《復(fù)變函數(shù)論》試卷一

1、復(fù)變函數(shù)論試卷一一、 填空（30分）1. 將復(fù)數(shù)化為三角表示式，則 把它化為指數(shù)表示式，則 2. ，的輻角的主值為 3. 0是的 階零點.4.是的階零點，則是的 階極點.5.已知為解析函數(shù)，則6.方程的根為 ， ， 二、 簡要回答下列各題（15分）1. 用復(fù)數(shù)去乘復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？2. 函數(shù)在解析有哪幾個等價條件？3. 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析，且不為零，是內(nèi)的任一簡單閉曲線，問積分是否等于零，為什么？三、 計算下列積分（16分）1. ，是從點到點的有向直線段2. 四、（12分）求函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式.五、（12分）證明方程在單位圓內(nèi)及其上無解.六、（15分） 求映射，把帶形區(qū)

2、域共形映射成單位圓，且把映射成，把映射成.復(fù)變函數(shù)試卷二一、 填空題（20分）1. 2是 的一個平方根2. 設(shè)，則， 3. 若，則滿足條件 4. ， 5. 設(shè)，則 6. 設(shè)變換為復(fù)常數(shù)，則稱此變換為 變換，它是由 等三個變換復(fù)合而成.7. 冪級數(shù)的收斂半徑 8.函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式為 ，其收斂半徑為 9.變換將區(qū)域變換成區(qū)域 二、 判斷下列命題之真?zhèn)危?0分）1.在全平面上任意階可微. （ ）2. 若函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)有解析，且在其中有無窮多個零點，則在內(nèi)恒為零. （ ）3. 設(shè)擴(kuò)充復(fù)平面上的點時函數(shù)的可去奇點，則.4. 若是區(qū)域內(nèi)的保形變換，則在內(nèi)單葉解析且保角.5. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則

3、，其中是內(nèi)的任意一條圍線.6. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)，7. 設(shè)函數(shù)在點解析，則總存在，在內(nèi)能展成冪級數(shù).8. 非常數(shù)的整函數(shù)必為無界函數(shù).9. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)連續(xù).10. 若函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點解析.三、計算下列各題（24分）1. 求極限2. 求 ，其中是下半圓周，起點，終點3. 求的立方根4. 求 5. 求在及的殘數(shù)6. 求四、（16分）1. 敘述儒歇定理2. 證明方程在單位圓內(nèi)有根五、求下列變換（20分）1. 求將對應(yīng)變成的線性變換2. 求出將圓變?yōu)榘肫矫娴谋Ｐ巫儞Q，使得圓心變到4，而圓周上的點變到復(fù)變函數(shù)試卷三一、 填空題（45分）1. ，復(fù)數(shù)的模為 2. 設(shè)，則 3. 設(shè)，則

4、 4. 是周期函數(shù)，其基本周期為 5. 如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)滿足條件： ，則稱為區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)6. 設(shè)是連接與的直線段，則 7. 設(shè)圓周，則 8. 級數(shù)的收斂半徑為 ，級數(shù)的收斂半徑為 9. 為函數(shù)的 級零點10. 敘述最大模原理： 11. 設(shè)，則為的 級極點，為的 級極點12. 設(shè)，則在點處的旋轉(zhuǎn)角 二、 判斷下列命題之真?zhèn)危?5分）1. 函數(shù)在平面上處處不解析2. 是整函數(shù)3. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，是內(nèi)任一條圍線，則4. 設(shè)函數(shù)在點解析，則總存在，在內(nèi)能展成冪級數(shù)5. 若函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點解析三、 求解下列各題（20分）1. 求積分 2. 求積分3. 求積分4. 試將函數(shù)按的冪展開，并指出

5、其收斂范圍5. 求將對應(yīng)變成的線性變換四、證明題（20分）1. 敘述代數(shù)學(xué)基本定理試用復(fù)分析方法證明代數(shù)學(xué)基本定理2. 證明方程在單位圓內(nèi)有根試卷4一、 填空題（50分）1. 已知，則 ， ， 2. 3. 設(shè)，則 4. 的零點為 ，的零點為 5. ， 6. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件是 7. 8 冪級數(shù) 的收斂半徑為 9 是函數(shù)的 級零點10. 敘述最大模原理： 11.函數(shù)在平面內(nèi)有 個奇點，它們是 12. 為函數(shù)的 級極點13. 方程在單位圓內(nèi)有 個根14. 設(shè)，則在處的旋轉(zhuǎn)角為 伸縮率為 15. 線性變換的逆變換為 16. 變換將平面上區(qū)域變換為平面上的區(qū)域： 二、判斷題（15分）1. 設(shè)

6、在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)解析2. 互為共軛的兩復(fù)數(shù)具有相同的模3. 復(fù)數(shù)的充要條件是4. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線，則5. 和都是平面上的有界函數(shù)三、計算下列各題（15分）1. 設(shè)，求在內(nèi)的泰勒展式2. 求積分3. 求將對應(yīng)地變成的線性變換四、證明題（20分）1. 證明函數(shù)在平面上處處不解析2. 設(shè)為的級零點，證明：必為函數(shù)的一級極點，并且復(fù)變函數(shù)試卷五一、 填空題（18分）1. 的所有值為： 2. 3. 4. 設(shè)，則 5 令，則 6. 線性變換在擴(kuò)充平面上有下列特性，請你完整地予以敘述 保形性： 保交比性： 保圓周性： 保對稱性： 7. 將平面上的直線變換為平面上的曲線 二、判斷題（10分

7、）下列斷語如果正確則打“ ”，否則打“×”1. 如果函數(shù)在點處解析，則存在，使在內(nèi)可展成泰勒級數(shù)，且展式唯一 （ ）2. 設(shè)是平面上的一點，若為函數(shù)的可去奇點，則（ ）3. 如果函數(shù)在某有界區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)有一列零點，則在內(nèi)恒為零 （ ）4. 和都是平面上的有界整函數(shù) （ ）5. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則.其中是內(nèi)的任意一條圍線 （ ）三、解下列各題（24分）1. 求的值，其中是上半單位圓周，起點為，終點為2. 求函數(shù)在的留數(shù)3. 計算積分4. 將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)，并求其收斂半徑四、證明題（24分）1. 試證：在原點解析，且在處取下列值的函數(shù)是不存在的： 2. 試證：的根全在內(nèi)五

8、、（12分） 求將對應(yīng)地變成的線性變換六、（12分） 求出將圓變成半平面的保形變換，使得圓心變到4，而圓周上的點變到變到復(fù)變函數(shù)試卷六一、填空題（30分） 1已知z=1i，則arg z= （<arg z），| z |= , = 2變換W=Z3將Z平面上區(qū)域D：0< arg z <變換為W平面上的區(qū)域G： 3Ln（1）= , ii= , Arctg(2i) = 4函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是下列條件之一（1） （2） （3） （4） 5冪級數(shù)zz4z9的收斂半徑為 6在原點解析，而在z= （n=1，2，）處取值為 f()=的函數(shù)為 7函數(shù)f（z）=z2（）的零點是 ，

9、它是 級的 二、判斷題（10分）1 設(shè)f（z）在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則f（z）在D內(nèi)解析 （ ）2 設(shè)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，C是D內(nèi)任一閉曲線，則f（z）dz=0 （ ）3 Sinz和cosz都是z平面上的有界函數(shù) （ ）4 f（z）=uiv在區(qū)域D內(nèi)解析，則u是v的共軛調(diào)和函數(shù) （ ）5 f（z）=| z |2在z平面上處處不解析 （ ）三、求下列積分（15分）1 I= ，其中c是連結(jié)o到1i的直線段2 I= 3 I= 四、（12分）已知u=x3+6x2y-3xy2-2y3,求解析函數(shù)f(z)=u+iv使合條件f（0）0 五、（12分）將函數(shù)f(z)=(a,b為復(fù)數(shù)，ab0)展開為z的冪級數(shù)，并

10、指出展式成立的范圍 ， 六、（12分）敘述并證明代數(shù)學(xué)基本定理七、（9分）設(shè)f（z）=u(x·y)+iv(x·y)在區(qū)域內(nèi)解析，試證在D內(nèi)，復(fù)變函數(shù)試卷七一填空題（20分） 1已知z1I，則argz (<arg z)，| z |= ，= 2變換W=Z3將z平面上的區(qū)域D變換為W平面上的區(qū)域G： ，其中D： 0< arg z < 3 sin2zcos2z1在直線zx，(y=0)上成立，則由 定理，sin2zcos2z1 在全平面上也成立 4設(shè)f(z)=2z4z311z21，f(z)在| z |<2內(nèi)有 個零點，f(z)在 2| z |<3 內(nèi)有

11、個零點，f(z)在3| z |<內(nèi)有 零點，f(z)在z1處的旋轉(zhuǎn)角為 ，伸縮率為 。 5冪級數(shù)zz4z9的收斂半徑為 6設(shè)zx y，w，則 ，Imz 7設(shè)f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的羅朗展式為f(z)，則 8敘述解析函數(shù)的最大模原理 9在原點解析，而在z（n=1，2，）處取值為 f()=的函數(shù)為 二判斷題（20分）1設(shè)a是z平面上一點，a為函數(shù)f(z)的可去奇點，則 （ ）2如果函數(shù)f(z)在某有界區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)有一列零點，則f(z)在D內(nèi)恒為零 （ ）3如果f(z)=u(x·y)+iv(x·y)中的u(x·y)與v(x·y)在區(qū)域D內(nèi)滿

12、足CR條件，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析 （ ）4設(shè)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，C是D內(nèi)任一曲線，則f（z）dz=0 （ ）5設(shè)函數(shù) f(z)在點a（）處解析，則總存在R>0，在|za|<R內(nèi) f(z)能展冪級數(shù) （ ）6非常數(shù)的整函數(shù)必為無界函數(shù) （ ）7設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)單線解析，則f(z)在D內(nèi)必保形 （ ）8sinz和cosz都是z平面上的有界整函數(shù) （ ）9若函數(shù) f(z)在a點可導(dǎo)，則f(z)在a點解析 （ ）10設(shè)f(z)沿圍線C的積分為零，則C所包圍的區(qū)域D為單連通區(qū)域 （ ）三計算下列各題（20分）1. 求極限2. 求積分I，其中C為0到1i的直線段3. 求積分I，其中C

13、：| z | 24. 求積分I4 （10分）敘述代數(shù)學(xué)基本定理并利用復(fù)變函數(shù)論的方法證明5 （10分）試證明在線性變換下，四點的交比不變6 （20分）1求將上半z平面保形變換成上半w平面的線性變換wL(z) ，使合條件L(i)1i，L(0)02求將對應(yīng)變成的線性變換復(fù)變函數(shù)試卷八一填空題（40分）1設(shè)z22i，則 | z |= arg z= 2 3設(shè)f(z)ex（cosyisiny），則f (z)= 4sinz的零點為 ，cosz的零點為 5. 敘述柯西積分定理 6. 冪級數(shù)的收斂半徑R ，冪級數(shù)1z2z4z9的收斂半徑R 7. z0為函數(shù)f(z)zsinz的 級零點，z是函數(shù)f(z)sinz

14、1的 級零點8. 方程z85z52z10在單位圓內(nèi)有 個根，方程z45z10在單位圓內(nèi)有 個根9. 設(shè)f(z)z22z，則f(z)在z12i處的旋轉(zhuǎn)角為 ，伸縮率為 10線性變換w，adbc0，可分解為下述兩種簡單類型變換的復(fù)合（） （） 二判斷題（20分）1互為共軛的復(fù)數(shù)函數(shù)具有相同的模 （ ） 2 復(fù)數(shù)z0的充要條件是| z |=0 （ ）3復(fù)數(shù)函數(shù) f(z)在z平面上處處不可微 （ ）4復(fù)指數(shù)函數(shù)ez是以2為基本周期的周期函數(shù)，在復(fù)數(shù)域內(nèi)有|sinz| 1 （ ）5設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一圍線，則0 （ ） 6有界整函數(shù)f(z)必為常數(shù) （ ）7如果復(fù)函數(shù)級數(shù)收斂，則必有0

15、 （ ）8設(shè)a為函數(shù)f(z)的有限可去奇點，則0 （ ）9如果f(z)在z0點可導(dǎo)，則f(z)在z0點解析 （ ）三計算題（20分）1 計算積分I ，其中C表示以a為心，為半徑的圓周2 計算積分I3 試將函數(shù)f(z)按z1的冪展開，并指出其收斂范圍4 求將2，i，2對應(yīng)的變成1，i，1的線性變換四證明題（20分）1設(shè)z1z2是兩個復(fù)數(shù)，試證明，|z1+z2|2=| z1|2+| z2|2+2Re()2設(shè)f(z)（z1）（z4），C：| z |=3，試驗證輻角定理復(fù)變函數(shù)試卷九一、填空題：（30分）（共15個空格，每格2分）1. 設(shè)，則_ ，_ _ ，_ 2. 的零點為 _ ,的零點為_ 3.

16、_ , _ . _ , _ 5. 冪級數(shù)的收斂半徑為 _ 6. 函數(shù)在的冪級數(shù)展開式為 _ ,其收斂半徑為_ 7. 變換將區(qū)域 變成區(qū)域_ 8.變換在處的旋轉(zhuǎn)角為_ ,伸縮率為_二、判斷下列命題之真?zhèn)危?15分) （共5小題，每小題3分）1函數(shù)在平面上處處不解析( )2設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，是內(nèi)任一圍線,則 ( )3若函數(shù) 在點可導(dǎo)，則在點解析 ( )4設(shè)是平面上的一點，若為的可去奇點,則( ) 5和都是平面上的有界整函數(shù)( )三、解下列各題：(20分)求函數(shù) 在，的留數(shù) 計算積分 求的值,其中是上半單位圓周，起點為，終點為z=1 將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)，并求其收斂半徑四、證明題：(20分)1試證

17、：在原點解析，且在處取下列值的函數(shù)是不存在的：2 試證：的根全在內(nèi)5、 (15分)求一個把角形變換成單位圓的保形變換復(fù)變函數(shù)試卷十一、填空題（30分）（共15個空格，每格2分）1. 2是 的一個平方根2. 設(shè)，則， _,=_.3. 設(shè)變換為復(fù)常數(shù)，則稱此變換為 變換，它是由 _等三個變換復(fù)合而成.4. 冪級數(shù)的收斂半徑 5.函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式為 ，其收斂半徑為 6.變換將區(qū)域變換成區(qū)域 7.點關(guān)于圓周=1的對稱點是_.關(guān)于圓周的對稱點是_.8.設(shè)，則在處的旋轉(zhuǎn)角為 伸縮率為 .二、斷下列命題之真?zhèn)危?0分）（共10小題，每題2分）1.在全平面上任意階可微. ( ) 2. 若函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)

18、解析且在其中有無窮多個零點，則在內(nèi)恒為零.( )3. 設(shè)擴(kuò)充復(fù)平面上的點是函數(shù)的可去奇點，則. ( )4. 若是區(qū)域內(nèi)的保形變換，則在內(nèi)單葉解析且保角. ( )5.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則，其中是內(nèi)的任意一條圍線. ( )6. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)，. ( )7. 設(shè)函數(shù)在點解析，則總存在，在內(nèi)能展成冪級數(shù). ( )8. 非常數(shù)的整函數(shù)必為無界函數(shù). ( )9. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)連續(xù). ( )10. 若函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點解析. ( )三、計算下列各題（24分）（共4小題，每題6分）7. 求極限.8. 求 ，其中c是下半圓周，起點，終點.9. 求的立方根.10. 求 . 四、（16分）（

19、共2小題，每題8分）3. 敘述儒歇定理4. 證明方程在單位圓內(nèi)有根五、求下列變換:（10分）將對應(yīng)變成的線性變換.復(fù)變函數(shù)試卷十一一、填空題（32分）（共16個空格，每格2分）1. 已知，則 ， ， .2. 的零點為 ，的零點為 .3. ， .4 冪級數(shù) 的收斂半徑為 .5 是函數(shù)的 級零點.6.函數(shù)在平面內(nèi)有 個奇點，它們是 .7. 為函數(shù)的 級極點.8. 設(shè)，則在處的旋轉(zhuǎn)角為 伸縮率為 .9. 線性變換的逆變換為 .10. 變換將平面上區(qū)域變換為平面上的區(qū)域： .二、判斷題（12分）（共4小題，每題3分）6. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)解析. ( )7. 復(fù)數(shù)的充要條件是. ( )8. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線，則. ( )9. 和都是平面上的有界函數(shù) . ( )三、計算下列各題（32分）（共4小題，每題8分）4. 設(shè)，求在內(nèi)的泰勒展式.5. 求積分.3求 4 求將對應(yīng)地變成的線性變換.四、證明題（24分）（共2小題，每題12分）3. 證明函數(shù)在平面上處處不解析.4. 設(shè)為的級零點，證明：必為函數(shù)的一級極點，并且.復(fù)變函數(shù)試卷十二一、 填空題（20分）（共10個空格，每格2分） 1已知，則argz (<arg z)，| z |= ，= . 2設(shè)f(z)=2z4z311z21，f(z)在| z |<2