《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：第二章 第4節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)

1、1一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法三、參數(shù)方程求導(dǎo)四、相關(guān)變化率五、小結(jié)及作業(yè)第四節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)2定義定義: :.)(形式稱(chēng)為顯函數(shù)形式稱(chēng)為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).xxyeysin2如如?dxdy如如何何求求一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊

2、對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 4例例2 2.,)23,23(,333線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線(xiàn)并證明曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的切線(xiàn)方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過(guò)求過(guò)的方程為的方程為設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線(xiàn)方程為所求切線(xiàn)方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為,xy 即即顯然通過(guò)原點(diǎn)顯然通過(guò)原點(diǎn).53例例221dxydx

3、eyy求求已知已知,解：解：求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì)xyxeeyyyyyxeey1yey2222)()()(yyeyyeyyy 22222)()()(yyeeyyeeyyyyy 3223)()(yyey6例例4 4.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy7觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxy

4、exxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法8例例5 5解解 142) 1( 3111)4(1) 1(23xxxexxxyx所以等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)x142)1(3111 xxxyy.,)()(yexxxyx求求設(shè)設(shè)234119例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩

5、邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy所以)sinln(cossinxxxxxx 107例例.,)12(2dxdyxxxyxxx求求解：解：,)12(21xxxy令令對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：) 1)(2(412ln)12(232221xxxxxxxxxdxdyx,2xxxy 令令對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：xxyxlnln2xexxlnlnln) 1(ln12xxxxxxxxdxdyxdxdydxdydxdy21所以一般地一般地可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法?？捎脤?duì)數(shù)求導(dǎo)法。)()()(xvxuxf11

6、.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty42xxy21所以消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?t三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如如)cos(5)( 32ttyetxt?dxdy如何求12),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy所以, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得

7、dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx13,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd )()(ttdxd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dxdtttdtd)()( dtdxttdtd1)()( 14例例8 8解解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy所以. 1.方程處的切線(xiàn)在求擺線(xiàn)2)cos1 ()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt時(shí)當(dāng)所

8、求切線(xiàn)方程為所求切線(xiàn)方程為) 12(axay)22(axy即15例例9 9解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )tan(tdxddxdttdtd)tan(dtdxtdtd1)tan(1610例例),(01sin3232xfyytettxy確定確定設(shè)設(shè)點(diǎn)的切線(xiàn)方程。點(diǎn)的切線(xiàn)方程。求曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)求曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)0t解解求導(dǎo)求導(dǎo)第二個(gè)方程對(duì)第二個(gè)方

9、程對(duì) t,sin1costetedtdyyydxdtdtdydxdydtdxdtdy 1261sin1costteteyy, 1, 30yxt因?yàn)?20edxdyt所以切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程)3(21xey17.,)()(變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴(lài)的這樣兩個(gè)相互依賴(lài)的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?四、相

10、關(guān)變化率18例例1111解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線(xiàn)線(xiàn)的的仰仰角角增增加加米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開(kāi)開(kāi)觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線(xiàn)觀察員視線(xiàn)其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)tdtdhdtd5001sec2,/140秒米因?yàn)閐tdh2sec,5002米時(shí)當(dāng)h)/(14. 0分弧度所以dtd仰角增加率仰角增加率 米米500米米50019例例1212解解?,20,120,4000,/803水面每小時(shí)上升幾米水面每

11、小時(shí)上升幾米米時(shí)米時(shí)問(wèn)水深問(wèn)水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長(zhǎng)為形狀是長(zhǎng)為水庫(kù)水庫(kù)秒的體流量流入水庫(kù)中秒的體流量流入水庫(kù)中米米河水以河水以則則水庫(kù)內(nèi)水量為水庫(kù)內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) tdtdhhdtdV 38000,/288003小時(shí)米因?yàn)閐tdV小時(shí)小時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時(shí)所以當(dāng) h20五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的

12、求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴(lài)的通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴(lài)的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過(guò)建立兩者之間的關(guān)系通過(guò)建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解式求導(dǎo)法求解. .2111142P習(xí)題)2(5),4 , 2(4),4 , 2(3 , 2),4 , 3 , 1 ( 112,11),2(9),4 , 2(8),2(722思考題思考題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對(duì)對(duì)嗎嗎

13、？23思考題解答思考題解答不對(duì)不對(duì) xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 24一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲線(xiàn)曲線(xiàn)733 xyyx在點(diǎn)在點(diǎn)（1 1，2 2）處的切線(xiàn)方程）處的切線(xiàn)方程是是_._.3 3、 曲線(xiàn)曲線(xiàn) ttyttxsincos在在2 t處的法線(xiàn)方程處的法線(xiàn)方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 設(shè)設(shè)yxexy , ,則則dxdy=_.

14、=_.練練 習(xí)習(xí) 題題25二、二、 求下列方程所確定的隱函數(shù)求下列方程所確定的隱函數(shù) y y 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三、三、 用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .26四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設(shè)設(shè))(tf 存在且不

15、為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)33dxyd . .六、設(shè)六、設(shè))(xf滿(mǎn)足滿(mǎn)足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .27七、七、 在中午十二點(diǎn)正甲船的在中午十二點(diǎn)正甲船的 6 6 公里公里/ /小時(shí)的速率向東行小時(shí)的速率向東行駛，乙船在甲船之北駛，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/ /小時(shí)的速小時(shí)的速率向南行駛，問(wèn)下午一點(diǎn)正兩船相距的速率為多率向南行駛，問(wèn)下午一點(diǎn)正兩船相距的速率為多少？少？八、八、 注入水深注入水深 8 8 米，上頂直徑米，上頂直徑 8 8 米的正圓錐形容器中，米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘其速率為每分鐘 4 4 立方米，當(dāng)水深為立方米，當(dāng)水深為 5 5 米時(shí)，其表米時(shí)，其表面上升的速率為多少？面上升的速率為多少？28一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcy