隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量實(shí)用教案

1、引言引言(ynyn)(ynyn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門學(xué)科誕生(dnshng)于19世紀(jì)末20世紀(jì)初，它以概率論為基礎(chǔ)(jch)，來研究隨機(jī)現(xiàn)象，作出合理的估計(jì)和判斷. 根據(jù)試驗(yàn)觀察得到的數(shù)據(jù)，以便對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)包括：限的數(shù)據(jù)資料；究，從而對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)，作出合理的推斷,此即所謂的統(tǒng)計(jì)推斷問題， 本課程主要講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容.怎樣有效地收集、整理有怎樣對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研第1頁/共16頁第一頁，共16頁。一一. . 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本通常把服從一定的統(tǒng)計(jì)分布(fnb)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)稱為總體.個(gè)體是統(tǒng)計(jì)(tngj)指標(biāo)的特定觀察值,總體(zngt)常被看成隨機(jī)變量,

2、一般用大寫字母X, Y, Z表示.且它的取值也是隨機(jī)的,一般用小寫字母x, y, z表示.總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量,容量有限的稱為有限總體,容量無限的稱為無限總體.例如，考察某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況，一年級(jí)全體新生的體重就構(gòu)成了待研究的總體.則該?？傮w(一年級(jí)新生的體重)中的每一個(gè)新生的體重為一個(gè)個(gè)體.第2頁/共16頁第二頁，共16頁。總體(zngt)與個(gè)體的關(guān)系，即集合(jh)論中集合(jh)與元素的關(guān)系.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所關(guān)心(gunxn)的并非每個(gè)個(gè)體的所有性質(zhì)，而僅僅是它的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo).代表總體的指標(biāo)(如一年級(jí)新生的體重)是一個(gè)隨機(jī)變量,X個(gè)體是隨機(jī)變量X的一個(gè)取值，(

3、或幾個(gè))隨機(jī)變量可能取的值的全體.總體中每個(gè)從而總體就是指某個(gè)于是， 一個(gè)總體就對(duì)應(yīng)于一個(gè)(或幾個(gè))隨機(jī)變量，對(duì)總體的研究就相當(dāng)于對(duì)這一個(gè)（或幾個(gè))隨機(jī)變量的研究.把隨機(jī)變量（或向量） 的分布稱為總體分布.X第3頁/共16頁第三頁，共16頁。一一. . 隨機(jī)樣隨機(jī)樣本本通常(tngchng)把服從一定的統(tǒng)計(jì)分布的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)稱為總體.個(gè)體(gt)是統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的特定觀察值,總體(zngt)常被看成隨機(jī)變量,一般用大寫字母X, Y, Z表示.且它的取值也是隨機(jī)的,一般用小寫字母x, y, z表示.總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量,容量有限的稱為有限總體,容量無限的稱為無限總體.把隨機(jī)變量（或向量）

4、 的分布稱為總體分布.X第4頁/共16頁第四頁，共16頁。樣本樣本(yn(yngbn)gbn)為對(duì)總體分布及其特性進(jìn)行(jnxng)統(tǒng)計(jì)推斷，需按一定(ydng)的規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察，通過觀察可得到關(guān)于總體X的一組數(shù)值,21xx,nx其中), 2 , 1(nixi 是第i次抽取的個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)iX的觀察值.上述抽取過程稱為抽樣，個(gè)體稱為樣本， 樣本中所含個(gè)體數(shù)目稱為樣本的容為對(duì)總體進(jìn)行合理的統(tǒng)計(jì)推斷，所抽取的部分量.我們還需要在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)的、故樣本是一個(gè)隨機(jī)變量（或向量）.容量為n的樣本可獨(dú)立的抽樣觀察，視為n維隨機(jī)向量,21nXXX第5頁/共16頁第五頁，共16頁

5、。一旦(ydn)具體取定一組樣本，便得到樣本(yngbn)的一次具體的觀察值,21nxxx稱其為樣本(yngbn)值，成的集合稱為樣本空間.地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法，全體樣本值組為了使抽取的樣本能很好最常用的一種抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣，本滿足下面兩個(gè)條件：它要求抽取的樣1.代表性：nXXX,21與所考察的總體具有相同的分布；2. 獨(dú)立性：nXXX,21是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.第6頁/共16頁第六頁，共16頁。由簡單(jindn)隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡單(jindn)隨機(jī)樣本，可用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量nXXX,21表示.注：今后假定所考慮(kol)的樣本均為簡單隨

6、機(jī)樣本，稱為(chn wi)樣本.簡第7頁/共16頁第七頁，共16頁。樣本分布樣本分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為),(xF由樣本(yngbn)的獨(dú)立性，簡單隨機(jī)樣本nXXX,21的聯(lián)合分布函數(shù)為 niinxFxxxF121)(),(并稱(bn chn)其為樣本分布.（1）其概率分布為),(ixp則樣本,nXXX12的概率分布為則X為離散型隨機(jī)變量，若總體),(),(121 niinxpxxxp稱其為離散(lsn)樣本概率分布.第8頁/共16頁第八頁，共16頁。（2）其概率密度為X為連續(xù)型隨機(jī)變量，若總體),(xf則樣本(yngbn)的概率密度為)(),(121 niinxfxxxf稱其為連續(xù)(lin

7、x)樣本概率密度.例1如果總體X服從以)10( pp為參數(shù)的10 分布(fnb),則稱總體X為01分布的總體,即,P XP1.P Xp 01不難算出其樣本,nXXX12的概率分布為,()11221nnsn snnP Xi XiXipp 其中.12nnsiii(, , ,),0or11 2kiin第9頁/共16頁第九頁，共16頁。定義(dngy)二二. . 統(tǒng)計(jì)量與抽樣統(tǒng)計(jì)量與抽樣(chu (chu yn)yn)分布分布設(shè)nXXX,1是來自總體X的容量為n的樣本(yngbn),12nxxx是相應(yīng)的樣本值,(,)12ng XXX是樣本,12nXXX的函數(shù).如果函數(shù)g中不含有任何未知參數(shù), 則稱(,

8、)12ng XXX為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,稱(,)12ng xxx為統(tǒng)計(jì)量(,)12ng XXX的觀測值.第10頁/共16頁第十頁，共16頁。例如(lr)，設(shè)總體X服從正態(tài)分布，, 5)( XE22,)( XD未知.,nXXX12為總體的一個(gè)令,21nSXXXXSnnn 樣本(yngbn)，則nS與X均為該樣本的統(tǒng)計(jì)量，但 )5( XnU不是該樣本(yngbn)的統(tǒng)計(jì)量，因其含有總體分布中的未知. 參數(shù)第11頁/共16頁第十一頁，共16頁。例2已知總體( ,)XN 2， 其中 未知, 0已知,試判斷樣本,nXXX12的下列函數(shù)是否為統(tǒng)計(jì)量.(1)(2)();nXXX 2221221(3)()()() .

9、nXXX22212();nXXXn222121第12頁/共16頁第十二頁，共16頁。常用常用(chn (chn yn)yn)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量設(shè)nXXX,1是來自總體X的一個(gè)樣本,12nxxx是相應(yīng)(xingyng)的樣本值.1).樣本均值,11niiXXn 它的觀測(gunc)值記作.11niixxn 第13頁/共16頁第十三頁，共16頁。2).樣本(yngbn)方差(),2222111111nniiiiSXXXnXnn它的觀測(gunc)值記作() .22111niisxxn 3).樣本(yngbn)標(biāo)準(zhǔn)差() ,22111niiSSXXn 它的觀測值記作() .22111niissxxn 第14頁/共16頁第十四頁，共16頁。4).樣本(yngbn)k階原點(diǎn)矩(, , ,),111 2 3nkkiiAXkn 它的觀測(gunc)值記作(,