應用變量代換的思想解一階微分方程

1、應用變量代換的思想解一階微分方程 應用變量代換的思想解一階微分方程 摘 要 通過舉例的方式，介紹了在一階微分方程的求解中，如何尋找適宜的變量代換，將方程轉化為可以通過積分求解的方程。探討了在尋找適宜的變量代換時，結合具體方程進行具體分析的思考方法。 關鍵詞 變量代換；微分方程；積分法 【中圖分類號】 O175.1 變量代換是在高等數(shù)學的計算中普遍使用的方法，諸如求函數(shù)的極限、積分的計算等。而在一階微分方程的求解中，變量代換并非一種計算方法，而是一種思想，是問題轉化的思想。一階微分方程的形式很多，不可能去針對每一種方程研究一種解法，也沒有這個必要。在文獻【1】中僅介紹了三種一階方程的解法，卻已經(jīng)

2、給出了求解一階方程的根本思路。一階方程的根本解法是積分法，對于不能直接通過積分來求解的方程，可以考慮先通過適當?shù)淖兞看鷵Q，將其轉化為可以用積分求解的方程，然后再求解。這樣，如何找到適當?shù)淖兞看鷵Q便成為求解這類方程的關鍵，也是難點。 在函數(shù)極限的計算中，變量代換的理論來源是復合函數(shù)的極限運算法那么；在積分的計算中，第一類換元法和第二類換元法都有相應的結論作為理論指導，根本上形成了固定的方法與步驟；而在微分方程的求解中，變量代換沒有什么理論根底，也沒有固定的方法與步驟，它需要有較強的觀察分析能力和經(jīng)驗的積累。下面通過幾個例子給出一些確定適宜的變量代換的思路，希望能拋磚引玉。 為節(jié)省篇幅，在求解下面

3、的方程時，主要進行方程的轉化。 方法一：使用熟悉的變量代換 例1 解方程 。 解：這是個一階線性非齊次方程，它的常規(guī)解法是常數(shù)變易法。但通過適當?shù)淖兞看鷵Q來求解，其計算過程更簡單，方法也顯得更靈活。 令 ，代入方程整理得： ，此方程與原方程“同型。再令 代入此方程整理得：v=2x。于是積分得：v=x2+C，即u=x3+Cx，亦即y=x4+Cx2為原方程的通解。 一般地，形如 的方程，作變量代換：y=uxa，方程便轉化為可以直接積分求解的方程： 。 例2 【1】353 解方程 。 解：方程變形得 ，令x=uy-2，代入方程整理得u=2ylny，積分得 ，所以原方程的通解為 。 方法二：直接替換方

4、程中的“麻煩項 例3 【1】353 解方程 。 解：所謂“麻煩項是指表達式相比照擬復雜且又不可拆分的項，或者可以拆分但拆分毫無意義。上面的方程中， 就具有這樣的特點。 令 ，代入方程整理得： ，這是一個齊次方程，已經(jīng)到達轉化方程的目的了。 例4【2】263 解方程y=3x-2y+5 。 解：這也是一個一階線性非齊次方程。不難看出，用變量代換的方法來求解這個方程的關鍵在于如何處理方程的右邊項，右邊項雖然可以拆分，但怎么拆分都沒有意義，索性把它當做一個整體替換掉。 令 u=3x-2y+5，代入原方程整理得：u=3-2u，已經(jīng)轉化為可別離變量的方程，可以通過積分求解了。 一般地，形如y=ax+by+

5、c 的線性方程，通過線性代換u=ax+by+c便可以轉化為可別離變量的方程：u=a+bu。 方法三：“湊導數(shù)法 例5 【1】353 解方程x y+y= 。 解：將方程兩邊同除以 就可轉化為齊次方程，但對此例而言，齊次方程解法的計算過程比使用變量代換求解要復雜的多。 通過觀察，易得xy+y=，令u=xy代入方程得： 。別離變量積分得 ，即原方程的通解為： 。 例6 【1】315 解方程y=y2+2y+sin2x-2sinx-cosx+1。 解：對方程右邊項進行整理得y=2-cosx。易觀察到 = y+cosx，因此只需令u=y+sinx-1，原方程便轉化為可別離變量的方程u=u2。 類似于積分學

6、中的湊微分法，湊導數(shù)法同樣要求對常用函數(shù)的導數(shù)比擬熟悉。一般地，通過對方程的觀察和整理，假設能將方程中的局部項湊成某函數(shù)的導數(shù)，記為u，而剩余項可表示為f，那么方程可轉化為可別離變量的方程：u=f。 上述這些方法是針對具體方程分析得出的，但微分方程的形式千變萬化，在使用變量代換的思想對方程進行轉化時，具體的變量代換不可能有固定的模式，但總有一些思考方法可以借鑒。 例7【2】263 解方程y=cosx 。 解：這仍然是一個一階線性非齊次方程。怎樣尋找適宜的變量代換將其轉化為可以用積分求解的方程？ 變量代換必須反映新變量與原方程中的因變量之間的關系，這樣才能由這個關系得到新變量與原方程中的因變量在

7、導數(shù)上的關系，從而以新變量為因變量得到代換之后的方程。因此，對上述方程實施變量代換，可供選擇的代換只有三種：u=cosx；u=sin2x-y；u=ycosx。經(jīng)驗證，和不能解決問題。對方程使用第種代換并整理得：u=cosx。不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一次代換后，方程的類型根本與原方程相同，但正弦函數(shù)的冪指數(shù)減小了?？梢云谕氖侨绻俅螌嵤╊愃频拇鷵Q，正弦函數(shù)的冪指數(shù)將會減小到零。 令v=2sinx-u代入并整理得：v=cosx。又轉化為可別離變量的方程了。 通過上面這些例子可以得出，適宜的變量代換不僅能簡化方程求解的具體計算過程，更重要的是它能將不能通過積分求解的方程轉化為能用積分求解的方程。因此，積分法是解一階方程的根本計算方法，而變量代換那么是解一階方程的根本思想，是積分法實施的前提。變量代換有明確的目的，但沒有固定的方法與步驟，需要結合方程的形式特點進行分析，通過不同的代換進行試探，方能確定適合