復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算PPT

1、1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本基本運(yùn)算：運(yùn)算：加加：(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(d+d)i減減：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i乘乘：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i dicbia除：idcadbcdcbdacdicdicdicbia2222)()( 2、運(yùn)算性質(zhì)：、運(yùn)算性質(zhì)：zz=|z|2=|z|2i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(nN)3、復(fù)數(shù)加法的幾何意義：、復(fù)數(shù)加法的幾何意義：平行四邊形法則平行四邊形法則減法的幾何意義：減法的幾何意義：三角形法則三角形法則復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入一、乘法

2、11112222cossincossinzrizri設(shè)復(fù)數(shù)，22211121sincossincosirirzz21212121212coscossinsinsincoscossinr riii1212121212coscossinsinsincoscossinr ri（）（）121212cossinr ri。111222121212cossincossincossinririrri兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其積還是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于兩個(gè)復(fù)數(shù)模的積，它的輻角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)輻角的和。也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，是把模相乘作為積的模，把輻角相加作為積的輻角。新課講授新課講授。求，：已知復(fù)數(shù)例21216sin6co

3、s332sin32cos21zziziz65sin65cos6632sin632cos3221iizz解：111122223333cossincossincossincossinnnnnnnzrizrizrizri復(fù)數(shù)的相乘可以推廣到個(gè)復(fù)數(shù)相乘。若設(shè)個(gè)復(fù)數(shù)為nnnnirrrzzz21212121sincos例題講解例題講解23 cos20sin202 cos50sin5010 cos80sin80iii 例 ：計(jì)算：: 3 cos20sin202 cos50sin5010 cos80sin8032 10 cos 205080sin 205080iiii 解60 cos150sin150i316

4、030 33022ii 。若遇到復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式混合相乘時(shí)，需將相混的復(fù)數(shù)統(tǒng)一成代數(shù)式或三角式，然后進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘或三角式相乘。37713 cossin44ii 例 ：計(jì)算：222rab解：，34。33772 cossin3 cossin4444ii原式373723 cossin4444i25sin25cos6i2sin2cos6i。i 612sin22br，12cos22ar ，二、除法，且，設(shè)復(fù)數(shù)0sincossincos222221111zirzirz22211121sincossincosirirzz2222222111sincossincossincossincosiiri

5、ir22222212121211sincossincossinsinsinsincoscosrir。212121sincosirr。212121222111sincossincossincosirririr新課講授新課講授 復(fù)數(shù)三角形式除法的運(yùn)算法則為：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除復(fù)數(shù)三角形式除法的運(yùn)算法則為：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為數(shù)不為0），其），其商還是一個(gè)復(fù)數(shù)商還是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所提的商，它的輻角等于被譽(yù)為除數(shù)的輻角減以除數(shù)的模所提的商，它的輻角等于被譽(yù)為除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差。去除數(shù)的輻角所得的差。也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)也就是說(shuō)，

6、兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為不為0），是把），是把模相除模相除作為商的模，作為商的模，輻角相減輻角相減作為商的輻角作為商的輻角。cos80sin80 ) 2(cos320sin320 ).ii例4 計(jì)算4(cos80sin80 )2(cos320sin320 )ii解4(cos(80320 )sin(80320 )2i4=2cos( 240 )sin(240 )i=132()22i13 i 15cossin0zrirz例 ：已知復(fù)數(shù)，求 的三角形式。cos0sin01cossinizri解：1cos(0)sin(0)ir1cos()sin()ir 由此例可以看出，一個(gè)非零復(fù)數(shù)的倒數(shù)，其模是原來(lái)復(fù)數(shù)的

7、模的倒數(shù)，其輻角是原來(lái)復(fù)數(shù)輻角的相反數(shù)。31(cos120sin120 )2ii例6 計(jì)算31(cos120sin120 )2ii解1(cos120sin120 )2ii 1(cos270sin270 )(cos120sin120 )2ii1cos(270120 )sin(270120 )12i2(cos150sin150 )i3.i 312()22i三、乘方（棣莫弗定理）在復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算法則12121212Z ZZcos()sin()nnnnr rri中，1212nnrrr取 ，且 ，12ZZZcossin ),nri即（*Zcossin )cossin)()nnnrirninnN則

8、有（*()nnN這是復(fù)數(shù)三角形式的次冪的運(yùn)算法則，這個(gè)法則叫做棣莫弗定理。 它表明：復(fù)數(shù) 次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的 次冪，它們輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的 倍。也就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的 次冪 ，是把模的 次冪作為冪的模，把輻角的 倍作為冪的輻角。nn*()nNnnnn例7 用棣模弗定理計(jì)算：10(1)2 (cossin)44i522(2)2(cossin)1515i2013(3)(3 )22ii10(1)2 (cossin)44i解1055( 2 ) (cossin)22i32(cossin)22i32i522(2)2(cossin)1515i5222 (cossin)33i1332()22i16 16

9、 3 i 2013(3)(3 )22ii20(cos()sin()3(cossin)3322ii2020(cos()sin()3(cossin)3322ii144cos()sin()33232i155(cossin)366i131()322i3166i 44(cossin)3(cossin)3322ii解法二：201(cos()sin()()333ii12020() (cos()sin()333ii 14(cossin)33ii 113()322ii 3166i 2013(3 )22ii22443712( 37 ) ( 12 )(86 )86iiiiii 解 24( 37 ) ( 1 2 )8(86 )iii 例計(jì)算22222422( 3)( 7)( 1)( 2)8( 6) 10 51000051000*9cossin )cossin.nnNinin例 已知，求證：（cossin()ni證明左邊=（- ）cossin()nin=（）cossinnn 右邊例題講解例題講解376(cos3sin3 ) (cos2sin2 )10cossin .(cos4sin4 )iiii例求證：(cos9sin9 ) (cos14sin14 )(cos24sin24 )iii證明左邊=(cos23sin23 )(cos24sin24 )ii=cos()sin()icossini右邊2