最新版初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總（精編版）

1、.二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總1. 定義：一般地 , 如果cbacbxaxy,(2是常數(shù) ,)0a, 那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質(zhì)拋物線2axy）（0a的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) , 對(duì)稱軸是y軸.函數(shù)2axy的圖像與a的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)0a時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對(duì)稱軸平行于 y軸的拋物線 . 4. 二 次 函 數(shù)cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 , 其 中abackabh4422，. 5. 二次函數(shù)由特殊到一般 , 可分為以下幾種形式：2axy；kaxy2；2hxay；k

2、hxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). a決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)0a時(shí), 開(kāi)口向上；當(dāng)0a時(shí), 開(kāi)口向下； a 相等, 拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 平行于y軸的直線記作hx. 特別地 ,y軸記作直線0 x. 7. 頂點(diǎn)決定拋物線的位置. 幾個(gè)不同的二次函數(shù), 如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同, 那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同, 只是頂點(diǎn)的位置不同 . 8. 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法公式法：abacabxacbxaxy442222, 頂點(diǎn)是），（abacab4422, 對(duì)稱軸是直線abx2. 配方法： 運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為khxay2的形式,

3、得到頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸是hx. 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形, 所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸, 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn) , 再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證, 才能做到萬(wàn)無(wú)一失9. 拋物線cbxaxy2中,cba,的作用.a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小, 這與2axy中的a完全一樣 . b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置 . 由于拋物線cbxaxy2的對(duì)稱軸是直線abx2, 故：0b時(shí), 對(duì)稱軸為 y 軸；0ab時(shí), 對(duì)稱軸在 y 軸左側(cè)；0ab時(shí), 對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè). c的大小決定拋物線cbxaxy2與 y 軸交點(diǎn)的位置 . 當(dāng)0 x時(shí)

4、,cy, 拋物線cbxaxy2與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) ：0c, 拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) ; 0c, 與 y 軸交于正半軸；0c, 與 y軸交于負(fù)半軸 . 以上三點(diǎn)中 , 當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí) , 仍成立 . 如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè) , 則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy當(dāng)0a時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)0a時(shí)開(kāi)口向下0 x kaxy20 x 2hxayhx khxay2hx cbxaxy2abx2 11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值, 通常選擇一般式 . 頂點(diǎn)式：khxay2. 已知圖像的頂

5、點(diǎn)或?qū)ΨQ軸, 通常選擇頂點(diǎn)式 . 交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1x 、2x, 通常選用交點(diǎn)式：21xxxxay. 12. 直線與拋物線的交點(diǎn) y軸與拋物線cbxaxy2得交點(diǎn)為 與y軸平行的直線hx與拋物線cbxaxy2有且只有一個(gè)交點(diǎn) . 拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1x 、2x, 是對(duì)應(yīng)一元二次方程02cbxax的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：.有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn) 0拋物線與x軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離 . 平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1

6、 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí) , 兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 ,設(shè)縱坐標(biāo)為 k , 則橫坐標(biāo)是kcbxax2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 一次函數(shù)0knkxy的圖像 l 與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像 g 的交點(diǎn) , 由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l 與g 有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時(shí)l 與g 只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)l 與g 沒(méi)有交點(diǎn) . 拋 物 線 與x軸 兩 交 點(diǎn) 之 間 的 距 離 ： 若 拋 物 線cbxaxy2與x軸 兩 交 點(diǎn) 為0021，xbxa, 由于1x 、2x是方程02cbxax的兩個(gè)根 , 故acxxabxx2121,1

7、3二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：一元二次方程cbxaxy2就是二次函數(shù)cbxaxy2當(dāng)函數(shù) y 的值為 0 時(shí)的情況二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí) , 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)0y時(shí)自變量x的值 , 即一元二次方程02cbxax的根當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) , 則一元二次方程cbxaxy2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí) , 則一元二次方程02cbxax有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí) , 則一元二次方程

8、02cbxax沒(méi)有實(shí)數(shù)根14. 二次函數(shù)的應(yīng)用：二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題, 這類問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大值；二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大值.15. 解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的基本思路：理解問(wèn)題； 分析問(wèn)題中的變量和常量；用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系； 利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；檢驗(yàn)結(jié)果的合理性, 對(duì)問(wèn)題加以拓展等二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地, 形如2yaxbxcabc， ，是常數(shù) ,0a的函數(shù) , 叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似, 二次項(xiàng)系數(shù)0a, 而b

9、c，可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)2yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式 ,x的最高次數(shù)是2abc， ，是常數(shù) ,a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：2yax的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大 ,拋物線的開(kāi)口越小。2. 2yaxc的性質(zhì)：上加下減。3. 2ya xh的性質(zhì)：左加右減。4. 2ya xhk的性質(zhì)：a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上00，y軸0 x時(shí),y隨x的增大而增大；0 x時(shí),y隨x的增大而減??；0 x時(shí),y有最小值00a向下00，y軸0 x時(shí),y隨x的增大而減??；0 x時(shí),y隨

10、x的增大而增大；0 x時(shí),y有最大值0a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上0c，y軸0 x時(shí),y隨x的增大而增大；0 x時(shí),y隨x的增大而減?。? x時(shí),y有最小值c0a向下0c，y軸0 x時(shí),y隨x的增大而減??；0 x時(shí),y隨x的增大而增大；0 x時(shí),y有最大值ca的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上0h，x=h xh時(shí),y隨x的增大而增大；xh時(shí),y隨x的增大而減?。粁h時(shí),y有最小值00a向下0h，x=h xh時(shí),y隨x的增大而減??；xh時(shí),y隨x的增大而增大；xh時(shí),y有最大值0.三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式2ya xhk,確定其頂

11、點(diǎn)坐標(biāo)hk，； 保持拋物線2yax的形狀不變 ,將其頂點(diǎn)平移到hk，處,具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移 ,負(fù)左移；k值正上移 ,負(fù)下移 概括成八個(gè)字 左加右減 ,上加下減 方法二：cbxaxy2沿y軸平移 :向上下平移m個(gè)單位 ,cbxaxy2變成mcbxaxy2或mcbxaxy2cbxaxy2沿軸平移： 向左右平移m個(gè)單位 ,cbxaxy2變成cmxbmxay)()(2或cmxbmxay)()(2四、二次函數(shù)2ya xhk與2yaxbxc的比較從解析式上看,2ya xhk與2yaxbxc是兩種不同的表達(dá)形式, 后者通過(guò)配方可以得到前者, 即22424bacbya

12、 xaa, 其中2424bacbhkaa，五、二次函數(shù)2yaxbxc圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc 化為頂點(diǎn)式2()ya xhk,確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo), 然后在對(duì)稱軸兩側(cè), 左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、 與y軸的交點(diǎn) 0c，、以及0c，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2hc，、與 x 軸的交點(diǎn)10 x ，,20 x ，若與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn), 則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn). 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向, 對(duì)稱軸 , 頂點(diǎn) , 與 x 軸的交點(diǎn) , 與y軸的交點(diǎn) . 六、二次函數(shù)2yaxbxc的性質(zhì)1.當(dāng)0a時(shí),拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為2bxa,

13、頂點(diǎn)坐標(biāo)為2424bacbaa，a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上hk，x=h xh時(shí),y隨x的增大而增大；xh時(shí),y隨x的增大而減??；xh時(shí),y有最小值k0a向下hk，x=h xh時(shí),y隨x的增大而減小；xh時(shí),y隨x的增大而增大；xh時(shí),y有最大值k.當(dāng)2bxa時(shí),y隨x的增大而減?。划?dāng)2bxa時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)2bxa時(shí),y有最小值244acba2. 當(dāng)0a時(shí),拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為2bxa,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2424bacbaa，當(dāng)2bxa時(shí) ,y隨x的增大而增大；當(dāng)2bxa時(shí),y隨x的增大而減??；當(dāng)2bxa時(shí),y有最大值244acba七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式

14、：2yaxbxca,b,c為常數(shù) ,0a；2. 頂點(diǎn)式：2()ya xhka,h,k為常數(shù) ,0a；3. 兩根式：12()()ya xxxx0a,1x,2x是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn) ,即240bac時(shí) ,拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 . 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)2yaxbxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然0a 當(dāng)0a時(shí),拋物線開(kāi)口向上,a的值越大 ,開(kāi)口越小 ,反之a(chǎn)的值越小 ,開(kāi)口越大； 當(dāng)0a時(shí),拋物

15、線開(kāi)口向下,a的值越小 ,開(kāi)口越小 ,反之a(chǎn)的值越大 ,開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái) ,a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向,a的正負(fù)決定開(kāi)口方向,a的大小決定開(kāi)口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對(duì)稱軸 在0a的前提下 , 當(dāng)0b時(shí),02ba,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)0b時(shí),02ba,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)0b時(shí),02ba,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè) 在0a的前提下 ,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng)0b時(shí),02ba,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；當(dāng)0b時(shí),02ba,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)0b時(shí),02ba,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)總結(jié)起來(lái) ,在a確定的前提下,b決定

16、了拋物線對(duì)稱軸的位置ab的符號(hào)的判定： 對(duì)稱軸abx2在y軸左邊則0ab,在y軸的右側(cè)則0ab,概括的說(shuō)就是左同右異 總結(jié)：.3. 常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)0c時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方 ,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)0c時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)0c時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方 ,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái) ,c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置總之 ,只要abc， ，都確定 ,那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn) ,選擇適當(dāng)

17、的形式,才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō),有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大小值,一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于x軸對(duì)稱2yaxbxc關(guān)于x軸對(duì)稱后 ,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk關(guān)于x軸對(duì)稱后 ,得到的解析式是2ya xhk；2. 關(guān)于y軸對(duì)稱2yaxbxc關(guān)于y軸對(duì)稱后 ,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk關(guān)于y軸對(duì)稱后 ,得到的解析

18、式是2ya xhk；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是2ya xhk；4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1802yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是2ya xhk5. 關(guān)于點(diǎn)mn，對(duì)稱2ya xhk關(guān)于點(diǎn)mn，對(duì)稱后 ,得到的解析式是222ya xhmnk根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原

19、拋物線或表達(dá)式已知的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況：一元二次方程20axbxc是二次函數(shù)2yaxbxc 當(dāng)函數(shù)值0y時(shí)的特殊情況. 圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)240bac時(shí),圖象與 x 軸交于兩點(diǎn)1200a xb x，12()xx,其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的兩根這兩點(diǎn)間的距離2214bacabxxa. 當(dāng)0時(shí),圖象與 x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí),圖象與 x軸沒(méi)有交點(diǎn) . 1當(dāng)0a時(shí),圖象落在x軸的上方 ,無(wú)論x為任何

20、實(shí)數(shù) ,都有0y；2當(dāng)0a時(shí),圖象落在x軸的下方 ,無(wú)論x為任何實(shí)數(shù) ,都有0y2. 拋物線2yaxbxc 的圖象與y軸一定相交 ,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 , ) c ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) ,需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2yaxbxc中a,b,c的符號(hào) ,或由二次函數(shù)中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置 ,要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)

21、式,二次三項(xiàng)式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函數(shù)； 下面以0a時(shí)為例 ,揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：圖像參考：十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用剎車距離何時(shí)獲得最大利潤(rùn)最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì), 有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中, 如：0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根. .已知以x為自變量的二次函數(shù)2)2(22mmxmy的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn), 則

22、m的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像, 習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像 , 試題類型為選擇題, 如：如圖 , 如果函數(shù)bkxy的圖像在第一、二、三象限內(nèi), 那么函數(shù)12bxkxy的圖像大致是 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x a b c d 3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式, 有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高, 習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題 , 如：已知一條拋物線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn) , 對(duì)稱軸為35x, 求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值, 有關(guān)試題為解答題, 如：已知拋物線2y

23、axbxca0 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3, 與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是錯(cuò)誤 !1 確定拋物線的解析式；2 用配方法確定拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力, 常見(jiàn)的作為專項(xiàng)壓軸題。 例題經(jīng)典 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)例 1 1 二次函數(shù)2yaxbxc的圖像如圖1, 則點(diǎn)),(acbm在 a第一象限 b第二象限 c 第三象限 d第四象限2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c a0 的圖象如圖2 所示 ,? 則下列結(jié)論：a、b 同號(hào)；當(dāng)x=1 和 x=3 時(shí),函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng) y=-2 時(shí),x 的值只能取0. 其中正確的個(gè)數(shù)是a1 個(gè) b2 個(gè)

24、c3 個(gè) d4 個(gè) 點(diǎn)評(píng) 弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系 , 是解決問(wèn)題的關(guān)鍵例 2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) 、 , 且 1x12, 與 y 軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)的下方下列結(jié)論： abo ；4a+co, 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 a 1個(gè) b. 2個(gè) c. 3個(gè) d 4 個(gè)答案： d 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3.已知：關(guān)于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一個(gè)根為x=-2, 且二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 a b. c d 答案： c 例 4、20xxxx市如圖單位： m,等腰三角形abc以

25、 2 米/ 秒的速度沿直線l 向正方形移動(dòng), 直到 ab與 cd重合設(shè)x 秒時(shí) , 三角形與正方形重疊部分的面積為ym21 寫出 y 與 x 的關(guān)系式；2 當(dāng) x=2,3.5時(shí),y 分別是多少？3 當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí), 三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸 . .例 5、已知拋物線y=12x2+x-521 用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸2 若該拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b,求線段 ab的長(zhǎng) 點(diǎn)評(píng) 本題 1 是對(duì)二次函數(shù)的基本方法 的考查 , 第 2 問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例 6.已知：二次函數(shù)y=ax2-x-3a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)p, 交 x 軸于)0

26、 ,(1xa,)0 ,(2xb兩點(diǎn))(21xx, 交y 軸負(fù)半軸于c 點(diǎn), 且滿足 3ao=ob 求二次函數(shù)的解析式；在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)m,使銳角 mco aco? 若存在 , 請(qǐng)你求出m點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在, 請(qǐng)你說(shuō)明理由解：如圖拋物線交x 軸于點(diǎn) a,b, 則 x1x2=30, 又 x1o,x1o,30a=ob,x2=-3x1x1x2=-3x12=-3 x12=1. x10, x1=-1 x2=3點(diǎn) a,p代入解析式得解得a=2 b=3 二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6 存在點(diǎn) m使 mc0 aco 解：點(diǎn) a關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)a, 直線 a,c 解析式為y=6

27、x-6 直線 ac 與拋物線交點(diǎn)為,符合題意的x 的范圍為 -1x0 或 ox5當(dāng)點(diǎn) m的橫坐標(biāo)滿足-1xo 或 ox aco 例 7、 已知函數(shù)cbxxy221的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)ac, 2,求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3。 題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。1 根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息, 你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能, 請(qǐng)寫出求解過(guò)程, 并畫出二次函數(shù)圖象；若不能, 請(qǐng)說(shuō)明理由。2 請(qǐng)你根據(jù)已有的信息, 在原題中的矩形框中, 填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件, 把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第 1 小題 , 要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式, 就要把原來(lái)的結(jié)論

28、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3 當(dāng)作已知來(lái)用 , 再結(jié)合條件 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)ac, 2, 就可以列出兩個(gè)方程了, 而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù) , 所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第2 小題 , 只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第 1 小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件, 可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo), 可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。 解答 1 根據(jù)cbxxy221的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a c, 2, 圖象的對(duì)稱軸是x=3, 得,3212,2212bcbcc解得. 2,3cb.所以所求二次函數(shù)解析式為.23212xxy圖象如圖所示。2 在解析式中令

29、y=0, 得023212xx, 解得.53,5321xx所以可以填 拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是3+)0,5 或 拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是).0 ,53(令 x=3 代入解析式 , 得,25y所以拋物線23212xxy的頂點(diǎn)坐標(biāo)為),25, 3(所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為)25,3(等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過(guò)不同的途徑圖象、解析式等了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為 變化過(guò)程中變量之間關(guān)系 的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題例 1 已知邊長(zhǎng)為4 的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形abcde 如圖 , 其中 af=2,bf

30、=1試在 ab上求一點(diǎn)p,使矩形 pndm 有最大面積 評(píng)析 本題是一道代數(shù)幾何綜合題, 把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起, 能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時(shí), 也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例 2 某產(chǎn)品每件成本10 元, 試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x元 ?與產(chǎn)品的日銷售量y件之間的關(guān)系如下表：x元15 20 30 y件25 20 10 若日銷售量y 是銷售價(jià)x 的一次函數(shù)1 求出日銷售量y件與銷售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；2 要使每日的銷售利潤(rùn)最大, 每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？ 解析 1 設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b 則1525,220kbkb解

31、得k=-1,b=40,?即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40 2 設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x 元, 所獲銷售利潤(rùn)為w元 w=x-10 40-x=-x2+50 x-400=- x-252+225產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25 元, 此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225 元 點(diǎn)評(píng) 解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似, 也有區(qū)別 , 主要有兩點(diǎn)： 1 設(shè)未知數(shù)在 當(dāng)某某為何值時(shí) , 什么最大或最小、最省 的設(shè)問(wèn)中 ,? 某某 要設(shè)為自變量, 什么 要設(shè)為函數(shù)； 2?問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式 , 而不是解方程例 3.你知道嗎 ?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí), 繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示 , 正在甩繩

32、的甲、 乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m 、 25 m處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m, 則學(xué)生丁的身高為 a15 m b 1625 m c166 m d167 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案： b 知識(shí)點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系.1,平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸,就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中 ,水平的數(shù)軸叫做x 軸或橫軸 ,取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y 軸或縱軸 ,取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn) o即公共的原點(diǎn)叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面,叫做坐標(biāo)平面。為了便于

33、描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置,把坐標(biāo)平面被x 軸和 y 軸分割而成的四個(gè)部分,分別叫做第一象限、 第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 軸和 y 軸上的點(diǎn) ,不屬于任何象限。2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念點(diǎn)的坐標(biāo)用 a,b 表示 ,其順序是橫坐標(biāo)在前,縱坐標(biāo)在后 ,中間有 , 分開(kāi) ,橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì),當(dāng)ba時(shí),a,b和 b,a 是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。知識(shí)點(diǎn)二、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) p 在第一象限0,0 yx點(diǎn) p 在第二象限0,0 yx點(diǎn) p 在第三象限0,0 yx點(diǎn) p 在第四象限0,0 yx2、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征點(diǎn) p 在 x 軸上0y

34、,x 為任意實(shí)數(shù)點(diǎn) p 在 y 軸上0 x,y 為任意實(shí)數(shù)點(diǎn) p 既在 x 軸上 ,又在 y 軸上x,y 同時(shí)為零 ,即點(diǎn) p 坐標(biāo)為 0,0 3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) p 在第一、三象限夾角平分線上x 與 y 相等點(diǎn) p 在第二、四象限夾角平分線上x 與 y 互為相反數(shù)4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x 軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y 軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。5、關(guān)于 x 軸、 y 軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) p 與點(diǎn) p 關(guān)于 x 軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等 ,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn) p 與點(diǎn) p 關(guān)于 y 軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等 ,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)

35、p 與點(diǎn) p 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn) p 到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：1 點(diǎn) p 到 x 軸的距離等于y2 點(diǎn) p 到 y 軸的距離等于x.3 點(diǎn) p 到原點(diǎn)的距離等于22yx知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過(guò)程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量,數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地 ,在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x 與 y,如果對(duì)于 x 的每一個(gè)值 ,y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)x 是自變量 ,y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值范圍。3、

36、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)1 解析法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示,這種表示法叫做解析法。2 列表法把自變量x 的一系列值和函數(shù)y 的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。3 圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟1 列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值2 描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)3 連線：按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。知識(shí)點(diǎn)四 , 正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地 ,如果bkxy k,b 是常數(shù) ,k0,那么 y

37、 叫做 x 的一次函數(shù)。特別地 ,當(dāng)一次函數(shù)bkxy中的 b 為 0 時(shí),kxyk 為常數(shù) ,k0。這時(shí) ,y 叫做 x 的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)bkxy的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,b 的直線；正比例函數(shù)kxy的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,0 的直線。k 的符號(hào)b 的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k0 b0 y 0 x 圖像經(jīng)過(guò)一、 二、三象限 ,y 隨 x 的增大而增大。b0 y 圖像經(jīng)過(guò)一、 三、四象限 ,y 隨 x 的增.0 x 大而增大。k0 y 0 x 圖像經(jīng)過(guò)一、 二、四象限 ,y 隨 x 的增大而減小b0 時(shí),圖像經(jīng)過(guò)第一、

38、三象限,y 隨 x 的增大而增大；2 當(dāng) k0 時(shí),y 隨 x 的增大而增大2 當(dāng) k0 k0 時(shí),函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減小。x 的取值范圍是x0, y 的取值范圍是y0；當(dāng) k0 a0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)1 拋物線開(kāi)口向上,并向上無(wú)限延伸； 2對(duì) 稱 軸 是x=ab2, 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 是ab2,abac442；3 在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng) xab2時(shí),y 隨x 的增大而增大,簡(jiǎn)記左減右增； 4拋 物 線 有 最 低 點(diǎn) , 當(dāng)x=ab2時(shí) ,y有 最 小值,abacy442最小值1 拋物線開(kāi)口向下,并向下無(wú)限延伸； 2對(duì) 稱 軸 是

39、x=ab2, 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 是ab2,abac442；3 在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng) xab2時(shí),y 隨 x 的增大而減小,簡(jiǎn)記左增右減； 4 拋物線有最高點(diǎn),當(dāng) x=ab2時(shí) ,y 有最大值,abacy442最大值2、二次函數(shù))0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，中,cb、a的含義：a表示開(kāi)口方向：a0 時(shí),拋物線開(kāi)口向上a0 時(shí),圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0 時(shí),圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0 時(shí),圖像與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)。1、兩點(diǎn)間距離公式當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí),可用此方法拓展思路,以尋求解題方法y 如圖：點(diǎn)a 坐標(biāo)為 x1,y1點(diǎn) b 坐標(biāo)為 x2,y2則 ab 間的距離 ,即線段 ab

40、的長(zhǎng)度為221221yyxxa 0 x b 2,二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式2ya xhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)hk，； 保持拋物線2yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到hk，處,具體平移方法如下：平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移 ,負(fù)左移；k值正上移 ,負(fù)下移 函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律中考試題中,只占 3 分,但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn),對(duì)提高答題速度有很大幫助,可以大大節(jié)省做題的時(shí)間特別記憶- 同左上加異右下減 說(shuō)明函數(shù)中 ab 值同號(hào) , 圖像頂點(diǎn)在y 軸左側(cè)同左,a b值異號(hào) , 圖像頂點(diǎn)必在y軸右側(cè)異右向左向上移動(dòng)為加左上加, 向右向下移動(dòng)為減右下減3、直線斜率：1212tanxx

41、yykb為直線在 y軸上的截距 4、直線方程：4、兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程, 簡(jiǎn)稱兩式:)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多種變形牢記點(diǎn)斜)(11xxkxyy斜截直線的斜截式方程, 簡(jiǎn)稱斜截式 : ykxb .截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程,簡(jiǎn)稱截距式：1byax牢記口訣 -兩點(diǎn)斜截距- 兩點(diǎn) 點(diǎn)斜 斜截 截距5、設(shè)兩條直線分別為,1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll,則有1212/llkk且12bb。若12121llkk6、點(diǎn) px0,y0到直線 y=kx+b 的距離 : 1)1(2002200kbykxkbyk

42、xd7、拋物線cbxaxy2中, a b c,的作用1a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小, 這與2axy中的a完全一樣 . 2b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對(duì)稱軸是直線abx2, 故：0b時(shí), 對(duì)稱軸為y軸；0ab即a、b同號(hào)時(shí) , 對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； 0ab即a、b異號(hào)時(shí) , 對(duì)稱軸在y軸右側(cè) . 口訣 - 同左異右3c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)0 x時(shí),cy, 拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)0,c：0c, 拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中 , 當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí), 仍成立 . 如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè) , 則0ab. 特殊點(diǎn)坐標(biāo)特征: 坐標(biāo)平面點(diǎn) , 橫在前來(lái)縱在后；,和, 四個(gè)象限分前后；x 軸上 y 為 0,x 為 0 在 y 軸。對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo) : 對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)要記牢, 相反數(shù)位置莫混淆,x 軸對(duì)稱y 相反 ,y 軸對(duì)稱 ,x 前面添負(fù)號(hào)；原點(diǎn)對(duì)稱最好記 , 橫縱坐標(biāo)變符號(hào)。自變量的取值范圍：分式分母不為零, 偶次根下負(fù)不行；零次冪底數(shù)不為零, 整式、奇次根全