電磁波的數(shù)學描述-文檔資料

1、1引言引言 波動綜述波動綜述23456222EEt222BBt2222222xyz 7222ExExt819222222222210 (1)10 (2)EEztBBzt1012()()Efztfzt0 Z0 .代表沿 正方向傳播的平面波負11()Ef zt()Bfzt2c o s()2 c o s()A ,A EAztBAzt式 中是 一 個 常 數(shù) ，是 常 矢 量12,A A 2()zt2()zt13k2k1T14cos()zEAcos 2()EAkzttT或15160c0n17kcos()EAkzt zZzyxk0kPro18 z0zkr0kk是cos()EAkrt zZzyxk0kPr

2、o19k r kcos,cos,coscos( coscoscos )EAk xyztkk rkzcos()cos()EAkrtAkrt20exp()EAi krt21exp()EAi krtexpik r expi texp()exp()EAik ri texp()EAik r22Eexp()i texp()i t23cos,0,cosexp()exp(cos)EAik rAikxexp(sin )EAikx242*IAE E 2526exp()EAi krtexp(exp()exp()EAi krtAi krtikAi krtikE 270kE0E 則exp()0BAi k rtB 及28

3、BEt expEikrtAikE Bi Bt29ikEiB1kEBBkE2kv 0BkE0,kE B300BkEE1B313233342221( , )( , )A r trA r trr22221AAt2222211( , )( , )A r trA r trrt3522222( , )1( , )rA r trA r trt( , )rA r t12( , )()()rA r tB rvtB rvt121( , )()()A r tBrvtBrvtr12,BB360(,)c o saArtk rtr001c o s ()AEk rtr1exp ()AEi krtr371e x p ()AE

4、ik rr380krkvt0dd rd t392k 4012222000()()()rxxyyzz41002221000222000exp()()()()AEikxxyyzxxyyz424301(0)exp()AEi krtr1exp()AEikrr4445461.3.1 波的獨立傳播與疊加原理波的獨立傳播與疊加原理 ： 由于任何復雜的光波都可以分解為一組由余弦函數(shù)和正弦函由于任何復雜的光波都可以分解為一組由余弦函數(shù)和正弦函數(shù)表示的單色光波，因此討論兩個（或多個）光波在空間某一區(qū)數(shù)表示的單色光波，因此討論兩個（或多個）光波在空間某一區(qū)域相遇時，所發(fā)生的光波的疊加問題是有意義的。同時，頻率、域相

5、遇時，所發(fā)生的光波的疊加問題是有意義的。同時，頻率、振幅和位相都不相同的光波的疊加，情形很復雜。振幅和位相都不相同的光波的疊加，情形很復雜。 本節(jié)只限于討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波的疊加，本節(jié)只限于討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波的疊加，這種情況下可以寫出結果的數(shù)學表達式。這種情況下可以寫出結果的數(shù)學表達式。本節(jié)所討論內容的理論基礎：本節(jié)所討論內容的理論基礎：一、波的獨立傳播定律：一、波的獨立傳播定律： 兩列光波在空間交迭時，它的傳播互不干擾兩列光波在空間交迭時，它的傳播互不干擾, ,亦即每列波如何亦即每列波如何傳播，就像另一列波完全不存在一樣各自獨立進行。此即波的獨立傳播，就像另

6、一列波完全不存在一樣各自獨立進行。此即波的獨立傳播定律。傳播定律。 必須注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通過變色玻必須注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通過變色玻璃時是不服從獨立傳播定律的。璃時是不服從獨立傳播定律的。47二、波的疊加原理：二、波的疊加原理： 當兩列當兩列( (或多列或多列) )波在同一空間傳播時，空間各點都參與每列波在同一空間傳播時，空間各點都參與每列波在該點引起的振動。若波的獨立傳播定律成立，則當兩列波在該點引起的振動。若波的獨立傳播定律成立，則當兩列( (或多或多列列) )波同時存在時，在它們的交迭區(qū)域內每點的振動是各列波單獨波同時存在時，在它們的交迭區(qū)域內

7、每點的振動是各列波單獨在該點產生振動的合成在該點產生振動的合成. .此即波的此即波的迭加原理。迭加原理。 與獨立傳播定律相同，疊加原理適用性也是有條件的。這條與獨立傳播定律相同，疊加原理適用性也是有條件的。這條件，一是件，一是媒質媒質, ,二是波的二是波的強度強度。 光在真空中總是獨立傳播的，從而服從疊加原理。光在真空中總是獨立傳播的，從而服從疊加原理。 光在普通玻璃中，只要不是太強，也服從疊加原理。光在普通玻璃中，只要不是太強，也服從疊加原理。 波在其中服從疊加原理的媒質稱為波在其中服從疊加原理的媒質稱為“線性媒質線性媒質”。此時，對于此時，對于非相干光波非相干光波：1( )( )NiiI

8、PI P即即N N列波的強度滿足線性迭加關系。列波的強度滿足線性迭加關系。1.3.1 波的獨立傳播與疊加原理波的獨立傳播與疊加原理 48對于相干光波對于相干光波 ：1( )( )NiiE PE P即即N N列波的振幅滿足線性迭加關系。列波的振幅滿足線性迭加關系。 由于振動量通常是矢量，所以一般情況下此處之由于振動量通常是矢量，所以一般情況下此處之“和和”應理解為應理解為矢量和矢量和. .波在其中不服從迭加原理的媒質稱為波在其中不服從迭加原理的媒質稱為“非線性媒質非線性媒質”。 1.3.1 波的獨立傳播與疊加原理波的獨立傳播與疊加原理 491.3.2 同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念同頻率簡

9、諧波疊加的一般分析及干涉概念 1.3.2 1.3.2 同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念 設兩列同頻率簡諧波在其波場交疊區(qū)某點設兩列同頻率簡諧波在其波場交疊區(qū)某點P P各自產生的復振幅分別為各自產生的復振幅分別為 101()() exp()PPiP1EE2202()()exp()PPiPEEP P點合振動的復振幅矢量為點合振動的復振幅矢量為12()()()PPPEEEP P點合光強為點合光強為1212221020( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )PPPPPPPppIEEEEEEEE1020212( )( )cos( )( )PPPPE

10、E501.3.2 同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念 令令2110( )P IE2220( )( )PPIE21( )( )( )PPP 則則 121020()()()2()() cos()PpppppIIIEE 若在兩波的交疊區(qū)波場的強度分布不是簡單地等于每列波單獨產若在兩波的交疊區(qū)波場的強度分布不是簡單地等于每列波單獨產生的強度之和，即生的強度之和，即一般地一般地12()()()PPPIII則稱這兩列波發(fā)生了干涉。則稱這兩列波發(fā)生了干涉。 易見對干涉的貢獻來自合強度式中的第三項易見對干涉的貢獻來自合強度式中的第三項干涉項干涉項。為使該項具有不為零的穩(wěn)定

11、貢獻，必須有為使該項具有不為零的穩(wěn)定貢獻，必須有 （1 1） E E10 10 E E2020 =0 =0，即，即E E1010不垂直于不垂直于E E20 20 ；（2 2）對給定點）對給定點P P，相差，相差（P P ) )恒定，不隨時間而變化。恒定，不隨時間而變化。對理想對理想單色單色簡諧波，只要振動方向不互相正交，總是相干的。簡諧波，只要振動方向不互相正交，總是相干的。51設兩列三維平面波的頻率相同，振動方向相同設兩列三維平面波的頻率相同，振動方向相同( (故可用標量波表示故可用標量波表示) )，其復振幅分別為其復振幅分別為110110(r)exp EEkr22020(r)exp 2EE

12、kr此時此時 102010201020,/E EEE EE可得到光場中的光強分布為可得到光場中的光強分布為22102010202cosIEEE E或寫為或寫為1212( )2cosI rIII I其中其中212120102121212010()(coscos)(coscos)(coscos) kkrkxyz 1.3.2 同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念同頻率簡諧波疊加的一般分析及干涉概念 52光強僅隨位置光強僅隨位置r r變化而變化。在某些變化而變化。在某些特定位置特定位置，使得，使得2 m (m = 0，l，2，) 光強光強I I 取得取得極大值極大值2221020102010202()

13、MIEEE EEE這時稱兩列波發(fā)生了這時稱兩列波發(fā)生了相長干涉相長干涉； 在另一些在另一些特定位置特定位置，使得，使得 ( 21)m (m = 0，l，2，) 光強光強I I 取得取得極小值極小值2221020102010202()EEE EEEmI這時稱兩列波發(fā)生了這時稱兩列波發(fā)生了相消干涉相消干涉。 1.3.3 兩列同頻率兩列同頻率 同向振動的平面波的疊加同向振動的平面波的疊加 53 相同的點的集合構成了三維空間中的相同的點的集合構成了三維空間中的等強度面等強度面，這種等強度面的方程是這種等強度面的方程是212121(coscos)(coscos)(coscos)xyzC 我們把兩列我們把

14、兩列( (或多列或多列) )相干波的交疊區(qū)稱為相干波的交疊區(qū)稱為干涉場干涉場，將干涉場中光強隨空間位置的分布稱為將干涉場中光強隨空間位置的分布稱為干涉圖樣干涉圖樣。由以上分析可知，兩列同頻率平面波的干涉圖樣是三維空間中一族光強由以上分析可知，兩列同頻率平面波的干涉圖樣是三維空間中一族光強極大與極小相間排列的平行平面。極大與極小相間排列的平行平面。由于在由于在I I1 1、I I2 2 給定時，光強給定時，光強I I僅取決于僅取決于cos，而，而cos隨隨x, ,y, ,z的變化具有周的變化具有周期性，期性，故，干涉場的強度變化亦具有故，干涉場的強度變化亦具有空間周期性空間周期性。1.3.3 兩

15、列同頻率兩列同頻率 同向振動的平面波的疊加同向振動的平面波的疊加 5402 ()xyzf xf yf z 由于由于可知，光強分布在可知，光強分布在x ,y ,z x ,y ,z 方向的空間頻率分別為方向的空間頻率分別為 122121222122coscos,coscos,coscos,xxxyyyzzzfffffffff上式亦可寫成矢量形式上式亦可寫成矢量形式21fff式中式中f1 1，f2 2 分別是第一列波、第二列波的空間頻率矢量，分別是第一列波、第二列波的空間頻率矢量，f 是干涉圖是干涉圖樣樣( (在垂直于等強度面方向在垂直于等強度面方向) )的空間頻率矢量。的空間頻率矢量。1.3.3

16、兩列同頻率兩列同頻率 同向振動的平面波的疊加同向振動的平面波的疊加 551.3.3 兩列同頻率兩列同頻率 同向振動的平面波的疊加同向振動的平面波的疊加 由于由于f1 1= =f2 2=1/=1/, f 的方向為等強度面的法線方向，的方向為等強度面的法線方向，可知等強度面位于可知等強度面位于f1 1、f2 2 ( (亦即亦即k1 1、k2 2) )的角平分面，的角平分面，且有且有2sin2f式中式中為為k1 1、k2 2夾角。夾角。對對fx fy fz 取倒數(shù)可以得到干涉圖樣在取倒數(shù)可以得到干涉圖樣在x, ,y, ,z方向的空間方向的空間周期周期dx, ,dy, ,dz相鄰光強極大相鄰光強極大(

17、 (或極小或極小) )平面的間距則為平面的間距則為12sin2df561.3.4 兩列同頻率兩列同頻率 同向振動同向振動 反向傳播的平面波的疊加反向傳播的平面波的疊加 光駐波光駐波設兩列波的傳播方向分別沿設兩列波的傳播方向分別沿z軸的負方向和正方向軸的負方向和正方向,采用實波函數(shù)來進行分析。采用實波函數(shù)來進行分析。 其實波函數(shù)分別為：其實波函數(shù)分別為： 110( , )cos()z tkztEE2200( , )cos()z tkzt EE為突出波疊加時的主要特征，設為突出波疊加時的主要特征，設E10=E20，則合成波為，則合成波為120010( , )( , )( , )2cos() cos

18、()22z tz tz tkztEEEE 上式中第二項表明波場中任一點仍作角頻率為上式中第二項表明波場中任一點仍作角頻率為的簡諧振動，而的簡諧振動，而第一項的絕對值則表示為坐標為第一項的絕對值則表示為坐標為z處的振動振幅，處的振動振幅，將此振幅記為將此振幅記為E0（z），即有：），即有：0010( )2cos()2zkzEE57顯然，各點的振幅不再是常數(shù)，而隨其空間位置顯然，各點的振幅不再是常數(shù)，而隨其空間位置z而變化。而變化。 在滿足在滿足 02kzm(m = 0，1，2，) 的位置，振幅的位置，振幅E(z)取得最大值取得最大值2E10，這些點稱為，這些點稱為波腹波腹。 01()22kzm在

19、滿足在滿足 (m = 0，1，2，) 的位置，振幅的位置，振幅E(z)取得最小值取得最小值0，這些點稱為，這些點稱為波節(jié)波節(jié)。 容易看出，波腹與波節(jié)相間分布，相鄰波腹容易看出，波腹與波節(jié)相間分布，相鄰波腹(或波節(jié)或波節(jié))的間距皆為的間距皆為/2。由于整個波形并不發(fā)生空間推移，所以這種波稱為由于整個波形并不發(fā)生空間推移，所以這種波稱為駐波駐波。相應地，前文所討論的各種在空間傳播的波則可以稱為相應地，前文所討論的各種在空間傳播的波則可以稱為行波行波。1.3.4 兩列同頻率兩列同頻率 同向振動同向振動 反向傳播的平面波的疊加反向傳播的平面波的疊加 光駐波光駐波582sinl591.3.5 兩列同頻率

20、、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加疊加橢圓偏振光的形成及特征橢圓偏振光的形成及特征 取取互相垂直的兩個振動方向分別為互相垂直的兩個振動方向分別為x和和y軸，波的傳播方向為軸，波的傳播方向為z方向方向 則則x，y方向的矢量實波函數(shù)可分別寫為方向的矢量實波函數(shù)可分別寫為00( , )cos()( , )cos()xxyyz tEkztz tEkzt EE波場中任意位置和時刻的合振動應為波場中任意位置和時刻的合振動應為( , )( , )( , )xyz tz tz tEEE 因為兩列波均沿因為兩列波均沿z方向等速傳播，故其合成波亦沿同方向以同

21、方向等速傳播，故其合成波亦沿同方向以同樣速度傳播，并且合矢量樣速度傳播，并且合矢量E仍在仍在xy平面內，即光波仍保持其橫波性。平面內，即光波仍保持其橫波性。以以表示表示E矢量與矢量與x軸正向所成的角，則有軸正向所成的角，則有00cos()tancos()yyxxEEkztEEkzt 可見，一般地說可見，一般地說 的大小，即的大小，即E 在在xy 平面內的指向將隨位置平面內的指向將隨位置z和和時間時間t 而變化。以下分別討論其時空依賴關系。而變化。以下分別討論其時空依賴關系。60 一、光矢量一、光矢量E的時間變化的時間變化設設z為定值為定值 可以證明，當可以證明，當t 為任意值時，為任意值時，E

22、矢量末端隨時間的變化在空矢量末端隨時間的變化在空間掃描出的軌跡由以下方程所確定：間掃描出的軌跡由以下方程所確定：2222200002cossinyxyxxyxyEE EEEEEE 顯然，一般說來這是一個顯然，一般說來這是一個“斜橢圓斜橢圓”(兩半軸方位不與兩半軸方位不與x,y軸重軸重合合)方程，相應的光稱為方程，相應的光稱為橢圓橢圓偏振光偏振光 。 1.3.5 兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加疊加橢圓偏振光的形成及特征橢圓偏振光的形成及特征 EyEx2a12a20該橢圓內截于一個長方形，長方形各邊該橢圓內截于一個長方形，長方形

23、各邊與坐標軸平行，邊長為與坐標軸平行，邊長為2a1和和2 a2 。如圖。如圖示。橢圓的長軸與示。橢圓的長軸與OX軸的夾角：軸的夾角：cos22222121aaaatg6112aatgcos22tgtg1.3.5 兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的兩列同頻率、振動方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加疊加橢圓偏振光的形成及特征橢圓偏振光的形成及特征 62)(sin)cos(210202102021222212aaEEaEaEyxyx102001020 xyEaaE12632, 1, 02)21(12mmxyEaaE12642222aEEyx1222212aEaEyx6566二、光矢量

24、二、光矢量E的空間變化的空間變化 設設t 為定值為定值 這相當于觀察這相當于觀察“凝固凝固”了的波形。了的波形。對于某一時刻，傳播路程上各對于某一時刻，傳播路程上各點的合矢量末端位置構成一個螺旋線，螺旋線的空間周期為光波波長，各點點的合矢量末端位置構成一個螺旋線，螺旋線的空間周期為光波波長，各點場矢量的大小不一，場矢量的大小不一，其末端在與傳播方向垂直的平面上的投影為一個橢圓。末端在與傳播方向垂直的平面上的投影為一個橢圓。 當當=0，時，易見時，易見振動平面振動平面的空間取向是不變的，的空間取向是不變的， 其它情況下隨其它情況下隨z的改變而改變。的改變而改變。 關于左旋和右旋的的判據(jù)與前述相同

25、，仍是：關于左旋和右旋的的判據(jù)與前述相同，仍是：0sin0 或0sin0 或此時橢圓是右旋的此時橢圓是右旋的 此時橢圓是左旋的此時橢圓是左旋的 zxy672EvsI2EIyxyxyxEEEyExEyExI220000)()(yxIII68yxIII2269 設兩列平面波均沿設兩列平面波均沿z軸正方向傳播，其振動方向相同，振幅皆為軸正方向傳播，其振動方向相同，振幅皆為E，兩列波的傳播數(shù)和角頻率分別為是兩列波的傳播數(shù)和角頻率分別為是k1 ,1和和 k2,2 。取第一列波的初。取第一列波的初相為零，第二列波相對于第一列波的初相差為相為零，第二列波相對于第一列波的初相差為0，則兩列波的實波函，則兩列波

26、的實波函數(shù)可寫為數(shù)可寫為101120220( , )cos(),.( , )cos()E z tEk ztEz tEk zt 任一時刻及位置波場中的合振動可表示為任一時刻及位置波場中的合振動可表示為12000( , )( , )( , )2coscos2222E z tEz tEz tkEztkzt 式中式中1212121211()()22kkkkkk 10.3.6 兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面波的疊加波的疊加光學拍光學拍70設兩列波頻率相近，即設兩列波頻率相近，即 10.3.6 兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面兩列頻率相近、同向振動、同向傳播的平面波的疊加波的疊加光學拍光學拍,kk 則上式中第一項因子在時空中的變化速度要比第二項緩慢得多，因此可以則上式中第一項因子在時空中的變化速度要比第二項緩慢得多，因此可以把后者看做是高頻載波，而把前者看做是對載波的低頻調制。把后者看做是高頻載波，而把前者看做是對載波的低頻調制。載波的角頻率為載波的角頻率為 ，其振幅為，其振幅為002cos222kAEztA的