譜 等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數(shù)，等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數(shù)，并用并用comb(t,Ts)表示：表示：nsdefsnTtTtcomb)(),( tf00sTtcomb ,sffcomb,1sT2sT/3sTsT2sTsT/ 1

15、sT/ 1sT/31其頻譜為stkfjTTsskksstnfjkkdefsTdteTtcombTccTfecTtcombssss1,1,/1,2222為系數(shù)式中)(1 )(1,sksskssTkfTkffTffcomb其FS為周期脈沖序列周期脈沖序列的頻譜依然是的頻譜依然是一個(gè)周期脈沖一個(gè)周期脈沖序列，只是周序列，只是周期為期為1/Ts,脈沖脈沖強(qiáng)度為強(qiáng)度為1/TstkfjksdefsseTTtcomb21,第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)在工程測量時(shí)，通常用幅值隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系在工程測量時(shí)，通常用幅值隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系來測量，來測量，y=f(t) 隨機(jī)信號(hào)：無法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，

16、具有隨機(jī)信號(hào)：無法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，具有不確定性和事先不可預(yù)知性。不確定性和事先不可預(yù)知性。 雖然這樣，不能用時(shí)間的確定函數(shù)來描述，但都雖然這樣，不能用時(shí)間的確定函數(shù)來描述，但都能用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來描述。對(duì)隨機(jī)信號(hào)在能用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來描述。對(duì)隨機(jī)信號(hào)在有限時(shí)間內(nèi)的觀測結(jié)果稱之為有限時(shí)間內(nèi)的觀測結(jié)果稱之為樣本樣本，所有可能樣本的所有可能樣本的集合稱之為集合稱之為總體總體。總體描述了一個(gè)隨機(jī)過程。比如：總體描述了一個(gè)隨機(jī)過程。比如：對(duì)每日氣溫的觀測，地球上溫度的變化，只能以天為對(duì)每日氣溫的觀測，地球上溫度的變化，只能以天為單位，或以年為單位來進(jìn)行分析。每天的觀測構(gòu)成一單位

17、，或以年為單位來進(jìn)行分析。每天的觀測構(gòu)成一個(gè)個(gè)樣本函數(shù)樣本函數(shù)。. 隨機(jī)過程及其描隨機(jī)過程及其描述述隨機(jī)過程：隨機(jī)過程： 12 ( ) ( ),( ),.,( ),.nx tx tx txt總體平均值：總體平均值： 11( )lim( )NxiNiuxNtt由同一試驗(yàn)條件下所有樣本函數(shù)的集合（總體）由同一試驗(yàn)條件下所有樣本函數(shù)的集合（總體）才能定義一個(gè)物理現(xiàn)象的隨機(jī)過程。才能定義一個(gè)物理現(xiàn)象的隨機(jī)過程。t的函數(shù)的函數(shù) 1.什么是集合平均？什么是集合平均？ 2.時(shí)間平均？時(shí)間平均？ 3.平穩(wěn)隨機(jī)過程？平穩(wěn)隨機(jī)過程？ 4.非平穩(wěn)隨機(jī)過程？非平穩(wěn)隨機(jī)過程？ 5.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程？各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程？

18、6.工程上大多數(shù)情況下怎么工程上大多數(shù)情況下怎么 處理隨機(jī)信號(hào)？處理隨機(jī)信號(hào)？對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，可以用三方面進(jìn)行描述。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，可以用三方面進(jìn)行描述。 幅值域：幅值域： 22,xxxu,概率密度，聯(lián)合概率密度。概率密度，聯(lián)合概率密度。 時(shí)間域：自相關(guān)，互相關(guān)函數(shù)等。時(shí)間域：自相關(guān)，互相關(guān)函數(shù)等。二二. 幅值域描述幅值域描述1平均值：平均值： 01lim( )TxTux t dtT直流分量直流分量 頻率域：自功率譜，互功率譜，相干函數(shù)等。頻率域：自功率譜，互功率譜，相干函數(shù)等。2方差：方差： 2201lim ( )TxxTx tudtT波動(dòng)程度波動(dòng)程度3均方值：均方值： 2201lim( )TxTxt dtT信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率 4概率密度函數(shù)：概率密度函數(shù)：描