萬有引力計算公式證明

1、球體間萬有引力計算的探究南京市第12中學(xué)楊偉高中物理中關(guān)于萬有引力定律是這樣敘述的“自然界中任何兩個物體都相互吸引，弓|力的大小與物體 的質(zhì)量m!和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比?！边@種表達(dá)是很不嚴(yán)密的。 因為距離應(yīng) 該是兩個點之間的，當(dāng)物體可視為質(zhì)點時沒有問題，但當(dāng)物體不能看成質(zhì)點時就為難了。對此人教版普通 高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理必修2 P70上有這么一段說明：“ “兩個物體間的距離”到底是指物體哪兩部分間的距離？對于可以看做質(zhì)點的物體，當(dāng)然就是這兩個點間的距離。如果是地球，月球等球體，牛頓應(yīng) 用微積分的方法得知，這個距離應(yīng)該是球心間的距離?！保ㄆ渲屑酉聞澗€的三個“間”

2、是本人加上去的）牛頓是怎樣用微積分的方法得知的，我們都不得而知，所有的教參上也都沒有提到。我想做一件被 大家忽略的事或許會有點意思。于是就有了下文，我用兩種方法來證明“對于質(zhì)量分布均勻的球體，在計 算萬有引力時，可以把其看成質(zhì)量都集中在球心的質(zhì)點?！狈椒ㄒ唬何⒎e分方法。這種方法比較復(fù)雜，為了簡化，我用命題1和命題2做鋪墊。命題1。質(zhì)量分布均勻的圓環(huán)對在其軸線上的質(zhì)點的萬有引力。設(shè)環(huán)質(zhì)量為mi，質(zhì)點質(zhì)量為m2，環(huán)半徑為r ,環(huán)中心到質(zhì)點的距離為 x ,把環(huán)分成許多小段，任取一小段可視為質(zhì)點，其質(zhì)量為dm ,它對質(zhì) 點的引力為dF ,再把其分解為沿軸和垂直于軸 的兩個分量dF1和dF2，由于質(zhì)量分

3、布均勻，由對稱性可知環(huán)上所有dm對質(zhì)點引力的dF2分量的矢量和為零，所以環(huán)對質(zhì)點的引力為1#F= dF 1訕1G m 2dm 1.而 dF1=dFCos?=2cos :r1X2G m2dm 1r2 x2/r2 - x2所以d F1G m1 m2x(r*2)32G m 2xdm 1r2 - x2 %命題2:質(zhì)量分布均勻的圓面對在其軸線上的一個質(zhì)點的萬有引力設(shè)圓面質(zhì)量為 M1，質(zhì)點質(zhì)量為m2，圓面半徑為R， 圓心到質(zhì)點的距離為 x ，在圓面內(nèi)任取一半徑為r寬為dr的同心圓環(huán)，則由命題1得此圓環(huán)對質(zhì)點m2的 引力為dFM12 2兀 rd r m2x 江R丿3 f2 2 2r x2G M 1m2 xr

4、d r#0RdF2GM 1m2x RR23 dr2GM 1m2x2RGM 1m2x-2 x2rGM 1m222R 2正題：質(zhì)量分布均勻的球體對其外的一個質(zhì)點的萬有引力設(shè)球的質(zhì)量為M,質(zhì)點的質(zhì)量為m,球心到質(zhì)點的距離 為L,球半徑為r為了計算球?qū)|(zhì)點的引力，可以在球中截取 一半徑為R厚度為dx并且其軸線與球心和質(zhì)點的連線重合的圓片 由命題2可得該圓片對質(zhì)點的引力為 ：,設(shè)此圓片的中心到質(zhì)點m的距離為x.則dF2GM43-nr<3: R2dxR21x1+ R2 V3G M m-2r3dx-R2，亠 2-R2 r - - L x-3GM m-2r31 -(r21-L2 2Lx ；dx-3G M

5、 m2r3dx2Lx 21廠dx 主-r2 L22 Lx 2L rdx二 2r為了計算L rl."x222r -L 2Lx 2x2x2 2r L =a，2L =bb22_L 2 Lx-dx -=：dxa bx 2-十a(chǎn) +bxa (a +bx 丫 (a +bxa bxia2 i j a bx 2 d a bx 耳b 'b1 d a bxa bx237 abx237a亠bx2aa 亠 bx 2 C b12 bx - 2 a 亠 C3x#x還原r一 2r -LT dx2 Lx 21 R 223*22(r - L +2 Lx) fr - L -Lx)3L2L .r2 22 r -L

6、 2 Lx 3L#x#x32r二 2 r .3L所以F=3GMm廠2-(2址)七3L2L2#x#x這說明：對于質(zhì)量分布均勻的球體，在計算萬有引力時，可以把其看成質(zhì)量都集中在球心的質(zhì)點。方法二：類比法，為了數(shù)學(xué)形式的對稱，我引入了萬有引力場強(qiáng)度和萬有引力通量著兩個概念，不知是否 恰當(dāng)，請專家指點。#x#x庫侖定律:F電14二；Qq尹.r萬有引力定律:F引Mm(令 G )4 二；電場強(qiáng)度:萬有引力場強(qiáng)度:電通量：d門E電d s萬有引力通量：d'：» = E引d s#- q咼斯定律：一| E電d s -（q為閉合面內(nèi)的總電量）4#應(yīng)用高斯定律，計算均勻帶電球體在其外任一點p的電場強(qiáng)

7、度。設(shè)球半徑為R,帶電量為Q,球心到p點的距離為r.過p點作與帶電球同心的球面 S,因為電荷分布均勻由對稱性可知S面上各點的場強(qiáng)大小相等設(shè)為E,方向沿徑向，2通過S的電通量為： G . s E電d s = E 4 7： r由高斯定律得：2 QQE 4 二 r即 E=2名4兀e r- Q -E電=-r其中r為徑向單位矢量。4 二；r由于數(shù)學(xué)表達(dá)式完全對稱，因此，同理可得，質(zhì)量分布均勻的球體在其外任一點的萬有引力場強(qiáng)度M為球的質(zhì)量，r為球心到所取點的距離1因為G =4陽所以 ME 引=G r。 rm的質(zhì)點時，球?qū)υ撡|(zhì)點的又因為質(zhì)點的引入不會影響球體的質(zhì)量分布，故在所取點上放入一質(zhì)量為 萬有引力為："M mF 引=E 引 m = G 一 r.r（其中的r為沿球心和質(zhì)